Внутренняя алгебра - Interior algebra

В абстрактная алгебра, внутренняя алгебра это определенный тип алгебраическая структура который кодирует идею топологического интерьер комплекта. Внутренние алгебры должны топология и модальная логика S4 Какие Булевы алгебры должны теория множеств и обычные логика высказываний. Внутренние алгебры образуют разнообразие из модальные алгебры.

Определение

An внутренняя алгебра является алгебраическая структура с подпись

⟨S, ·, +, ′, 0, 1, ^я⟩

куда

⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩

это Булева алгебра и постфикс ^я обозначает унарный оператор, то оператор интерьера, удовлетворяющие тождествам:

Икс^я ≤ Икс
Икс^II = Икс^я
(ху)^я = Икс^яy^я
1^я = 1

Икс^я называется интерьер из Икс.

В двойной внутреннего оператора - это оператор закрытия ^C определяется Икс^C = ((Икс′)^я)′. Икс^C называется закрытие из Икс. Посредством принцип двойственности, оператор замыкания удовлетворяет тождествам:

Икс^C ≥ Икс
Икс^CC = Икс^C
(Икс + y)^C = Икс^C + y^C
0^C = 0

Если оператор замыкания считается примитивным, внутренний оператор может быть определен как Икс^я = ((Икс′)^C) ′. Таким образом, теория внутренних алгебр может быть сформулирована с использованием оператора замыкания вместо внутреннего оператора, и в этом случае рассматривается алгебры замыкания вида ⟨S, ·, +, ′, 0, 1, ^C⟩, куда ⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩ снова булева алгебра и ^C удовлетворяет указанным выше тождествам для оператора замыкания. Замыкание и форма внутренних алгебр двойной пары и являются парадигматическими примерами «булевых алгебр с операторами». В ранней литературе по этому вопросу (в основном польской топологии) использовались операторы замыкания, но формулировка внутреннего оператора в конечном итоге стала нормой после работ Вим Блок.

Открытые и закрытые элементы

Элементы внутренней алгебры, удовлетворяющие условию Икс^я = Икс называются открыто. В дополняет открытых элементов называются закрыто и характеризуются состоянием Икс^C = Икс. Внутренняя часть элемента всегда открыта, а закрытие элемента всегда закрыто. Интерьеры закрытых элементов называются регулярный открытый и замыкания открытых элементов называются регулярно закрытый. Элементы, которые одновременно открыты и закрыты, называются прищемить. 0 и 1 закрыты.

Внутренняя алгебра называется Булево если все его элементы открыты (а значит, закрыты). Булевы внутренние алгебры могут быть отождествлены с обычными булевыми алгебрами, поскольку их внутренние операторы и операторы замыкания не обеспечивают значимой дополнительной структуры. Частным случаем является класс банальный внутренние алгебры, которые представляют собой одноэлементные внутренние алгебры, характеризуемые тождеством 0 = 1.

Морфизмы внутренних алгебр

Гомоморфизмы

Внутренние алгебры в силу того, что они алгебраические структуры, имеют гомоморфизмы. Даны две внутренние алгебры А и B, карта ж : А → B является гомоморфизм внутренней алгебры если и только если ж является гомоморфизмом между основными булевыми алгебрами А и B, который также сохраняет внутренности и закрытие. Следовательно:

ж(Икс^я) = ж(Икс)^я;
ж(Икс^C) = ж(Икс)^C.

Топоморфизмы

Топоморфизмы - еще один важный и более общий класс морфизмы между внутренними алгебрами. Карта ж : А → B это топоморфизм если и только если ж является гомоморфизмом между булевыми алгебрами, лежащими в основе А и B, который также сохраняет открытые и закрытые элементы А. Следовательно:

Если Икс открыт в А, тогда ж(Икс) открыт в B;
Если Икс закрыт в А, тогда ж(Икс) закрывается в B.

(Такие морфизмы также называли стабильные гомоморфизмы и полугомоморфизмы алгебры замыкания.) Каждый гомоморфизм внутренней алгебры является топоморфизмом, но не всякий топоморфизм является гомоморфизмом внутренней алгебры.

