Функция Буземана - Busemann function

В геометрическая топология, Функции Буземана используются для изучения крупномасштабной геометрии геодезических в Пространства Адамара и в частности Многообразия Адамара (односвязный полный Римановы многообразия неположительной кривизны). Они названы в честь Герберт Буземанн, кто их представил; он дал обширное освещение этой темы в своей книге 1955 года «Геодезическая геометрия».

Определение и элементарные свойства

Позволять ${\displaystyle (X,d)}$ быть метрическое пространство. А геодезический луч это путь ${\displaystyle \gamma :[0,\infty )\to X}$ который сводит к минимуму расстояние по всей длине. т.е. для всех ${\displaystyle t,t'\in [0,\infty )}$,

${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}t-t'{\big |}}$.

Эквивалентно луч - это изометрия «канонического луча» (множество ${\displaystyle [0,\infty )}$ снабженный евклидовой метрикой) в метрическое пространство Икс.

Учитывая луч γ, функция Буземана ${\displaystyle B_{\gamma }:X\to \mathbb {R} }$ определяется

${\displaystyle B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}}$

Таким образом, когда т очень большое расстояние ${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),x{\big )}}$ примерно равно ${\displaystyle t-B_{\gamma }(x)}$. Учитывая луч γ, его функция Буземана всегда четко определена: действительно, правая часть F_т(Икс) поточечно стремится к левой части на компактах, так как ${\displaystyle t-d(\gamma (t),x)=d(\gamma (t),\gamma (0))-d(\gamma (t),x)}$ ограничен сверху ${\displaystyle d(\gamma (0),x)}$ и не возрастает, поскольку, если ${\displaystyle s\leq t}$,

${\displaystyle t-s+d(x,\gamma (s))-d(x,\gamma (t))\geq t-s-d(\gamma (s),\gamma (t))=0.}$

Непосредственно из неравенства треугольника следует, что

${\displaystyle |B_{\gamma }(x)-B_{\gamma }(y)|\leq d(x,y),}$

так что ${\displaystyle B_{\gamma }}$ равномерно непрерывно. В частности, приведенная выше оценка показывает, что

• Функции Буземана: Липшицевы функции с константой 1.^[1]

К Теорема Дини, функции ${\displaystyle F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t}$ как правило ${\displaystyle B_{\gamma }(x)}$ равномерно на компактах как т стремится к бесконечности.

Пример: диск Пуанкаре

Позволять D - единичный круг на комплексной плоскости с метрикой Пуанкаре

${\displaystyle ds^{2}={4\,|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}.}$

Тогда при | z | <1 и | ζ | = 1 функция Буземана имеет вид

${\displaystyle B_{\zeta }(z)=-\log \,\left({1-|z|^{2} \over |z-\zeta |^{2}}\right),}$

где член в скобках справа - это Ядро Пуассона для единичного круга, а ζ соответствует радиальной геодезической γ от начала координат к ζ, γ (т) = ζ tanh (т/ 2). Расчет d(Икс,у) сводится к d(z,0) = d(|z|, 0) = tanh⁻¹ |z| = журнал (1+ |z|)/(1-|z|), поскольку метрика инвариантна относительно Преобразования Мебиуса в SU (1,1); геодезические через 0 имеют вид ζ грамм_т(0) где грамм_т - однопараметрическая подгруппа группы SU (1,1)

${\displaystyle g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t/2&\sinh t/2\\\sinh t/2&\cosh t/2\end{pmatrix}}.}$

Вышеприведенная формула также полностью определяет функцию Буземана благодаря инвариантности Мёбиуса. Обратите внимание, что

${\displaystyle {1-|z|^{2} \over |z-\zeta |^{2}}\leq {1-|z|^{2} \over (1-|z|)^{2}}=1-\left({|z| \over 1-|z|}\right)^{2}\leq 1,}$

так что функция Буземана в этом случае неотрицательна.^[2]

Функции Буземана на пространстве Адамара

В Пространство Адамара, где любые две точки соединены единственным геодезическим отрезком, функция F = F_т является выпуклый, т.е. выпуклые на геодезических отрезках [Икс,у]. В явном виде это означает, что если z(s) - точка, разделяющая [Икс,у] в соотношении s : (1 − s), тогда F(z(s)) ≤ s F(Икс) + (1 − s) F(у). Для фиксированных а функция d(Икс,а) выпуклый, а значит, и его сдвиги; в частности, если γ - геодезический луч в Икс, тогда F_т выпуклый. Поскольку функция Буземана B_γ поточечный предел F_т,

• Функции Буземана выпуклы на пространствах Адамара.^[3]
• На пространстве Адамара функции ${\displaystyle F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t}$ сходятся равномерно к ${\displaystyle B_{\gamma }}$ равномерно на любом ограниченном подмножестве X.^[4][5]

Позволять час(т) = d(у, γ (т)) − т = F_т(у). Поскольку γ (т) параметризуется длиной дуги, из первой теоремы сравнения Александрова для пространств Адамара следует, что функция грамм(т) = d(у, γ (т))² − т² выпуклый. Следовательно, при 0 < s < т

${\displaystyle g(s)\leq (1-{s \over t})g(0)+{s \over t}g(t).}$

Таким образом

${\displaystyle 2sh(s)\leq (h(s)+s)^{2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h(t)^{2})\leq d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},}$

так что

${\displaystyle |F_{s}(y)-F_{t}(y)|=|h(s)-h(t)|\leq {1 \over 2}(s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.}$

Сдача т стремятся к ∞, следует, что

${\displaystyle |F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x,y)^{2} \over 2s},}$

поэтому сходимость равномерна на ограниченных множествах.

Отметим, что приведенное выше неравенство для ${\displaystyle |F_{s}(y)-F_{t}(y)|}$ (вместе с его доказательством) справедливо и для геодезических отрезков: если Γ (т) - геодезический отрезок, начинающийся в Икс и параметризовано длиной дуги, тогда

${\displaystyle |d(y,\Gamma (s))-s-d(y,\Gamma (t))+t|\leq (s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.}$

Теперь предположим, что Икс, у - точки в пространстве Адамара, и пусть δ (s) быть геодезической через Икс с δ (0) = у и δ (т) = Икс, куда т = d(Икс,у). Эта геодезическая пересекает границу замкнутого шара B(у,р) в точке δ (р). Таким образом, если d(Икс,у) > р, есть смысл v с d(у,v) = р такой, что d(Икс,v) = d(Икс,у) − р.

Это условие сохраняется для функций Буземана. Формулировка и доказательство этого свойства для функций Буземана основаны на фундаментальной теореме о замкнутых выпуклых подмножествах пространства Адамара, которая обобщает ортогональная проекция в Гильбертово пространство: если C замкнутое выпуклое множество в пространстве Адамара Икс, то каждая точка Икс в Икс имеет уникальную ближайшую точку п(Икс) ≡ п_C(Икс) в C и d(п(Икс),п(у)) ≤ d(Икс,у); более того а = п(Икс) однозначно определяется тем свойством, что при у в C,

${\displaystyle d(x,y)^{2}\geq d(x,a)^{2}+d(a,y)^{2},}$

так что угол при а в евклидовом треугольник сравнения за а,Икс,у Больше или равно π/2.

