Гиперболическое метрическое пространство - Hyperbolic metric space

В математике гиперболическое метрическое пространство это метрическое пространство удовлетворяющие определенным метрическим соотношениям (количественно зависящим от неотрицательного действительного числа δ) между точками. Определение, введенное Михаил Громов, обобщает метрические свойства классических гиперболическая геометрия и из деревья. Гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое очень полезно для изучения некоторых бесконечных группы позвонил (Громов-)гиперболические группы.

Определения

В этом абзаце мы даем различные определения ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство. Метрическое пространство называется (по Громову) гиперболическим, если оно ${\displaystyle \delta }$-гиперболический для некоторых ${\displaystyle \delta >0}$.

Определение с использованием произведения Громова

Основная статья: Громова произведение

Позволять ${\displaystyle (X,d)}$ быть метрическое пространство. В Громова произведение из двух точек ${\displaystyle y,z\in X}$ по отношению к третьему ${\displaystyle x\in X}$ определяется формулой:

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)\right).}$

Громов определяет гиперболическое метрическое пространство следующим образом: ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle \delta }$-гиперболический тогда и только тогда, когда все ${\displaystyle x,y,z,w\in X}$ удовлетворить четырехточечное условие

${\displaystyle (x,z)_{w}\geq \min \left((x,y)_{w},(y,z)_{w}\right)-\delta }$

Обратите внимание, что если это условие выполняется для всех ${\displaystyle x,y,z\in X}$ и одна фиксированная базовая точка ${\displaystyle w_{0}}$, то она для всех удовлетворяется постоянной ${\displaystyle 2\delta }$.^[1] Таким образом, условие гиперболичности нужно проверять только для одной фиксированной базовой точки; по этой причине индекс базовой точки в произведении Громова часто опускается.

Определения с использованием треугольников

Смотрите также: Идеальный треугольник и Гиперболический треугольник

До изменения ${\displaystyle \delta }$ постоянным кратным, существует эквивалентное геометрическое определение, включающее треугольники, когда метрическое пространство ${\displaystyle X}$ является геодезический, т.е. любые две точки ${\displaystyle x,y\in X}$ конечные точки геодезического отрезка ${\displaystyle [x,y]}$ (изометрическое изображение компактного подынтервала ${\displaystyle [a,b]}$ реалов). ^{[2][3] [4]} Обратите внимание, что определение с помощью произведений Громова не требует, чтобы пространство было геодезическим.

Позволять ${\displaystyle x,y,z\in X}$. Геодезический треугольник с вершинами ${\displaystyle x,y,z}$ объединение трех геодезических отрезков ${\displaystyle [x,y],[y,z],[z,x]}$ (куда ${\displaystyle [p,q]}$ обозначает сегмент с конечными точками ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$).

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle z}$

${\displaystyle B_{\delta }([x,y])}$

${\displaystyle B_{\delta }([z,x])}$

${\displaystyle B_{\delta }([y,z])}$

Условие δ-тонкого треугольника

Если для любой точки ${\displaystyle m\in [x,y]}$ есть смысл в ${\displaystyle [y,z]\cup [z,x]}$ на расстоянии меньше чем ${\displaystyle \delta }$ из ${\displaystyle m}$, и аналогично для точек на других краях, и ${\displaystyle \delta \geq 0}$ тогда треугольник называется ${\displaystyle \delta }$-стройный .

Определение ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство - это геодезическое метрическое пространство, все геодезические треугольники которого ${\displaystyle \delta }$-стройный. Это определение обычно приписывают Элияху Рипс.

Другое определение можно дать, используя понятие ${\displaystyle C}$-приблизительный центр геодезического треугольника: это точка, которая находится на расстоянии не более ${\displaystyle C}$ любого ребра треугольника («приблизительный» вариант стимулятор ). Пространство ${\displaystyle \delta }$-гиперболический, если каждый геодезический треугольник имеет ${\displaystyle \delta }$-центр.