Булевы гомоморфизмы

Ранние исследования часто рассматривали отображения между внутренними алгебрами, которые были гомоморфизмами лежащих в основе булевых алгебр, но которые не обязательно сохраняли внутренний или замыкающий оператор. Такие отображения были названы Булевы гомоморфизмы. (Условия гомоморфизм замыкания или же топологический гомоморфизм были использованы в случае, когда они были сохранены, но эта терминология теперь избыточна как стандартное определение гомоморфизма в универсальная алгебра требует, чтобы он сохранял все операции.) Приложения, включающие счетно полные внутренние алгебры (в которых всегда существуют счетные пересечения и соединения, также называемые σ-полный) обычно использовали счетно полные булевы гомоморфизмы, также называемые Булевы σ-гомоморфизмы - эти записать счетные встречи и присоединения.

Непрерывные морфизмы

Самое раннее обобщение непрерывности на внутренние алгебры было Сикорски основан на карте обратного изображения непрерывной карты. Это булев гомоморфизм, который сохраняет объединения последовательностей и включает замыкание прообраза в прообразе замыкания. Таким образом, Сикорский определил непрерывный гомоморфизм как булев σ-гомоморфизм ж между двумя σ-полными внутренними алгебрами такими, что ж(Икс)^C ≤ ж(Икс^C). У этого определения было несколько трудностей: Строительные акты противоречиво создание двойственного непрерывного отображения, а не обобщения. С одной стороны, σ-полнота слишком слаба, чтобы характеризовать отображения обратных образов (требуется полнота), с другой стороны, она слишком ограничительна для обобщения. (Сикорский заметил использование неполных σ-гомоморфизмов, но включил σ-полноту в свои аксиомы для алгебры замыкания.) Позже Дж. Шмид определил непрерывный гомоморфизм или же непрерывный морфизм для внутренних алгебр как булев гомоморфизм ж между двумя внутренними алгебрами, удовлетворяющими ж(Икс^C) ≤ ж(Икс)^C. Это обобщает карту прямого изображения непрерывной карты - изображение замыкания содержится в замыкании изображения. Эта конструкция ковариантный но не подходит для теоретико-категорийных приложений, поскольку позволяет строить непрерывные морфизмы из непрерывных отображений только в случае биекций. (К. Натурман вернулся к подходу Сикорского, отказавшись от σ-полноты, чтобы получить топоморфизмы, как определено выше. В этой терминологии оригинальные «непрерывные гомоморфизмы» Сикорского являются σ-полными топоморфизмами между σ-полными внутренними алгебрами.)

Связь с другими разделами математики

Топология

Учитывая топологическое пространство Икс = ⟨Икс, Т⟩ Можно сформировать набор мощности Булева алгебра Икс:

⟨п(Икс), ∩, ∪, ′, ø, Икс⟩

и расширим его до внутренней алгебры

А(Икс) = ⟨п(Икс), ∩, ∪, ′, ø, Икс, ^я⟩,

куда ^я - обычный топологический внутренний оператор. Для всех S ⊆ Икс это определяется

S^я = ∪ {О : О ⊆ S и О открыт в Икс}

Для всех S ⊆ Икс соответствующий оператор замыкания задается

S^C = ∩ {C : S ⊆ C и C закрыт в Икс}

S^я является самым большим открытым подмножеством S и S^C наименьшее закрытое надмножество S в Икс. Открытые, закрытые, правильные открытые, правильные закрытые и открытые элементы внутренней алгебры А(Икс) - это просто открытые, закрытые, правильные открытые, правильные закрытые и закрытые подмножества Икс соответственно в обычном топологическом смысле.

Каждый полный атомный внутренняя алгебра изоморфный к внутренней алгебре вида А(Икс) для некоторых топологическое пространство Икс. Более того, любую внутреннюю алгебру можно встроенный в такой внутренней алгебре, дающей представление внутренней алгебры как топологическое поле множеств. Свойства конструкции А(Икс) являются самой мотивацией определения внутренних алгебр. Из-за этой тесной связи с топологией внутренние алгебры также называются топо-булевы алгебры или же топологические булевы алгебры.