• Если h - функция Буземана в пространстве Адамара, то для данного y в X и r> 0 существует единственная точка v с d (y, v) = r такая, что h (v) = h (y) - r . При фиксированном r> 0 точка v является ближайшей точкой y к замкнутому выпуклому множеству C точек u, таких что h (u) ≤ h (y) - r, и поэтому непрерывно зависит от y.^[6]

Позволять v быть ближайшей точкой к у в C. потом час(v) = час(у) − р и так час сводится к минимуму v в B(у,р) куда р = d(у,v) и v это единственная точка, где час сводится к минимуму. По условию Липшица р = |час(у) − час(v)| ≤ р. Для доказательства утверждения достаточно показать, что р = р, т.е. d(у,v) = р. С другой стороны, час равномерный предел на любом замкнутом шаре функций час_п. На B(у,р), они минимизируются точками v_п с час_п(v_п) = час_п(у) − р. Следовательно, нижняя грань час на B(у,р) является час(у) − р и час(v_п) как правило час(у) − р. Таким образом час(v_п) = час(у) − р_п с р_п ≤ р и р_п стремясь к р. Позволять ты_п быть ближайшей точкой к у с час(ты_п) ≤ час(у) − р_п. Позволять р_п = d(у,ты_п) ≤ р. потом час(ты_п) = час(у) − р_п, а также условием Липшица на час, р_п ≥ р_п. Особенно р_п как правило р. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что р_п и р_п оба увеличиваются (до р). Из неравенства для выпуклой оптимизации следует, что при п > м.

${\displaystyle d(u_{n},u_{m})^{2}\leq R_{n}^{2}-R_{m}^{2}\leq 2r|R_{n}-R_{m}|,}$

так что ты_п является последовательностью Коши. Если ты его предел, то d(у,ты) = р и час(ты) = час(у) − р. По единственности следует, что ты = v и поэтому d(у,v) = р, как требуется.

Единые лимиты. Приведенный выше аргумент в более общем плане доказывает, что если d(Икс_п,Икс₀) стремится к бесконечности, а функции час_п(Икс) = d(Икс,Икс_п) – d(Икс_п,Икс₀) стремятся равномерно на ограниченных множествах к час(Икс), тогда час выпукло, липшицево с константой Липшица 1 и, учитывая у в Икс и р > 0 есть единственная точка v с d(у,v) = р такой, что час(v) = час(у) − р. Если, с другой стороны, последовательность (Икс_п) ограничено, то все члены лежат в некотором замкнутом шаре и из равномерной сходимости в нем следует, что (Икс_п) является последовательностью Коши, поэтому сходится к некоторой Икс_∞ в Икс. Так час_п равномерно стремится к час_∞(Икс) = d(Икс,Икс_∞) – d(Икс_∞,Икс₀), функция того же вида. Тот же аргумент также показывает, что класс функций, удовлетворяющих одним и тем же трем условиям (выпуклость, липшицевость и наличие минимумов на замкнутых шарах), замкнут относительно принятия равномерных ограничений на ограниченных множествах.

Комментарий. Отметим, что, поскольку любое замкнутое выпуклое подмножество подмножества Адамара пространства Адамара также является пространством Адамара, любой замкнутый шар в пространстве Адамара является пространством Адамара. В частности, не обязательно, чтобы каждый геодезический сегмент содержался в геодезической, определенной на всей р или даже полубесконечный интервал [0, ∞). Замкнутый единичный шар гильбертова пространства дает явный пример, который не является собственным метрическим пространством.

• Если h - выпуклая функция, липшицевость с константой 1 и h предполагает минимум на любом замкнутом шаре с центром на y и радиусом r в единственной точке v на границе с h (v) = h (y) - r, то для каждого y в X существует единственный геодезический луч δ такой, что δ (0) = y и δ разрезает каждое замкнутое выпуклое множество h ≤ h (y) - r с r> 0 в точке δ (r), так что h (δ (t )) = h (y) - t. В частности, это верно для каждой функции Буземана.^[7]

Третье условие означает, что v это ближайшая точка к у в замкнутом выпуклом множестве C_р очков ты такой, что час(ты) ≤ час(у) – р. Пусть δ (т) для 0 ≤ т ≤ р быть геодезическим соединением у к v. потом k(т) = час(δ (т)) - час(у) - выпуклая липшицева функция на [0,р] с постоянной Липшица 1 такой, что k(т) ≤ – т и k(0) = 0 и k(р) = –р. Так k обращается в нуль всюду, так как если 0 < s < р, k(s) ≤ –s и |k(s) | ≤ s. Следовательно час(δ (т)) = час(у) – т. По единственности следует, что δ (т) - ближайшая точка к у в C_т и что это единственная точка, сводящая к минимуму час в B(у,т). Единственность означает, что эти отрезки геодезических совпадают для произвольных р а значит, δ продолжается до геодезического луча с указанным свойством.

• Если h = h_γ , то геодезический луч δ, начинающийся в y, удовлетворяет ${\displaystyle \sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty }$. Если δ₁ это еще один луч, начинающийся в y с ${\displaystyle \sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty }$ тогда δ₁ = δ.

Чтобы доказать первое утверждение, достаточно проверить это на т достаточно большой. В этом случае γ (т) и δ (т − час(у)) являются проекциями Икс и у на замкнутое выпуклое множество час ≤ −т. Следовательно, d(γ (т), δ (т − час(у))) ≤ d(Икс,у). Следовательно d(γ (т), δ (т)) ≤ d(γ (т), δ (т − час(у))) + d(δ (т − час(у)), δ (т)) ≤ d(Икс,у) + |час(у) |, Второе утверждение следует потому, что d(δ₁(т), δ (т)) выпукло и ограничено на [0, ∞), поэтому, если оно обращается в нуль на т = 0, должно исчезнуть везде.

• Предположим, что h - непрерывная выпуклая функция и для каждого y в X существует единственный геодезический луч δ такой, что δ (0) = y и δ разрезает каждое замкнутое выпуклое множество h ≤ h (y) - r с r> 0 в точке δ. (r), так что h (δ (t)) = h (y) - t; тогда h - функция Буземана. ч - ч_δ - постоянная функция.^[7]

Позволять C_р замкнутое выпуклое множество точек z с час(z) ≤ −р. С Икс является пространством Адамара для каждой точки у в Икс есть уникальная ближайшая точка п_р(у) к у в C_р. Это постоянно зависит от у и если у лежит снаружи C_р, тогда п_р(у) лежит на гиперповерхности час(z) = − р- граница ∂C_р из C_р-и п_р(у) удовлетворяет неравенству выпуклой оптимизации. Пусть δ (s) - геодезический луч, начинающийся в у.