Эти два определения ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство с использованием геодезических треугольников не совсем эквивалентно, но существует ${\displaystyle k>1}$ так что ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство в первом смысле - это ${\displaystyle k\cdot \delta }$-гиперболический во втором, и наоборот.^[5] Таким образом, понятие гиперболического пространства не зависит от выбранного определения.

Примеры

В гиперболическая плоскость гиперболичен: на самом деле окружать геодезического треугольника - это окружность наибольшего диаметра, содержащаяся в треугольнике, и каждый геодезический треугольник лежит внутри идеального треугольника, все из которых изометричны с вписанными окружностями диаметра 2 log 3.^[6] Заметим, что в этом случае произведение Громова также имеет простую интерпретацию в терминах вписанной окружности геодезического треугольника. Фактически количество (А,B)_C это просто гиперболическое расстояние п из C к любой из точек соприкосновения вписанной окружности со смежными сторонами: для из диаграммы c = (а – п) + (б – п), так что п = (а + б – c)/2 = (А,B)_C.^[7]

В Евклидова плоскость не является гиперболическим, например, из-за существования гомотетии.

Два «вырожденных» примера гиперболических пространств - это пространства с ограниченным диаметром (например, конечные или компактные пространства) и вещественная прямая.

Метрическая деревья и вообще настоящие деревья являются простейшими интересными примерами гиперболических пространств, поскольку они являются 0-гиперболическими (т.е. все треугольники являются треногами).

1-скелет триангуляции евклидовыми равносторонними треугольниками не является гиперболическим (фактически он квазиизометричен евклидовой плоскости). Триангуляция плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ имеет гиперболический 1-скелет, если каждая вершина имеет степень 7 или больше.

Двумерная сетка не является гиперболической (она квазиизометрична евклидовой плоскости). Это Граф Кэли из фундаментальная группа из тор; граф Кэли фундаментальных групп поверхности высшего рода гиперболичен (фактически, он квазиизометричен гиперболической плоскости).

Гиперболичность и кривизна

Гиперболическая плоскость (и вообще любая Многообразия Адамара из секционная кривизна ${\displaystyle \leq -1}$) является ${\displaystyle 2}$-гиперболический. Если масштабировать риманову метрику в множитель ${\displaystyle \lambda >0}$ то расстояния умножаются на ${\displaystyle \lambda }$ и таким образом мы получаем пространство, которое ${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$-гиперболический. Поскольку кривизна умножается на ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$ мы видим, что в этом примере «чем больше (отрицательно) искривлено пространство, тем оно более гиперболично (измеряется его константой гиперболичности ${\displaystyle \delta }$)".

Подобные примеры CAT пространства отрицательной кривизны. Что касается кривизны и гиперболичности, следует отметить, однако, что, хотя кривизна является свойством, которое по существу является локальным, гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое не видит локальных (то есть происходящих в ограниченной области) метрических явлений. Например, объединение гиперболического пространства с компактным пространством с любой метрикой, продолжающей исходные, остается гиперболическим.

Важные свойства

Инвариантность относительно квазиизометрии

Один из способов уточнить значение термина «большой масштаб» - потребовать инвариантности при квазиизометрия. Это верно в отношении гиперболичности.

Если геодезическое метрическое пространство ${\displaystyle Y}$ квазиизометрично ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство ${\displaystyle X}$ тогда существует ${\displaystyle \delta '}$ такой, что ${\displaystyle Y}$ является ${\displaystyle \delta '}$-гиперболический.

Постоянная ${\displaystyle \delta '}$ зависит от ${\displaystyle \delta }$ а также о мультипликативных и аддитивных константах квазиизометрии.^[8]

Приближенные деревья в гиперболических пространствах

Определение гиперболического пространства в терминах произведения Громова можно рассматривать как утверждение, что метрические отношения между любыми четырьмя точками такие же, как и в дереве, с точностью до аддитивной константы ${\displaystyle \delta }$. В более общем плане следующее свойство показывает, что любое конечное подмножество гиперболического пространства выглядит как конечное дерево.