Учитывая непрерывная карта между двумя топологическими пространствами

ж : Икс → Y

мы можем определить полный топоморфизм

А(ж) : А(Y) → А(Икс)

к

А(ж)(S) = ж⁻¹[S]

для всех подмножеств S из Y. Таким образом можно вывести любой полный топоморфизм между двумя полными атомными внутренними алгебрами. Если Вершина это категория топологических пространств и непрерывные карты и Cit это категория полных атомных внутренних алгебр и полных топоморфизмов, то Вершина и Cit дуально изоморфны и А : Вершина → Cit это контравариантный функтор это дуальный изоморфизм категорий. А(ж) является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда ж является непрерывным открытая карта.

При этом двойственном изоморфизме категорий многие естественные топологические свойства соответствуют алгебраическим свойствам, в частности, свойства связности соответствуют свойствам неприводимости:

Икс является пустой если и только если А(Икс) тривиально
Икс является недискретный если и только если А(Икс) является просто
Икс является дискретный если и только если А(Икс) является логическим
Икс является почти дискретный если и только если А(Икс) является полупростой
Икс является конечно порожденный (Александров) тогда и только тогда, когда А(Икс) является оператор завершен то есть его внутренние и закрывающие операторы распределяют по произвольным встречам и соединениям соответственно
Икс является связаны если и только если А(Икс) является непосредственно неразложимый
Икс является сверхсвязанный если и только если А(Икс) является конечно подпрямо неразложимый
Икс является компактный сверхсвязный тогда и только тогда, когда А(Икс) является подпрямо неразложимый

Обобщенная топология

Современная формулировка топологических пространств в терминах топологии открытых подмножеств, мотивирует альтернативную формулировку внутренних алгебр: A обобщенное топологическое пространство является алгебраическая структура формы

⟨B, ·, +, ′, 0, 1, Т⟩

куда ⟨B, ·, +, ′, 0, 1⟩, как обычно, булева алгебра, и Т является унарным отношением на B (подмножество B) такой, что:

0,1 ∈ Т
Т замкнуто относительно произвольных объединений (т.е. если объединение произвольного подмножества Т существует тогда он будет в Т)
Т замкнуто относительно конечных встреч
Для каждого элемента б из B, соединение ∑ {а ∈Т : а ≤ б} существуют

Т считается обобщенная топология в булевой алгебре.

Для внутренней алгебры ее открытые элементы образуют обобщенную топологию. Наоборот, дано обобщенное топологическое пространство

⟨B, ·, +, ′, 0, 1, Т⟩

мы можем определить внутренний оператор на B к б^я = ∑{а ∈Т : а ≤ б} тем самым создавая внутреннюю алгебру, открытые элементы которой в точности Т. Таким образом, обобщенные топологические пространства эквивалентны внутренним алгебрам.

Считая внутренние алгебры обобщенными топологическими пространствами, топоморфизмы тогда являются стандартными гомоморфизмами булевых алгебр с добавленными отношениями, так что стандартные результаты из универсальная алгебра подать заявление.

Функции соседства и решетки соседства

Топологическая концепция окрестности можно обобщить на внутренние алгебры: элемент y внутренней алгебры называется район элемента Икс если Икс ≤ y^я. Множество окрестностей Икс обозначается N(Икс) и образует фильтр. Это приводит к другой формулировке внутренних алгебр:

А функция соседства на булевой алгебре есть отображение N из его базового набора B к его набору фильтров, например:

Для всех Икс ∈ B, Макс{y ∈ B : Икс ∈ N(y)} существуют
Для всех Икс,y ∈ B, Икс ∈ N (г) тогда и только тогда, когда есть z ∈ B такой, что y ≤ z ≤ Икс и z ∈ N (z).

Отображение N элементов внутренней алгебры к их фильтрам окрестностей является функцией окрестности на базовой булевой алгебре внутренней алгебры. Более того, учитывая функцию соседства N на булевой алгебре с базовым множеством B, мы можем определить внутренний оператор как Икс^я = max {y ∈B : Икс ∈ N (г)} тем самым получая внутреннюю алгебру. N (х) будет в точности фильтром окрестностей Икс в этой внутренней алгебре. Таким образом, внутренние алгебры эквивалентны булевым алгебрам с заданными функциями соседства.

С точки зрения функций соседства, открытые элементы - это именно те элементы Икс такой, что Икс ∈ N (х). Что касается открытых элементов Икс ∈ N (г) тогда и только тогда, когда есть открытый элемент z такой, что y ≤ z ≤ Икс.