Исправить Икс в Икс. Пусть γ (s) - геодезический луч, начинающийся в Икс. Позволять грамм(z) = час_γ(z) функция Буземана для γ с базовой точкой Икс. Особенно грамм(Икс) = 0. Достаточно показать, что грамм = час – час(у)1. Теперь возьми у с час(Икс) = час(у) и пусть δ (т) - геодезический луч, начинающийся в у соответствующий час. потом

${\displaystyle d(x,y)\geq d(\gamma (t),\delta (t)),\,\,\,d(x,\delta (t))^{2}\geq d(x,\gamma (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2},\,\,\,d(y,\gamma (t))^{2}\geq d(y,\delta (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2}.}$

С другой стороны, для любых четырех точек а, б, c, d в пространстве Адамара следующее четырехугольное неравенство Решетняк держит:

${\displaystyle |d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).}$

Параметр а = Икс, б = у, c = γ (т), d = δ (т), следует, что

${\displaystyle |d(y,\gamma (t))^{2}-d(x,\delta (t))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},}$

так что

${\displaystyle |d(y,\gamma (t))-d(x,\gamma (t))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\gamma (t))+d(x,\gamma (t))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.}$

Следовательно час_γ(у) = 0. Аналогично час_δ(Икс) = 0. Следовательно час_γ(у) = 0 на ровной поверхности час содержащий Икс. Теперь для т ≥ 0 и z в Икс, пусть α_т(z) = γ₁(т) геодезический луч, начинающийся в z. потом α_{s + т} = α_s ∘ α_т и час ∘ α_т = час − т. Более того, в силу ограниченности d(α_т(ты), α_т(v)) ≤ d(ты,v). Поток α_s можно использовать для переноса этого результата на все ровные поверхности час. Для общего у₁, если час(у₁) < час(Икс), брать s > 0 такой, что час(α_s(Икс)) = час(у₁) и установите Икс₁ = α_s(Икс). потом час_γ1(у₁) = 0, где γ₁(т) = α_т(Икс₁) = γ (s + т). Но потом час_γ1 = час_γ – s, так что час_γ(у₁) = s. Следовательно грамм(у₁) = s = час((α_s(Икс)) – час(Икс) = час(у₁) – час(Икс), как требуется. Аналогично, если час(у₁) > час(Икс), братьs > 0 такой, что час(α_s(у₁)) = час(Икс). Позволять у = α_s(у₁). потомчас_γ(у) = 0, поэтому час_γ(у₁) = –s. Следовательно грамм(у₁) = –s = час(у₁) – час(Икс), как требуется.

Наконец, существуют необходимые и достаточные условия для того, чтобы две геодезические определяли одну и ту же функцию Буземана с точностью до константы:

• На пространстве Адамара функции Буземана двух геодезических лучей ${\displaystyle \gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$ отличаются на константу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty }$.^[8]

Предположим сначала, что γ и δ - два геодезических луча с функциями Буземана, отличающимися на константу. Сдвигая аргумент одной из геодезических на константу, можно считать, что B_γ = B_δ = B, сказать. Позволять C замкнутое выпуклое множество, на котором B(Икс) ≤ −р. потом B(γ (т)) = B_γ(γ (т)) = −т и аналогично B(δ (т)) = − т. Тогда для s ≤ р, точки γ (s) и δ (s) имеют ближайшие точки γ (р) и δ (р) в C, так что d(γ (р), δ (р)) ≤ d(γ (s), δ (s)). Следовательно Как дела_{т ≥ 0} d(γ (т), δ (т)) < ∞.

Теперь предположим, что Как дела_{т ≥ 0} d(γ₁(т), γ₂(т)) < ∞. Пусть δ_я(т) - геодезический луч, начинающийся в у связана с час_γя. потом Как дела_{т ≥ 0} d(γ_я(т), δ_я(т)) < ∞. Следовательно Как дела_{т ≥ 0} d(δ₁(т), δ₂(т)) < ∞. Поскольку δ₁ и δ₂ оба начинаются с у, следует, что δ₁(т) ≡ δ₂(т). По предыдущему результату час_γя и час_δя отличаются на константу; так час_γ1 и час_γ2 отличаются на константу.

Подводя итог, приведенные выше результаты дают следующую характеризацию функций Буземана на пространстве Адамара:^[7]

ТЕОРЕМА. В пространстве Адамара следующие условия на функцию f эквивалентны:

• h - функция Буземана.
• h - выпуклая функция, липшицева с константой 1 и h предполагает минимум на любом замкнутом шаре с центром на y и радиусом r в единственной точке v на границе с h (v) = h (y) - r.
• h - непрерывная выпуклая функция, и для каждого y в X существует единственный геодезический луч δ такой, что δ (0) = y, и для любого r> 0 луч δ разрезает каждое замкнутое выпуклое множество h ≤ h (y) - r в точке δ (r).

Бордификация пространства Адамара.

В предыдущем разделе было показано, что если Икс является пространством Адамара и Икс₀ фиксированная точка в Икс то объединение пространства функций Буземана, исчезающих в Икс₀ и пространство функций час_у(Икс) = d(Икс,у) − d(Икс₀,у) замкнуто относительно равномерного ограничения на ограниченные множества. Этот результат можно формализовать в понятии бордификация из Икс.^[9] В этой топологии точки Икс_п стремятся к геодезическому лучу γ, начиная с Икс₀ если и только если d(Икс₀,Икс_п) стремится к ∞ и при т > 0 сколь угодно большой последовательности, полученной взятием точки на каждом отрезке [Икс₀,Икс_п] На расстоянии т из Икс₀ стремится к γ (т).

Если Икс является метрическим пространством, бордификацию Громова можно определить следующим образом. Зафиксируйте точку Икс₀ в Икс и разреши Икс_N = B(Икс₀,N). Позволять Y = C(Икс) - пространство липшицевых функций на Икс, .e. те, для которых |ж(Икс) – ж(у)| ≤ А d(Икс,у) для некоторой постоянной А > 0. Пространство Y можно топологизировать полунормами ||ж||_N = sup_ИксN |ж|, топология равномерной сходимости на ограниченных множествах. Полунормы конечны по условиям Липшица. Это топология, индуцированная естественным отображением C(Икс) в прямое произведение банаховых пространств C_б(Икс_N) непрерывных ограниченных функций на Икс_N. Это дает метрика D(ж,грамм) = ∑ 2^−N ||ж − грамм||_N(1 +||ж − грамм||_N)⁻¹.

Космос Икс встроен в Y отправив Икс к функции ж_Икс(у) = d(у,Икс) – d(Икс₀,Икс). Позволять Икс быть закрытием Икс в Y. потом Икс метризуемо, поскольку Y есть, и содержит Икс как открытое подмножество; кроме того, согласования, возникающие из-за различного выбора базовой точки, естественно гомеоморфны. Позволять час(Икс) = (d(Икс,Икс₀) + 1)⁻¹. потом час лежит в C₀(Икс). Он ненулевой на Икс и обращается в нуль только на ∞. Следовательно, он продолжается до непрерывной функции на Икс с нулевым набором Икс \ Икс. Следует, что Икс \ Икс закрыт в Икс, как требуется. Чтобы проверить это Икс = Икс(Икс₀) не зависит от базовой точки, достаточно показать, что k(Икс) = d(Икс,Икс₀) − d(Икс,Икс₁) продолжается до непрерывной функции на Икс. Но k(Икс) = ж_Икс(Икс₁), Таким образом, для грамм в Икс, k(грамм) = грамм(Икс₁). Следовательно, соответствие между компактификациями для Икс₀ и Икс₁ дается путем отправки грамм в Икс(Икс₀) к грамм + грамм(Икс₁) 1 в Икс(Икс₁).

