Конец (теория графов) - End (graph theory)

в математика из бесконечные графы, конец Интуитивно представляет собой направление, в котором граф простирается до бесконечности. Концы могут быть формализованы математически как классы эквивалентности бесконечного пути, так как убежища описание стратегий для преследование-уклонение игры на графе, или (в случае локально конечных графов) как топологические концы из топологические пространства связанный с графом.

Можно использовать концы графиков (через Графики Кэли ) для определения концов конечно порожденные группы. Конечно порожденные бесконечные группы имеют один, два или бесконечно много концов, и Теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Определение и характеристика

Концы графиков определялись Рудольф Халин (1964 ) в терминах классов эквивалентности бесконечных путей.^[1] А луч в бесконечном графе есть полубесконечный простой путь; то есть это бесконечная последовательность вершин v₀, v₁, v₂, ... в котором каждая вершина появляется не более одного раза в последовательности, а каждые две последовательные вершины в последовательности являются двумя конечными точками ребра в графе. Согласно определению Халина, два луча р₀ и р₁ эквивалентны, если есть другой луч р₂ (не обязательно отличного от любого из первых двух лучей), который содержит бесконечно много вершин в каждом из р₀ и р₁. Это отношение эквивалентности: каждый луч эквивалентен самому себе, определение симметрично относительно упорядочения двух лучей, и можно показать, что переходный. Следовательно, он разбивает множество всех лучей на классы эквивалентности, и Халин определил конец как один из этих классов эквивалентности.

Также использовалось альтернативное определение того же отношения эквивалентности:^[2] два луча р₀ и р₁ эквивалентны, если нет конечного множества Икс вершин, которые отделяет бесконечно много вершин р₀ из бесконечно множества вершин р₁. Это эквивалентно определению Халина: если луч р₂ из определения Халина существует, то любой разделитель должен содержать бесконечно много точек р₂ и поэтому не может быть конечным, и наоборот, если р₂ не существует, тогда путь, который чередуется как можно больше раз между р₀ и р₁ должен образовывать желаемый конечный разделитель.

Концы также имеют более конкретную характеристику с точки зрения убежища, функции, описывающие стратегии уклонения преследование-уклонение игры на графике грамм.^[3] В рассматриваемой игре грабитель пытается уклониться от группы полицейских, перемещаясь от вершины к вершине по краям грамм. У полиции есть вертолеты, поэтому ей не нужно следить за краями; однако грабитель может видеть приближающуюся полицию и может выбрать, куда двигаться дальше, прежде чем вертолеты приземлятся. Убежище - это функция β, которая отображает каждое множество Икс локаций полиции к одному из связанных компонентов подграфа, образованного удалением Икс; грабитель может уклониться от полиции, перемещаясь в каждом раунде игры к вершине внутри этого компонента. Убежища должны удовлетворять свойству согласованности (соответствующему требованию, что грабитель не может перемещаться через вершины, на которые полиция уже приземлилась): если Икс это подмножество Y, и оба Икс и Y являются допустимыми наборами локаций для данного набора полиции, тогда β (Икс) должно быть надмножеством β (Y). В гавани есть порядок k если набор полицейских участков, для которых он предоставляет стратегию побега, включает в себя все подмножества менее чем k вершины в графе; в частности, в нем порядок ℵ₀ если он отображает каждое конечное подмножество Икс вершин к компоненту грамм \ Икс. Каждый луч в грамм соответствует гавани порядка ℵ₀, а именно, функция β, отображающая каждое конечное множество Икс к уникальной составляющей грамм \ Икс содержащий бесконечно много вершин луча. Наоборот, каждое убежище порядка ℵ₀ можно определить таким образом лучом.^[4] Два луча эквивалентны тогда и только тогда, когда они определяют одно и то же убежище, поэтому концы графа находятся во взаимно однозначном соответствии с его убежищами порядка ℵ₀.

Примеры

Часть бесконечного сетка графика, с вершинами в точках пересечения двух линий сетки. Несмотря на множество разных лучей, у него только один конец.

Если бесконечный граф грамм сам является лучом, то он имеет бесконечно много лучевых подграфов, по одному из каждой вершины грамм. Однако все эти лучи эквивалентны друг другу, поэтому грамм только один конец.