Функции соседства могут быть определены более широко на (встречаются) -полурешетки производство структур, известных как окрестностные (полу) решетки. Таким образом, внутренние алгебры можно рассматривать как в точности Булевы решетки окрестностей т.е. те решетки окрестностей, лежащая в основе полурешетка которых образует булеву алгебру.

Модальная логика

Учитывая теорию (набор формальных предложений) M в модальной логике S4, мы можем сформировать его Алгебра Линденбаума – Тарского:

L(M) = ⟨M / ~, ∧, ∨, ¬, F, Т, □⟩

где ~ - отношение эквивалентности предложений в M данный п ~ q если и только если п и q находятся логически эквивалентный в M, и M / ~ - множество классов эквивалентности по этому отношению. потом L(M) - внутренняя алгебра. Внутренний оператор в этом случае соответствует модальный оператор □ (обязательно), а оператор замыкания соответствует ◊ (возможно). Эта конструкция является частным случаем более общего результата для модальные алгебры и модальная логика.

Открытые элементы L(M) соответствуют предложениям, которые истинны только в том случае, если они обязательно истина, в то время как закрытые элементы соответствуют тем, которые являются ложными, только если они обязательно ложный.

Из-за их отношения к S4, внутренние алгебры иногда называют S4 алгебры или же Алгебры льюиса, после логик К. И. Льюис, который первым предложил модальную логику S4 и S5.

Предзаказы

Поскольку внутренние алгебры (нормальные) Булевы алгебры с операторы, они могут быть представлены поля наборов на соответствующие структуры отношений. В частности, поскольку они модальные алгебры, их можно представить как поля наборов на съемочной площадке с синглом бинарное отношение, называется модальная рамка. Модальные шкалы, соответствующие внутренним алгебрам, - это в точности предварительно заказанные наборы. Предварительно заказанные наборы (также называемый S4-кадры) предоставить Семантика Крипке модальной логики S4, а связь между внутренними алгебрами и предпорядками глубоко связана с их связью с модальной логикой.

Учитывая предварительно заказанный набор Икс = ⟨Икс, «⟩ Можно построить внутреннюю алгебру

B(Икс) = ⟨п(Икс), ∩, ∪, ′, ø, Икс, ^я⟩

от набор мощности Булева алгебра из Икс где оператор интерьера ^я дан кем-то

S^я = {Икс ∈ Икс : для всех y ∈ Икс, Икс « y подразумевает y ∈ S} для всех S ⊆ Икс.

Соответствующий оператор замыкания дается выражением

S^C = {Икс ∈ Икс : существует y ∈ S с Икс « y} для всех S ⊆ Икс.

S^я это набор всех миры недоступен из миры за пределами S, и S^C это набор всех миры доступны из некоторых Мир в S. Каждую внутреннюю алгебру можно встроенный во внутренней алгебре вида B(Икс) для некоторых предварительно заказанный набор Икс давая вышеупомянутое представление как поле наборов (а поле предварительного заказа).

Эта теорема построения и представления является частным случаем более общего результата для модальные алгебры и модальные рамки. В этом отношении внутренние алгебры особенно интересны из-за их связи с топология. Конструкция обеспечивает предзаказанный набор Икс с топология, то Топология Александрова, производя топологическое пространство Т(Икс) чьи открытые множества:

{О ⊆ Икс : для всех Икс ∈ О и все y ∈ Икс, Икс « y подразумевает y ∈ О}.

Соответствующие замкнутые множества:

{C ⊆ Икс : для всех Икс ∈ C и все y ∈ Икс, y « Икс подразумевает y ∈ C}.

Другими словами, открытые множества - это те, чьи миры недоступны извне ( настроения), а замкнутые множества - это те, для которых каждое внешнее Мир недоступен изнутри ( сеты). Более того, B(Икс) = А(Т(Икс)).

Монадические булевы алгебры

Любой монадическая булева алгебра можно рассматривать как внутреннюю алгебру, в которой внутренний оператор является универсальным квантором, а оператор замыкания - квантором существования. Тогда монадические булевы алгебры - это в точности разнообразие внутренних алгебр, удовлетворяющих тождеству Икс^IC = Икс^я. Другими словами, это в точности внутренние алгебры, в которых каждый открытый элемент замкнут, или, что эквивалентно, в которых каждый замкнутый элемент открыт. Более того, такие внутренние алгебры - это в точности полупростой внутренние алгебры. Они также являются внутренними алгебрами, соответствующими модальной логике S5, и поэтому их также называли S5 алгебры.