Когда Икс - пространство Адамара, идеальная граница Громова ∂Икс = Икс \ Икс могут быть явно реализованы как «асимптотические пределы» геодезических лучей с использованием функций Буземана. Если Икс_п является неограниченной последовательностью в Икс с час_п(Икс) = d(Икс,Икс_п) − d(Икс_п,Икс₀) стремясь к час в Y, тогда час исчезает в Икс₀, является выпуклой, липшицевой с константой Липшица 1 и имеет минимум час(у) − р на любом закрытом шаре B(у,р). Следовательно час является функцией Буземана B_γ соответствующему единственному геодезическому лучу γ, начинающемуся в Икс₀.

С другой стороны, час_п как правило B_γ равномерно на ограниченных множествах тогда и только тогда, когда d(Икс₀,Икс_п) стремится к ∞ и при т > 0 сколь угодно большой последовательности, полученной взятием точки на каждом отрезке [Икс₀,Икс_п] На расстоянии т из Икс₀ стремится к γ (т). За d(Икс₀,Икс_п) ≥ т, позволять Икс_п(т) быть точкой в ​​[Икс₀,Икс_п] с d(Икс₀,Икс_п(т)) = т. Предположим сначала, что час_п как правило B_γ равномерно на B(Икс₀,р). Тогда для т ≤ р,|час_п(γ (т)) – B_γ(γ (т))|=d(γ (т),Икс_п) – d(Икс_п,Икс₀) + т. Это выпуклая функция. Он исчезает как т = 0 и, следовательно, возрастает. Таким образом, он максимален при т = р. Так что для каждого т, |d(γ (т),Икс_п) – d(Икс_п,Икс₀) – т| стремится к 0. Пусть а = Икс₀, б = γ (т) и c = Икс_п. потом d(c,а) – d(c,б) близко к d(а,б) с d(c,а) большой. Следовательно, в евклидовом треугольнике сравнения CA - CB близко к AB с CA большой. Итак, угол при А маленький. Итак, суть D на AC на том же расстоянии, что и AB лежит близко к B. Следовательно, по первой теореме сравнения для геодезических треугольников d(Икс_п(т), γ (т)) маленький. Обратно предположим, что при фиксированном т и п достаточно большой d(Икс_п(т), γ (т)) стремится к 0. Тогда из сказанного выше F_s(у) = d(у, γ (s)) – s удовлетворяет

${\displaystyle |F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over 2s},}$

так что достаточно показать, что на любом ограниченном множестве час_п(у) = d(у,Икс_п) – d(Икс₀,Икс_п) равномерно близка к F_s(у) за п достаточно большой.^[10]

Для фиксированного мяча B(Икс₀,р), исправить s так что р²/s ≤ ε. Таким образом, утверждение является непосредственным следствием неравенства для геодезических отрезков в пространстве Адамара, поскольку

${\displaystyle |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over s}\leq \varepsilon .}$

Следовательно, если у в B(Икс₀,р) и п достаточно большой, чтобы d(Икс_п(s), γ (s)) ≤ ε, то

${\displaystyle |h_{n}(y)-B_{\gamma }(y)|=|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-B_{\gamma }(y)|\leq |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|+d(x_{n}(s),\gamma (s))+|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq 3\varepsilon .}$

Функции Буземана на многообразии Адамара

Предположим, что Икс, у - точки на многообразии Адамара, и пусть γ(s) быть геодезической через Икс с γ(0) = у. Эта геодезическая пересекает границу замкнутого шара B(у,р) в двух точках γ (±р). Таким образом, если d(Икс,у) > р, есть точки ты, v с d(у,ты) = d(у,v) = р такой, что |d(Икс,ты) − d(Икс,v)| = 2р. По непрерывности это условие сохраняется для функций Буземана:

• Если h - функция Буземана на многообразии Адамара, то для данного y в X и r> 0 существуют единственные точки u, v с d (y, u) = d (y, v) = r такие, что h (u ) = h (y) + r и h (v) = h (y) - r. Для фиксированных р > 0 точки ты и v постоянно зависеть от у.^[3]

Взяв последовательность т_п стремится к ∞ и час_п = F_тп, есть точки ты_п и v_п которые удовлетворяют этим условиям для час_п за п достаточно большой. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что ты_п и v_п как правило ты и v. По непрерывности эти точки удовлетворяют условиям час. Для доказательства единственности заметим, что по компактности час принимает максимум и минимум на B(у,р). Условие Липшица показывает, что значения час там отличаются не более чем на 2р. Следовательно час сводится к минимуму v и максимально на ты. С другой стороны, d(ты,v) = 2р и для ты и v точки v и ты уникальные точки в B(у,р) максимизируя это расстояние. Условие Липшица на час тогда сразу следует ты и v должны быть уникальные точки в B(у,р) максимизация и минимизация час. Теперь предположим, что у_п как правило у. Тогда соответствующие точки ты_п и v_п лежат в замкнутом шаре, поэтому допускают сходящиеся подпоследовательности. Но по уникальности ты и v любые такие подпоследовательности должны стремиться ты и v, так что ты_п и v_пдолжен стремиться к ты и v, устанавливая преемственность.

Приведенный выше результат в более общем случае справедлив в пространстве Адамара.^[11]

• Если h - функция Буземана на многообразии Адамара, то h непрерывно дифференцируема с || dh (y) || = 1 для всех y.^[3]

Из предыдущих свойств час, для каждого у существует единственная геодезическая γ (т) параметризованной длиной дуги с γ (0) = у такой, что час ∘ γ (т) = час(у) + т. Он обладает тем свойством, что разрезает ∂B(у,р) в т = ±р: в прежних обозначениях γ (р) = ты и γ (-р) = v. Векторное поле V_час определяется единичным вектором ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$ в у непрерывно, потому что ты является непрерывной функцией у и отправка карты (Икс,v) к (Икс, exp_Икс v) является диффеоморфизмом из TX на Икс × Икс посредством Теорема Картана-Адамара. Пусть δ (s) - другая геодезическая, параметризованная длиной дуги через у с δ (0) = у. потом dh ∘ δ (0) / ds = ${\displaystyle ({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))}$. Действительно, пусть ЧАС(Икс) = час(Икс) − час(у), так что ЧАС(у) = 0. Тогда

${\displaystyle |H(\delta (s))-H(x)|\leq d(\delta (s),x).}$

Применяя это с Икс = ты и v, следует, что для s > 0

${\displaystyle (r-d(\delta (s),u))/s\leq (h(\delta (s))-h(y))/s\leq (d(\delta (s),v)-r)/s.}$

Внешние термины имеют тенденцию ${\displaystyle ({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))}$ в качестве s стремится к 0, поэтому средний член имеет тот же предел, что и заявлено. Аналогичный аргумент применим к s < 0.