Для любого ${\displaystyle n,\delta }$ есть постоянный ${\displaystyle C}$ такое, что имеет место следующее: если ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ точки в ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство ${\displaystyle X}$ есть конечное дерево ${\displaystyle T}$ и вложение ${\displaystyle f:T\to X}$ такой, что ${\displaystyle x_{i}\in f(T)}$ для всех ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ и

${\displaystyle \forall i,j:d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))\leq d(x_{i},x_{j})\leq d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))+C}$

Постоянная ${\displaystyle C}$ можно принять за ${\displaystyle \delta \cdot h(n)}$ с ${\displaystyle h(n)=O(\log n)}$ и это оптимально.^[9]

Экспоненциальный рост расстояний и изопериметрических неравенств

В гиперболическом пространстве ${\displaystyle X}$ у нас есть следующее свойство:^[10]

Есть ${\displaystyle \mu ,K>0}$ такой, что для всех ${\displaystyle p,x,y\in X}$ с ${\displaystyle d(p,x)=d(p,y)=:r}$, каждый путь ${\displaystyle \alpha }$ присоединение ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$ и оставаясь на расстоянии хотя бы ${\displaystyle r}$ из ${\displaystyle p}$ имеет длину не менее ${\displaystyle e^{\mu \cdot d(x,y)}-K}$.

Неформально это означает, что окружность «круга» радиуса ${\displaystyle r}$ растет экспоненциально с ${\displaystyle r}$. Это напоминает изопериметрическая задача на евклидовой плоскости. Вот более конкретное заявление на этот счет.^[11]

Предположим, что ${\displaystyle X}$ это клеточный комплекс размерности 2 такой, что его 1-скелет гиперболичен, и существует ${\displaystyle C}$ такое, что граница любой 2-клетки содержит не более ${\displaystyle C}$ 1-кл. Тогда есть постоянная ${\displaystyle \lambda >0}$ такое, что для любого конечного подкомплекса ${\displaystyle Y\subset X}$ у нас есть

${\displaystyle \operatorname {area} (Y)\leq \lambda \cdot \operatorname {length(\partial Y)} }$

Здесь площадь 2-комплекса - это количество 2-ячеек, а длина 1-комплекса - это количество 1-ячеек. Приведенное выше утверждение является линейным изопериметрическое неравенство ; оказывается, что наличие такого изопериметрического неравенства характеризует Громов-гиперболические пространства.^[12] Линейные изопериметрические неравенства были вдохновлены небольшая отмена условия от комбинаторная теория групп.

Квазивыпуклые подпространства

Подпространство ${\displaystyle Y}$ геодезического метрического пространства ${\displaystyle X}$ называется квазивыпуклой, если существует постоянная ${\displaystyle C}$ такая, что любая геодезическая в ${\displaystyle x}$ между двумя точками ${\displaystyle Y}$ находится на расстоянии ${\displaystyle C}$ из ${\displaystyle Y}$.

Квазивыпуклое подпространство гиперболического пространства гиперболично.

Асимптотические конусы

Все асимптотические конусы гиперболического пространства настоящие деревья. Это свойство характеризует гиперболические пространства.^[13]

Граница гиперболического пространства

Обобщая конструкцию заканчивается Для симплициального дерева существует естественное понятие границы на бесконечности для гиперболических пространств, которое оказалось очень полезным для анализа действий групп.

В этом абзаце ${\displaystyle X}$ является геодезическим метрическим пространством, которое является гиперболическим.