Во взаимосвязи между предварительно упорядоченными множествами и внутренними алгебрами они соответствуют случаю, когда предпорядок является отношение эквивалентности, отражая тот факт, что такие предварительно упорядоченные наборы обеспечивают семантику Крипке для S5. Это также отражает взаимосвязь между монадическая логика квантификации (для которой монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическое описание ) и S5 где модальные операторы □ (обязательно) и ◊ (возможно) можно интерпретировать в семантике Крипке с использованием монадической универсальной и экзистенциальной квантификации, соответственно, без ссылки на отношение доступности.

Гейтинговые алгебры

Открытые элементы внутренней алгебры образуют Алгебра Гейтинга а замкнутые элементы образуют двойной Алгебра Гейтинга. Обычные открытые элементы и обычные закрытые элементы соответствуют псевдодополняемым элементам и двойной псевдодополняемые элементы этих алгебр соответственно и, таким образом, образуют булевы алгебры. Открытые элементы соответствуют дополняемым элементам и образуют общую подалгебру этих булевых алгебр, а также самой внутренней алгебры. Каждый Алгебра Гейтинга могут быть представлены как открытые элементы внутренней алгебры, а последняя может быть выбрана как внутренняя алгебра, порожденная ее открытыми элементами - такие внутренние алгебры соответствуют один к одному, причем алгебры Гейтинга (с точностью до изоморфизма) являются свободными булевыми расширениями последних. .

Гейтинговые алгебры играть ту же роль за интуиционистская логика что внутренние алгебры играют модальную логику S4 и Булевы алгебры играть за логика высказываний. Связь между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами отражает взаимосвязь между интуиционистской логикой и S4, в котором можно интерпретировать теории интуиционистской логики как S4 теории закрыто под необходимость. Однозначное соответствие между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами, порожденными их открытыми элементами, отражает соответствие между расширениями интуиционистской логики и нормальными расширениями модальной логики. S4.Grz.

Производные алгебры

Учитывая внутреннюю алгебру А, оператор замыкания подчиняется аксиомам производный оператор, ^D. Следовательно, мы можем сформировать производная алгебра D(А) с той же базовой булевой алгеброй, что и А с помощью оператора замыкания в качестве производного оператора.

Таким образом, внутренние алгебры производные алгебры. С этой точки зрения именно они разнообразие производных алгебр, удовлетворяющих тождеству Икс^D ≥ Икс. Производные алгебры обеспечивают соответствующие алгебраическая семантика для модальной логики WK4. Следовательно, производные алгебры являются топологическими. производные множества и WK4 поскольку алгебры интерьера / замыкания соответствуют топологическим внутренностям / замыканиям и S4.

Учитывая производную алгебру V с производным оператором ^D, мы можем сформировать внутреннюю алгебру я(V) с той же базовой булевой алгеброй, что и V, с операторами интерьера и замыкания, определенными Икс^я = Икс·Икс ′ ^D ' и Икс^C = Икс + Икс^D, соответственно. Таким образом, любую производную алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру. Более того, учитывая внутреннюю алгебру А, у нас есть я(D(А)) = А. Тем не мение, D(я(V)) = V делает нет обязательно выполняется для любой производной алгебры V.

Двойственность камня и представление для внутренних алгебр

Каменная двойственность обеспечивает теоретико-категориальную двойственность между булевыми алгебрами и классом топологических пространств, известным как Булевы пространства. Опираясь на зарождающиеся идеи реляционной семантики (позже формализованные Крипке ) и результат Р. С. Пирса, Йонссон, Тарский и Г. Хансул распространили двойственность Стоуна на Булевы алгебры с операторами снабдив булевы пространства отношениями, соответствующими операторам через конструкция силовой установки. В случае внутренних алгебр внутренний (или замыкающий) оператор соответствует предварительному порядку на булевом пространстве. Гомоморфизмы между внутренними алгебрами соответствуют классу непрерывных отображений между булевыми пространствами, известным как псевдоэпиморфизмы или же p-морфизмы для краткости. Это обобщение двойственности Стоуна на внутренние алгебры, основанное на представлении Йонссона – Тарского, было исследовано Лео Эсакия и также известно как Двойственность Эсакии для S4-алгебр (внутренних алгебр) и тесно связан с Двойственность Эсакии для гейтинговых алгебр.