Утверждение о внешних членах следует из первой формулы вариации длины дуги, но может быть выведено непосредственно следующим образом. Позволять ${\displaystyle a={\dot {\delta }}(0)}$ и ${\displaystyle b={\dot {\gamma }}(0)}$, оба единичных вектора. Тогда для касательных векторов п и q в у в единичном шаре^[12]

${\displaystyle d(\exp _{y}p,\exp _{y}q)=\|p-q\|+\varepsilon \max \|p\|^{2},\|q\|^{2}}$

с равномерно ограниченным ε. Позволять s = т³ и р = т². потом

${\displaystyle (d(\delta (s),v)-r)/s=(d(\exp _{y}(t^{3}a),\exp _{y}(-t^{2}b))-t^{2})/t^{3}=(\|t^{3}a+t^{2}b\|-t^{2})/t^{3}+\varepsilon |t|=(\|ta+b\|-1)/t+\varepsilon |t|.}$

Правая часть здесь имеет тенденцию к (а,б) в качестве т стремится к 0, поскольку

${\displaystyle {d \over dt}\|b+ta\||_{t=0}={1 \over 2}\,{d \over dt}\|b+ta\|^{2}|_{t=0}=(a,b).}$

Тот же метод работает и для других условий.

Отсюда следует, что час это C¹ функционировать с dh двойственный векторному полю V_час, так что ||dh(у) || = 1. Векторное поле V_час таким образом градиентное векторное поле за час. Геодезические через любую точку - это линии тока потока α_т за V_час, так что α_т это градиентный поток за час.

ТЕОРЕМА. На многообразии Адамара X следующие условия на непрерывную функцию h эквивалентны:^[3]

1. h - функция Буземана.
2. h - выпуклая липшицева функция с константой 1, и для каждого y в X существуют точки u_± на таком расстоянии r от y, что h (u_±) = h (y) ± r.
3. h - выпуклая C¹ функция с || dh (x) || ≡ 1.

Уже было доказано, что (1) влечет (2).

Приведенные выше аргументы показывают mutatis mutandi что (2) влечет (3).

Поэтому остается показать, что из (3) следует (1). Исправить Икс в Икс. Пусть α_т быть градиентным потоком для час. Следует, что час ∘ α_т (Икс) = час(Икс) + т и это γ (т) = α_т(Икс) это геодезическая через Икс параметризован длиной дуги с γ (0) = Икс. Действительно, если s < т, тогда

${\displaystyle |s-t|=|h(\alpha _{s}(x))-h(\alpha _{t}(x))|\leq d(\alpha _{s}(x),\alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\|d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \|\,d\tau =\int _{s}^{t}\|dh(\alpha _{\tau }(x))\|\,d\tau =|s-t|,}$

так что d(γ (s), γ (т)) = |s − т|, Позволять грамм(у) = час_γ(у) функция Буземана для γ с базовой точкой Икс. Особенно грамм(Икс) = 0. Для доказательства (1) достаточно показать, что грамм = час – час(Икс)1.

Позволять C(−р) - выпуклое замкнутое множество точек z с час(z) ≤ −р. С Икс является пространством Адамара для каждой точки у в Икс есть уникальная ближайшая точка п_р(у) к у в C(-р). Это постоянно зависит от у и если у лежит снаружи C(-р), тогда п_р(у) лежит на гиперповерхности час(z) = − р- граница ∂C(–р) из C(–р) - и геодезическая из у к п_р(у) ортогонален ∂C(–р). В этом случае геодезическая - это просто α_т(у). Действительно, тот факт, что α_т градиентный поток час и условия ||dh(у) || ≡ 1 следует, что линии тока α_т(у) являются геодезическими, параметризованными длиной дуги, и пересекают кривые уровня час ортогонально. Принимая у с час(у) = час(Икс) и т > 0,

${\displaystyle d(x,y)\geq d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y)),\,\,\,d(x,\alpha _{t}(y))^{2}\geq d(x,\alpha _{t}(x))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2},\,\,\,d(y,\alpha _{t}(x))^{2}\geq d(y,\alpha _{t}(y))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2}.}$

С другой стороны, для любых четырех точек а, б, c, d в пространстве Адамара следующее четырехугольное неравенство Решетняк держит:

${\displaystyle |d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).}$

Параметр а = Икс, б = у, c = α_т(Икс), d = α_т(у), следует, что

${\displaystyle |d(y,\alpha _{t}(x))^{2}-d(x,\alpha _{t}(x))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},}$

так что

${\displaystyle |d(y,\alpha _{t}(x))-d(x,\alpha _{t}(x))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\alpha _{t}(x))+d(x,\alpha _{t}(x))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.}$

Следовательно час_γ(у) = 0 на ровной поверхности час содержащий Икс. Поток α_s можно использовать для переноса этого результата на все ровные поверхности час. Для общего у₁ брать s такой, что час(α_s(Икс)) = час(у₁) и установите Икс₁ = α_s(Икс). потом час_γ1(у₁) = 0, где γ₁(т) = α_т(Икс₁) = γ (s + т). Но потом час_γ1 = час_γ – s, так что час_γ(у₁) = s. Следовательно грамм(у₁) = s = час((α_s(Икс)) – час(Икс) = час(у₁) – час(Икс), как требуется.

Обратите внимание, что этот аргумент можно сократить, используя тот факт, что две функции Буземана час_γ и час_δ отличаются на константу тогда и только тогда, когда соответствующие геодезические лучи удовлетворяют sup_{т ≥ 0} d(γ (т), δ (т)) <∞. В самом деле, все геодезические, определяемые потоком α_т удовлетворяют последнему условию, поэтому различаются константами. Поскольку по любой из этих геодезических час линейно с производной 1, час должны отличаться от этих функций Буземана константами.

Компактификация собственного пространства Адамара

Эберлейн и О'Нил (1973) определил компактификацию Многообразие Адамара Икс который использует функции Буземана. Их конструкция, которая в более общем смысле может быть расширена до собственных (т. Е. Локально компактных) Пространства Адамара, дает явную геометрическую реализацию компактификации, определенной Громовым - путем добавления «идеальной границы» - для более общего класса собственные метрические пространства Икс, для которых каждый замкнутый шар компактен. Обратите внимание: поскольку любая последовательность Коши содержится в замкнутом шаре, любое собственное метрическое пространство автоматически является полным.^[13] Идеальная граница - это частный случай идеальной границы для метрического пространства. В случае пространств Адамара это согласуется с пространством геодезических лучей, исходящих из любой неподвижной точки, описанной с помощью функций Буземана в бордификации пространства.