Определение с использованием произведения Громова

Последовательность ${\displaystyle (x_{n})\in X^{\mathbb {N} }}$ говорят сходятся к бесконечности если для какой-то (или любой) точки ${\displaystyle p}$ у нас есть это ${\displaystyle (x_{n},x_{m})_{p}\rightarrow \infty }$ Как оба ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ уйти в бесконечность. Две последовательности ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}$ сходящиеся к бесконечности считаются эквивалентными, когда ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(x_{n},y_{n})_{p}=+\infty }$ (для некоторых или любых ${\displaystyle p}$). В граница из ${\displaystyle X}$ - множество классов эквивалентности последовательностей, сходящихся к бесконечности,^[14] который обозначается ${\displaystyle \partial X}$.

Если ${\displaystyle \xi ,\eta }$ являются двумя точками на границе, то их произведение Громова определяется как:

${\displaystyle (\xi ,\eta )=\sup _{(x_{n})=\xi ,(y_{n})=\eta }\left(\liminf _{n,m\to +\infty }(x_{n},y_{m})_{p}\right)}$

которая конечна и не зависит от ${\displaystyle p\in X}$. Затем можно определить топологию на ${\displaystyle \partial X}$ используя функции ${\displaystyle (\cdot ,\xi )}$.^[15] Эта топология на ${\displaystyle \partial X}$ метризуем, и существует особенное семейство метрик, определяемых с помощью произведения Громова.^[16]

Определение собственных пространств с использованием лучей

Позволять ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ быть двумя квазиизометрические вложения из ${\displaystyle [0,+\infty [}$ в ${\displaystyle X}$ («квазигеодезические лучи»). Они считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle t\mapsto d(\alpha (t),\beta (t))}$ ограничен ${\displaystyle [0,+\infty [}$. Если пространство ${\displaystyle X}$ собственно, то множество всех таких вложений по модулю эквивалентности со своей естественной топологией гомеоморфно ${\displaystyle \partial X}$ как определено выше.^[17]

Аналогичная реализация заключается в том, чтобы зафиксировать базовую точку и рассматривать только квазигеодезические лучи, исходящие из этой точки. В случае ${\displaystyle X}$ является геодезическим и собственным, можно также ограничиться настоящими геодезическими лучами.

Примеры

Когда ${\displaystyle X=T}$ является симплициальным регулярным деревом, граница - это просто пространство концов, которое является канторовым множеством. Фиксация точки ${\displaystyle x\in T}$ дает естественное расстояние на ${\displaystyle \partial T}$: две точки, представленные лучами ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ происходящий из ${\displaystyle x}$ на расстоянии ${\displaystyle \exp(-\operatorname {Length} (\alpha \cap \beta ))}$.

Когда ${\displaystyle X}$ - единичный диск, т.е. Модель диска Пуанкаре для гиперболической плоскости гиперболическая метрика на круге есть

${\displaystyle ds^{2}={4|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}}$

а границу Громова можно отождествить с единичной окружностью.

Граница ${\displaystyle n}$-мерное гиперболическое пространство гомеоморфно пространству ${\displaystyle n-1}$-мерная сфера и метрика аналогичны указанной выше.

Функции Буземана

Если ${\displaystyle X}$ собственно, то его граница гомеоморфна пространству Функции Буземана на ${\displaystyle X}$ по модулю переводов.^[18]

Действие изометрий на границе и их классификация

Квазиизометрия между двумя гиперболическими пространствами ${\displaystyle X,Y}$ индуцирует гомеоморфизм между границами.

В частности, группа изометрий ${\displaystyle X}$ действует гомеоморфизмами на ${\displaystyle \partial X}$. Это действие можно использовать^[19] классифицировать изометрии в соответствии с их динамическим поведением на границе, обобщая это для деревьев и классических гиперболических пространств. Позволять ${\displaystyle g}$ быть изометрией ${\displaystyle X}$, то произойдет один из следующих случаев:

• Первый случай: ${\displaystyle g}$ имеет ограниченную орбиту на ${\displaystyle X}$ (в случае ${\displaystyle X}$ правильно это означает, что ${\displaystyle g}$ имеет фиксированную точку в ${\displaystyle X}$). Тогда это называется эллиптический изометрия.
• Второй случай: ${\displaystyle g}$ имеет ровно две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{+},\xi _{-}}$ на ${\displaystyle \partial X}$ и каждая положительная орбита ${\displaystyle \{g^{n}\xi :n\geq 0\},\xi \not =\xi _{-}}$ накапливается только в ${\displaystyle \xi _{+}}$. потом ${\displaystyle g}$ называется гиперболический изометрия.
• Третий случай: ${\displaystyle g}$ имеет ровно одну фиксированную точку на границе, и все орбиты накапливаются в этой точке. Тогда это называется параболический изометрия.

Еще примеры

Подмножества теории гиперболические группы можно использовать, чтобы дать больше примеров гиперболических пространств, например Граф Кэли из небольшая группа отмены. Также известно, что графы Кэли некоторых моделей случайные группы (который, по сути, представляет собой бесконечный регулярный граф, генерируемый случайным образом) очень часто бывает гиперболическим.

Доказать, что некоторые пространства гиперболичны, может быть сложно и интересно. Например, следующие результаты гиперболичности привели к открытию новых явлений для групп, действующих на них.

• Гиперболичность комплекс кривой^[20] привел к новым результатам по группе классов отображения.^[21]
• Точно так же гиперболичность некоторых графов^[22] связанной с внешней группой автоморфизмов Выход (Fn) привел к новым результатам в этой группе.

Смотрите также

• Группа с отрицательным изгибом
• Идеальный треугольник

Примечания

1. Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г., стр. 2–3
2. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 2, предложение 21.
3. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Предложение 1.22.
4. Корнеарт, Дельзант и Пападопулос, стр. 6–8. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFCoorneartDelzantPapadopoulos (помощь)
5. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Предложение 1.17.
6. Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г., стр. 11–12
7. Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г., п. 1–2 с
8. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 5, Предложение 15.
9. Bowditch 2006, Глава 6.4.
10. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Предложение 1.25.
11. более общее утверждение дается в Бридсон и Хефлигер (1999), Глава III.H, Предложение 2.7)
12. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Теорема 2.9.
13. Дюбина (Эршлер), Анна; Полтерович, Иосиф (2001). «Явные конструкции универсального р-деревья и асимптотическая геометрия гиперболических пространств ». Бык. Лондонская математика. Soc. 33. С. 727–734. МИСТЕР  1853785.
14. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, стр. 120.
15. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, раздел 2.
16. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, раздел 3.
17. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, Предложение 4.
18. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., п. 428.
19. де ла Харп и Гиз 1990, Глава 8.
20. Masur, Howard A .; Минский, Яир Н. (1999). «Геометрия комплекса кривых. I. Гиперболичность». Изобретать. Математика. 138. С. 103–149. МИСТЕР  1714338.
21. Дахмани, Франсуа; Гирардел, Винсент; Осин, Денис. «Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах».
22. Бествина, Младен; Файн, Марк (2014). «Гиперболичность комплекса свободных факторов». Adv. Математика. 256. С. 104–155. МИСТЕР  3177291.

Рекомендации

• Боудич, Брайан (2006), Курс геометрической теории групп (PDF), Мат. соц. Япония
• Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны, Springer
• Coornaert, M .; Delzant, T .; Пападопулос, А. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Гиперболические группы Громова, Конспект лекций по математике (на французском языке), 1441, Springer-Verlag, ISBN  3-540-52977-2
• де ла Харп, Пьер; Гиз, Этьен (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Михаил Громов (на французском), Birkhäuser
• Громов, Михаэль (1987), "Гиперболические группы", в Герстене, С. (ред.), Очерки теории групп, Springer, стр. 75–264.
• Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии, Серия университетских лекций, 31, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3332-2
• Вяйсяля, Юсси (2005), «Гиперболические пространства Громова» (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187–231, Дои:10.1016 / j.exmath.2005.01.010, МИСТЕР  2164775.