В то время как обобщение двойственности Стоуна по Йонссону – Тарски применимо к булевым алгебрам с операторами в целом, связь между внутренними алгебрами и топологией позволяет использовать другой метод обобщения двойственности Стоуна, который является уникальным для внутренних алгебр. Промежуточным этапом в развитии двойственности Стоуна является Теорема Стоуна о представлении который представляет булеву алгебру как поле наборов. Топология Стоуна соответствующего булевого пространства затем генерируется с использованием поля множеств в качестве топологическая основа. Опираясь на топологическая семантика введенный Тан Цао-Ченом для модальной логики Льюиса, McKinsey и Тарский показали, что путем создания топологии, эквивалентной использованию в качестве основы только комплексов, которые соответствуют открытым элементам, представление внутренней алгебры получается как топологическое поле множеств - поле множеств на топологическом пространстве, замкнутое относительно взятия внутренностей или замыканий. Оснащая топологические поля множеств подходящими морфизмами, известными как полевые карты К. Натурман показал, что этот подход может быть формализован как теоретико-категориальная двойственность Стоуна, в которой обычная двойственность Стоуна для булевых алгебр соответствует случаю внутренних алгебр, имеющих избыточный внутренний оператор (булевы внутренние алгебры).

Предварительный порядок, полученный в подходе Йонссона – Тарского, соответствует отношению доступности в семантике Крипке для теории S4, в то время как промежуточное поле множеств соответствует представлению алгебры Линденбаума – Тарского для теории с использованием множеств возможных миров в семантике Крипке, в которой верны предложения теории. Переход от области множеств к булеву пространству несколько запутывает эту связь. Рассматривая поля множеств в предварительных заказах как самостоятельную категорию, эта глубокая связь может быть сформулирована как теоретико-категориальная двойственность, обобщающая представление Стоуна без топологии. Р. Голдблатт показал, что с ограничениями на соответствующие гомоморфизмы такая двойственность может быть сформулирована для произвольных модальных алгебр и модальных шкал. Натурман показал, что в случае внутренних алгебр эта двойственность применяется к более общим топоморфизмам и может быть факторизована с помощью теоретико-категорийного функтора через двойственность с топологическими полями множеств. Последние представляют алгебру Линденбаума – Тарского с использованием наборов точек, удовлетворяющих предложениям теории S4 в топологической семантике. Предварительный заказ может быть получен как предварительный заказ специализации топологии McKinsey-Tarski. Двойственность Эсакии может быть восстановлена с помощью функтора, который заменяет поле множеств генерируемым им булевым пространством. С помощью функтора, который вместо этого заменяет предпорядок соответствующей топологией Александрова, получается альтернативное представление внутренней алгебры в виде поля множеств, где топология является бикоотражением Александрова топологии Мак-Кинси-Тарского. Подход к формулировке топологической двойственности для внутренних алгебр с использованием как топологии Стоуна подхода Йонссона – Тарского, так и топологии Александрова предварительного порядка для формирования би-топологического пространства исследовался Г. Бежанишвили, Р. Майнсом и П. Дж. Моранди. Топология Маккинси-Тарского внутренней алгебры - это пересечение первых двух топологий.

Метаматематика

Гжегорчик доказал элементарную теорию алгебр замыкания неразрешимый.^[1]^[2] Натурман продемонстрировал, что теория наследственно неразрешимый (все его подтеории неразрешимы) и продемонстрировал бесконечную цепочку элементарных классов внутренних алгебр с наследственно неразрешимыми теориями.

Примечания

^ Анджей Гжегорчик (1951), «Неразрешимость некоторых топологических теорий», Fundamenta Mathematicae 38: 137–52.
^ Согласно сноске 19 в McKinsey and Tarski, 1944, результат был ранее доказан С. Ясковским в 1939 году, но остался неопубликованным и недоступным. ввиду нынешних [в то время] военных условий.