Если Икс - собственное метрическое пространство, компактификацию Громова можно определить следующим образом. Зафиксируйте точку Икс₀ в Икс и разреши Икс_N = B(Икс₀,N). Позволять Y = C(Икс) - пространство липшицевых функций на Икс, .e. те, для которых |ж(Икс) – ж(у)| ≤ А d(Икс,у) для некоторой постоянной А > 0. Пространство Y можно топологизировать полунормами ||ж||_N = sup_ИксN |ж|, топология равномерной сходимости на компактах. Это топология, индуцированная естественным отображением C(Икс) в прямое произведение банаховых пространств C(Икс_N). Это дает метрика D(ж,грамм) = ∑ 2^−N ||ж − грамм||_N(1 +||ж − грамм||_N)⁻¹.

Космос Икс встроен в Y отправив Икс к функции ж_Икс(у) = d(у,Икс) – d(Икс₀,Икс). Позволять Икс быть закрытием Икс в Y. потом Икс компактна (метризуема) и содержит Икс как открытое подмножество; более того, компактификации, возникающие из-за различного выбора базовой точки, естественно гомеоморфны. Компактность следует из Теорема Арцела – Асколи поскольку изображение в C(Икс_N) является равностепенный и равномерно ограничена по норме величиной N. Позволять Икс_п быть последовательностью в Икс ⊂ Икс стремясь к у в Икс \ Икс. Тогда все, кроме конечного числа, должны находиться вне Икс_N поскольку Икс_N компактно, так что любая подпоследовательность сходится к точке в Икс_N; так что последовательность Икс_п должен быть неограничен в Икс. Позволять час(Икс) = (d(Икс,Икс₀) + 1)⁻¹. потом час лежит в C₀(Икс). Он ненулевой на Икс и обращается в нуль только на ∞. Следовательно, он продолжается до непрерывной функции на Икс с нулевым набором Икс \ Икс. Следует, что Икс \ Икс закрыт в Икс, как требуется. Проверить, что компактификация Икс = Икс(Икс₀) не зависит от базовой точки, достаточно показать, что k(Икс) = d(Икс,Икс₀) − d(Икс,Икс₁) продолжается до непрерывной функции на Икс. Но k(Икс) = ж_Икс(Икс₁), Таким образом, для грамм в Икс, k(грамм) = грамм(Икс₁). Следовательно, соответствие между компактификациями для Икс₀ и Икс₁ дается путем отправки грамм в Икс(Икс₀) к грамм + грамм(Икс₁) 1 в Икс(Икс₁).

Когда Икс является многообразием Адамара (или, в более общем смысле, собственным пространством Адамара), идеальная граница Громова ∂Икс = Икс \ Икс могут быть явно реализованы как «асимптотические пределы» геодезических с помощью функций Буземана. Фиксация базовой точки Икс₀существует единственная геодезическая γ (т) параметризованной длиной дуги, такой что γ (0) = Икс₀ и ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$ - заданный единичный вектор. Если B_γ - соответствующая функция Буземана, тоB_γ лежит в ∂Икс(Икс₀) и индуцирует гомеоморфизм единицы (п - 1) -сфера на ∂Икс(Икс₀), отправка ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$ к B_γ.

Квазигеодезические в круге Пуанкаре, CAT (-1) и гиперболические пространства

Лемма Морса – Мостова.

В случае пространств отрицательной кривизны, таких как диск Пуанкаре, CAT (-1) и гиперболические пространства, на их границе Громова существует метрическая структура. Эта структура сохраняется группой квазиизометрий, которые переводят геодезические лучи в квазигеодезические. Квазигеодезические впервые были изучены для поверхностей с отрицательной кривизной, в частности гиперболической верхней полуплоскости и единичного диска, Морс и обобщены на отрицательно изогнутые симметричные пространства к Мостов, за его работу над жесткость дискретных групп. Основной результат - это Лемма Морса – Мостова. об устойчивости геодезических.^{[14][15][16][17]}

По определению квазигеодезический Γ, определенная на интервале [а,б] с −∞ ≤ а < б ≤ ∞ - отображение Γ (т) в метрическое пространство, не обязательно непрерывное, для которого существуют константы λ ≥ 1 и ε> 0 такие, что для всех s и т:

${\displaystyle \lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|+\varepsilon .}$

Следующий результат по существу обусловлен Марстон Морс (1924).

Лемма Морса об устойчивости геодезических. В гиперболическом диске есть постоянная р зависящие от λ и ε такие, что любой квазигеодезический отрезок Γ, определенный на конечном интервале [а,б] находится в пределах Расстояние Хаусдорфа р геодезического отрезка [Γ (а), Γ (б)].^[18][19]

Классическое доказательство для диска Пуанкаре

Классическое доказательство леммы Морса для единичного круга Пуанкаре или верхней полуплоскости проводится более непосредственно с использованием ортогональной проекции на геодезический отрезок.^[20][21][22]

• Можно предположить, что Γ удовлетворяет более сильному «псевдогеодезическому» условию:^[23]

${\displaystyle \lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|.}$

Γ можно заменить непрерывной кусочно-геодезической кривой ∆ с теми же концами, лежащими на конечном хаусдорфовом расстоянии от Γ, меньшем, чем c = (2λ² + 1) ε: разбить интервал, на котором определена Γ, на равные подынтервалы длины 2λε и взять геодезические между изображениями под Γ концевых точек подынтервалов. Поскольку Δ кусочно-геодезическая, Δ липшицево с постоянной λ₁, d(Δ (s), Δ (т)) ≤ λ₁|s – т|, где λ₁ ≤ λ + ε. Нижняя граница автоматическая в конечных точках интервалов. По построению остальные значения отличаются от этих равномерно ограниченными, зависящими только от λ и ε; неравенство нижней границы выполняется при увеличении ε путем двойного добавления этой равномерной границы.

• Если γ - кусочно гладкий отрезок кривой, лежащий вне s-окрестности геодезической линии и п ортогональная проекция на геодезическую, то:^[24]

${\displaystyle \ell (P\circ \gamma )\leq {\ell (\gamma ) \over \cosh s}.}$

Применяя изометрию в верхней полуплоскости, можно предположить, что геодезическая линия является положительной мнимой осью, и в этом случае ортогональная проекция на нее определяется выражением п(z) = я|z| и |z| / Im z = ch d(z,Pz). Следовательно, по гипотезе | γ (т) | ≥ cosh (s) Im γ (т), так что

${\displaystyle \ell (P\circ \gamma )=\int _{a}^{b}{|d\gamma | \over |\gamma |}\leq \int _{a}^{b}{|d\gamma | \over \cosh(s)\,\Im \gamma }={\ell (\gamma ) \over \cosh(s)}.}$

• Есть постоянный час > 0, зависящее только от λ и ε, такое что Γ [а,б] находится внутри час-окрестность геодезического отрезка [Γ (а), Γ (б)].^[25]