Если грамм является лесом (то есть графом без конечных циклов), то пересечение любых двух лучей является либо путем, либо лучом; два луча эквивалентны, если их пересечение является лучом. Если выбрать базовую вершину в каждой компоненте связности грамм, затем каждый конец грамм содержит единственный луч, начинающийся с одной из базовых вершин, поэтому концы могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие с этими каноническими лучами. Каждый счетный граф грамм имеет покрывающий лес с тем же набором концов, что и грамм.^[5] Однако существует несчетное количество графов с одним концом, в которых каждое остовное дерево имеет бесконечно много концов.^[6]

Если грамм бесконечный сеточный график, то у него много лучей и сколь угодно большие наборы вершинно-непересекающихся лучей. Однако у него только один конец. В этом легче всего убедиться, используя характеристику концов в терминах убежищ: удаление любого конечного набора вершин оставляет ровно одну бесконечную связную компоненту, поэтому есть только одна гавань (та, которая отображает каждое конечное множество в уникальную бесконечную связную компоненту). компонент).

Отношение к топологическим целям

В точечная топология, существует концепция конца, которая похожа, но не совсем такая же, как концепция конца в теории графов, восходящая к гораздо более ранней Фройденталь (1931). Если топологическое пространство может быть покрыто вложенной последовательностью компактные наборы ${ displaystyle kappa _ {0} subset kappa _ {1} subset kappa _ {2} dots}$ , то конец пространства - это последовательность компонентов ${ Displaystyle U_ {0} supset U_ {1} supset U_ {2} точки}$ дополнений к компактам. Это определение не зависит от выбора компактов: концы, определенные одним таким выбором, могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие с концами, определенными любым другим выбором.

Бесконечный граф грамм может быть преобразовано в топологическое пространство двумя разными, но связанными способами:

Замена каждой вершины графа точкой и каждого ребра графа открытым единичный интервал производит Пространство Хаусдорфа из графа, в котором множество S определяется как открытый всякий раз, когда каждое пересечение S с ребром графа - открытое подмножество единичного интервала.
Замена каждой вершины графа точкой и каждого ребра графа точкой дает нехаусдорфово пространство, в котором открытыми множествами являются множества S со свойством, что если вершина v из грамм принадлежит S, то и каждое ребро, имеющее v как одна из его конечных точек.

В любом случае каждый конечный подграф графа грамм соответствует компактному подпространству топологического пространства, и каждое компактное подпространство соответствует конечному подграфу вместе с, в случае Хаусдорфа, конечным числом компактных собственных подмножеств ребер. Таким образом, граф может быть покрыт вложенной последовательностью компактов тогда и только тогда, когда он локально конечен, имея конечное число ребер в каждой вершине.

Если график грамм связно и локально конечно, то оно имеет компактное покрытие, в котором множество κ_я множество вершин, находящихся на расстоянии не более я из произвольно выбранной начальной вершины. В этом случае любая гавань β определяет конец топологического пространства, в котором ${ Displaystyle U_ {я} = бета ( каппа _ {я})}$ . И наоборот, если ${ Displaystyle U_ {0} supset U_ {1} supset U_ {2} точки}$ конец топологического пространства, определяемого грамм, он определяет убежище, в котором β (Икс) - компонент, содержащий U_я, куда я любое число, достаточно большое, чтобы κ_я содержит Икс. Таким образом, для связных и локально конечных графов топологические концы находятся во взаимно однозначном соответствии с теоретико-графовыми концами.^[7]

Для графов, которые не могут быть локально конечными, по-прежнему возможно определить топологическое пространство из графа и его концов. Это пространство можно представить как метрическое пространство тогда и только тогда, когда граф имеет нормальное остовное дерево, укоренившийся остовное дерево такое, что каждое ребро графа соединяет пару предок-потомок. Если нормальное остовное дерево существует, оно имеет тот же набор концов, что и данный граф: каждый конец графа должен содержать ровно один бесконечный путь в дереве.^[8]

Особые виды концов

Бесплатные концы

Конец E графа грамм определяется как свободный конец если есть конечное множество Икс вершин со свойством Икс отделяет E со всех остальных концов графика. (То есть в терминах убежищ β_E(Икс) не пересекается с β_D(Икс) для всех остальных концов D.) В графе с конечным числом концов каждый конец должен быть свободен. Халин (1964) доказывает, что если грамм имеет бесконечно много концов, то либо существует несвободный конец, либо существует бесконечное семейство лучей, которые имеют общую начальную вершину и в противном случае не пересекаются друг с другом.