Пусть γ (т) - геодезическая линия, содержащая геодезический отрезок [Γ (а), Γ (б)]. Тогда есть постоянная час > 0, зависящее только от λ и ε, таких что час-окрестности Γ [а,б] находится внутри час-окрестность γ (р). Действительно для любого s > 0, подмножество [а,б], для которого Γ (т) лежит за пределами замыкания s-окрестность γ (р) открыто, поэтому счетное объединение открытых интервалов (c,d). потом

${\displaystyle \ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{1}\equiv \lambda ^{2}(2s+\varepsilon )\left(1-{\lambda ^{2} \over \cosh(s)}\right),}$

поскольку левая часть меньше или равна λ |c – d| и

${\displaystyle {|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2s+d(P\circ \Gamma |_{[c,d]})\leq 2s+{\lambda |c-d| \over \cosh(s)}.}$

Следовательно, каждая точка находится на расстоянии, меньшем или равном s + s₁ из γ (р). Чтобы вывести утверждение, обратите внимание, что подмножество [а,б], для которого Γ (т) лежит за пределами замыкания s-окрестность [Γ (а), Γ (б)] ⊂ γ (р) открыто, поэтому объединение интервалов (c,d) с Γ (c) и Γ (d) как на расстоянии s + s₁ либо из Γ (а) или Γ (б). потом

${\displaystyle \ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{2}\equiv \lambda ^{2}(2(s+s_{1})+\varepsilon ),}$

поскольку

${\displaystyle {|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2(s+s_{1}).}$

Следовательно, утверждение следует из любого час лучше чем s +s₁ + s₂.

• Есть постоянный час > 0, зависящее только от λ и ε, такое что геодезический отрезок [Γ (а), Γ (б)] находится внутри час-окрестность Γ [а,б].^[26]

Каждая точка Γ [а,б] находится на расстоянии час из [Γ (а), Γ (б)]. Таким образом, ортогональная проекция п несет каждую точку из Γ [а,б] на точку замкнутого выпуклого множества [Γ (а), Γ (б)] на расстоянии менее час. С п непрерывна и Γ [а,б] подключен, карта п должно быть на, поскольку изображение содержит концы отрезка [Γ (а), Γ (б)]. Но тогда каждая точка из [Γ (а), Γ (б)] находится на расстоянии час точки Γ [а,б].

Доказательство Громова для диска Пуанкаре

Обобщение леммы Морса на пространства CAT (-1) часто называют леммой Морса – Мостова, и его можно доказать прямым обобщением классического доказательства. Существует также обобщение для более общего класса гиперболические метрические пространства за счет Громова. Ниже приводится доказательство Громова для единичного круга Пуанкаре; свойства гиперболических метрических пространств развиваются в ходе доказательства, так что оно применяется mutatis mutandi в CAT (-1) или гиперболические метрические пространства.^[14][15]

Поскольку это крупномасштабное явление, достаточно проверить, что любые отображения Δ из {0, 1, 2, ..., N} для любого N > 0 к диску, удовлетворяющему неравенствам, находится в пределах хаусдорфова расстояния р₁ геодезического отрезка [Δ (0), Δ (N)]. Ибо тогда перенос можно считать без ограничения общности Γ определенным на [0,р] с р > 1, а затем, взяв N = [р] (целая часть р) результат может быть применен к ∆, определяемому как ∆ (я) = Γ (я). Хаусдорфово расстояние между образами Γ и ∆, очевидно, ограничено постоянной р₂ зависящие только от λ и ε.

Теперь окружать геодезического треугольника имеет диаметр меньше δ, где δ = 2 log 3; на самом деле он строго максимизируется идеальным треугольником, где он равен 2 log 3. В частности, поскольку вписанная окружность разбивает треугольник, он разбивается на три равнобедренных треугольника с третьей стороной, противоположной вершине исходного треугольника, имеющей длину меньше δ , то каждая сторона геодезического треугольника содержится в δ-окрестности двух других сторон. Простая индукция показывает, что геодезический многоугольник с 2^k + 2 вершины для k ≥ 0 имеет каждую сторону в пределах (k + 1) δ соседство других сторон (такой многоугольник получается объединением двух геодезических многоугольников с 2^k−1 + 1 стороны вдоль общей стороны). Следовательно, если M ≤ 2^k + 2, такая же оценка верна для многоугольника с M стороны.

За у_я = Δ (я) позволять ж(Икс) = мин. d(Икс,у_я), наибольший радиус замкнутого шара с центром Икс который не содержит у_я в его интерьере. Это ненулевая непрерывная функция на [Δ (0), Δ (N)] поэтому достигает своего максимума час в какой-то момент Икс в этом сегменте. Тогда [Δ (0), Δ (N)] находится внутри час₁-окрестность образа Δ для любого час₁ > час. Поэтому достаточно оценить сверху для час независим от N.

выбирать у и z на отрезке [Δ (0), Δ (N)] до и после Икс с d(Икс,у) = 2час и d(Икс,z) = 2час (или конечная точка, если она находится на расстоянии менее 2час из Икс). Тогда есть я, j с d(у, Δ (я)), d(z, Δ (j)) ≤ час. Следовательно d(Δ (я), Δ (j)) ≤ 6час, так что |я − j| ≤ 6λчас + λε. По неравенству треугольника все точки на отрезках [у, Δ (я)] и [z, Δ (j)] находятся на расстоянии ≥ час из Икс. Таким образом, существует конечная последовательность точек, начинающаяся в у и заканчивая z, лежащая первой на отрезке [у, Δ (я)], затем, пройдя через точки ∆ (я), Δ (я+1), ..., Δ (j), прежде чем взять отрезок [∆ (j),z]. Последовательные точки Δ (я), Δ (я+1), ..., Δ (j) разделены расстоянием не более λ + ε, и последовательные точки на геодезических отрезках также могут быть выбраны так, чтобы удовлетворять этому условию. Минимальное количество K точек в такой последовательности удовлетворяет K ≤ |я - j| + 3 + 2 (λ + ε)^–1час. Эти точки образуют геодезический многоугольник с [у,z] как одну из сторон. Брать L = [час/ δ], так что (L - 1) δ-окрестность [у,z] не содержит всех остальных сторон многоугольника. Следовательно, из приведенного выше результата следует, что K > 2^{L − 1} + 2. Следовательно

${\displaystyle 3+2(\lambda +\varepsilon )^{-1}h+6\lambda h+\varepsilon >2^{h/\delta }+2.}$

Из этого неравенства следует, что час равномерно ограничена независимо от N, как утверждается.

Если все точки Δ (я) лежат внутри час₁ [Δ (0), Δ (N)], результат следует. В противном случае точки, не попадающие в максимальные подмножества S = {р, ..., s} с р < s. Таким образом, точки в [Δ (0), Δ (N)] имеют точку ∆ (я) с я в составе S на расстоянии час₁. Но дополнение S = S₁ ∐ S₂, несвязное объединение с S₁ = {0, ..., р - 1} и S₂ = {s + 1, ..., N}. Связь из [Δ (0), Δ (N)] означает, что есть точка Икс в сегменте, который находится на расстоянии час₁ точек Δ (я) и Δ (j) с я < р и j > s. Но потом d(Δ (я), Δ (j)) < 2 час₁, так что |я − j| ≤ 2λчас₁ + λε. Следовательно, точки Δ (k) за k в S лежат на расстоянии от [Δ (0), Δ (N)] менее час₁ + λ |я − j| + ε ≤ час₁ + λ (2λчас₁ + λε) + ε ≡ час₂.