Толстые концы

А толстый конец графа грамм - конец, содержащий бесконечно много попарно-непересекающийся лучи. Сеточная теорема Халина характеризует графы, содержащие толстые концы: это именно те графы, которые имеют подразделение из шестиугольная черепица как подграф.^[9]

Особые виды графиков

Симметричные и почти симметричные графы

Мохар (1991) определяет связный локально конечный граф как «почти симметричный», если существует вершина v и ряд D такой, что для любой другой вершины ш, существует автоморфизм графа, для которого изображение v находится на расстоянии D из ш; эквивалентно, связный локально конечный граф почти симметричен, если его группа автоморфизмов имеет конечное число орбит. Как он показывает, для каждого связного локально конечного почти симметричного графа число концов не более двух или неисчислимо; если он несчетный, концы имеют топологию Кантор набор. Кроме того, Мохар показывает, что количество концов контролирует Постоянная Чигера

{ displaystyle h = inf left {{ frac {| partial V |} {| V |}} right },}

куда V пробегает все конечные непустые множества вершин графа и где ${ displaystyle partial V}$ обозначает множество ребер с одним концом в V. Для почти симметричных графов с несчетным числом концов час > 0; однако для почти симметричных графов только с двумя концами час = 0.

Графики Кэли

График Кэли свободная группа на двух генераторах а и б. Концы группы находятся во взаимно однозначном соответствии с лучами (бесконечными путями) от единичного элемента е к краям рисунка.

Каждый группа а набор генераторов для группы определяет Граф Кэли, граф, вершинами которого являются элементы группы, а ребрами - пары элементов (Икс,gx) куда грамм является одним из генераторов. В случае конечно порожденная группа, концы группы определяются как концы графа Кэли для конечного набора образующих; это определение инвариантно относительно выбора генераторов в том смысле, что если выбраны два различных конечных набора генераторов, концы двух графов Кэли находятся во взаимно однозначном соответствии друг с другом.

Например, каждый свободная группа имеет граф Кэли (для его свободных генераторов), который является деревом. Свободная группа с одним образующим имеет в качестве графа Кэли дважды бесконечный путь с двумя концами. У любой другой свободной группы бесконечно много концов.

Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет 1, 2 или бесконечно много концов, и Теорема Столлингса о концах групп обеспечивает декомпозицию групп с более чем одним концом.^[10] Особенно:

Конечно порожденная бесконечная группа имеет 2 конца тогда и только тогда, когда она имеет циклический подгруппа конечных индекс.
Конечно порожденная бесконечная группа имеет бесконечно много концов тогда и только тогда, когда она является либо нетривиальной бесплатный продукт с амальгамированием или же HNN-расширение с конечным слиянием.
Все остальные конечно порожденные бесконечные группы имеют ровно один конец.

Примечания

^ Однако, как Крён и Мёллер (2008) Отметим, что концы графиков уже рассматривались Фройденталь (1945).
^ Например, это форма отношения эквивалентности, используемая Дистель и Кюн (2003).
^ Номенклатура гавани и тот факт, что два луча определяют одну и ту же гавань тогда и только тогда, когда они эквивалентны, обусловлены Робертсон, Сеймур и Томас (1991). Дистель и Кюн (2003) доказали, что каждое убежище происходит из конца, завершая взаимное соответствие между концом и убежищем, используя другую номенклатуру, в которой они назвали убежища «направлениями».
^ Доказательство Дистель и Кюн (2003) То, что каждое убежище можно определить с помощью луча, нетривиально и включает два случая. Если набор ${ Displaystyle S = bigcap _ {X} left ( beta (X) чашка X right)}$ (куда Икс пробегает все конечные множества вершин) бесконечно, то существует луч, проходящий через бесконечно много вершин S, что обязательно определяет β. С другой стороны, если S конечно, то Дистель и Кюн (2003) покажем, что в этом случае существует последовательность конечных множеств Икс_я которые отделяют конец от всех точек, расстояние до которых от произвольно выбранной начальной точки в грамм \ S является я. В этом случае убежище определяется любым лучом, за которым следует грабитель, использующий убежище, чтобы убежать от полиции, которая приземляется в установленной точке. Икс_я в раунде я игры преследования-уклонения.
^ Точнее, в первоначальной формулировке этого результата Халин (1964) в котором концы определены как классы эквивалентности лучей, каждый класс эквивалентности лучей грамм содержит единственный непустой класс эквивалентности лучей остовного леса. Что касается убежищ, существует взаимно однозначное соответствие гаваней порядка ℵ₀ между грамм и его остовное дерево Т для которого ${ displaystyle beta _ {T} (X) subset beta _ {G} (X)}$ для каждого конечного множества Икс и каждая соответствующая пара убежищ β_Т и β_грамм.
^ Сеймур и Томас (1991); Томассен (1992); Дистель (1992).
^ Дистель и Кюн (2003).
^ Дистель (2006).
^ Халин (1965); Дистель (2004).
^ Киоски (1968, 1971 ).