Продолжение до квазигеодезических лучей и прямых

Напомним, что в пространстве Адамара, если [а₁,б₁] и [а₂,б₂] - два геодезических отрезка, а промежуточные точки c₁(т) и c₂(т) делим их в соотношении т:(1 – т), тогда d(c₁(т),c₂(т)) является выпуклой функцией от т. В частности, если Γ₁(т) и Γ₂(т) - геодезические отрезки единичной скорости, определенные на [0,р] начиная с той же точки, затем

${\displaystyle d(\Gamma _{1}(t),\Gamma _{2}(t))\leq {t \over R}d(\Gamma _{1}(R),\Gamma _{2}(R)).}$

В частности, это подразумевает следующее:

• В пространстве CAT (–1) Икссуществует постоянная h> 0, зависящая только от λ и ε, такая, что любой квазигеодезический луч находится в пределах ограниченного хаусдорфова расстояния h геодезического луча. Аналогичный результат верен для квазигеодезических и геодезических линий.

Если Γ (т) - геодезическая, скажем, с постоянными λ и ε, пусть Γ_N(т) - геодезическая единичной скорости для отрезка [Γ (0), Γ (N)]. Приведенная выше оценка показывает, что при фиксированном р > 0 и N достаточно большое, (Γ_N) - последовательность Коши в C([0,р],Икс) с равномерной метрикой. Таким образом, Γ_N стремится к геодезическому лучу γ равномерно на компактах, оценка хаусдорфовых расстояний между Γ и отрезками Γ_N относится также к предельной геодезической γ. Утверждение для квазигеодезических прямых следует, если взять Γ_N соответствующий геодезическому отрезку [Γ (-N), Γ (N)].

Теорема Ефремовича – Тихомировой.

Прежде чем обсуждать пространства CAT (-1), в этом разделе описываются Теорема Ефремовича – Тихомировой. для единичного диска D с метрикой Пуанкаре. Он утверждает, что квазиизометрии D продолжается до квазимебиусовых гомеоморфизмов единичного круга с евклидовой метрикой. Теорема является прототипом более общей теории пространств CAT (-1). Их первоначальная теорема была доказана в несколько менее общей и менее точной форме в Ефремович и Тихомирова (1964) и применен к билипшицевым гомеоморфизмам единичного круга для метрики Пуанкаре;^[27] ранее, в посмертной газете Мори (1957), японский математик Акира Мори доказал похожий результат в Теория Тейхмюллера уверяя, что каждый квазиконформный гомеоморфизм диска Гёльдер непрерывный и поэтому непрерывно продолжается до гомеоморфизма единичной окружности (известно, что это расширение квазимебиусово).^[28]

Продолжение квазиизометрий на границу

Если Икс является единичным кругом Пуанкаре или, в более общем смысле, пространством CAT (-1), из леммы Морса об устойчивости квазигеодезических следует, что каждая квазиизометрия пространства Икс однозначно продолжается до границы. По определению два самоотображения ж, грамм из Икс квазиэквивалентны, если sup_Икс d(ж(Икс),грамм(Икс)) <∞, так что соответствующие точки находятся на равномерно ограниченном расстоянии друг от друга. Квазиизометрия ж₁ из Икс это отображение Икс, не обязательно непрерывный, который имеет квазиобратный ж₂ такой, что ж₁ ∘ ж₂ и ж₂ ∘ ж₁ квазиэквивалентны соответствующим тождественным отображениям и такие, что существуют постоянные λ ≥ 1 и ε> 0 такие, что для всех Икс, у в Икс и оба отображения

${\displaystyle \lambda ^{-1}d(x,y)-\varepsilon \leq d(f_{k}(x),f_{k}(y))\leq \lambda d(x,y)+\varepsilon .}$

Обратите внимание, что квазиобратные символы уникальны с точностью до квазиэквивалентности; это эквивалентное определение может быть дано с использованием, возможно, различных правых и левых квазиобращений, но они обязательно будут квазиэквивалентными; что квазиизометрии замкнуты относительно композиции, которая с точностью до квазиэквивалентности зависит только от классов квазиэквивалентности; и что по модулю квазиэквивалентности квазиизометрии образуют группу.^[29]

Фиксация точки Икс в Икс, учитывая геодезический луч γ, начинающийся в Икс, изображение ж ∘ γ при квазиизометрии ж - квазигеодезический луч. По лемме Морса-Мостова он находится на ограниченном расстоянии от единственного геодезического луча δ, начинающегося в Икс. Это определяет отображение ∂ж на границе ∂Икс из Икс, не зависящие от класса квазиэквивалентности ж, такие что ∂ (ж ∘ грамм) = ∂ж ∘ ∂грамм. Таким образом, имеется гомоморфизм группы квазиизометрий в группу отображений в себя ∂Икс.

Чтобы проверить, что ∂ж непрерывна, заметим, что если γ₁ и γ₂ - геодезические лучи, равномерно близкие на [0,р] на расстоянии η, то ж ∘ γ₁ и ж ∘ γ₂ лежат на расстоянии λη + ε на [0,р], так что δ₁ и δ₂ лежат на расстоянии λη + ε + 2час(λ, ε); следовательно, на меньшем интервале [0,р], δ₁ и δ₂ лежать на расстоянии (р/р) ⋅ [λη + ε + 2час(λ, ε)] по выпуклости.^[30]

На пространствах CAT (-1) более тонкая версия непрерывности утверждает, что ∂ж является квазимебиусовым отображением относительно естественного класса метрики на ∂Икс, «визуальная метрика», обобщающая евклидову метрику на единичной окружности и ее преобразования в рамках группы Мёбиуса. Эти визуальные метрики можно определить в терминах функций Буземана.^[31]

В случае единичного круга из теории Тейхмюллера следует, что гомоморфизм переносит квазиконформные гомеоморфизмы круга на группу квазимебиусовых гомеоморфизмов окружности (используя, например, формулы Альфорса – Берлинга или Расширение Дуади – Эрла ): следует, что гомоморфизм группы квазиизометрий в группу квазимёбиуса сюръективен.

С другой стороны, нетрудно доказать, что гомоморфизм инъективен.^[32] Предположим, что ж является квазиизометрией единичного круга такая, что ∂ж это личность. Из предположения и леммы Морса следует, что если γ (р) - геодезическая линия, то ж(γ (р)) лежит в час-окрестность γ (р). Теперь возьмем вторую геодезическую линию δ такую, что δ и γ ортогонально пересекаются в данной точке в а. потом ж(а) лежит на пересечении час-окрестности δ и γ. Применяя преобразование Мёбиуса, можно считать, что а находится в начале единичного диска, а геодезические - действительная и мнимая оси. По выпуклости час-окрестности этих осей пересекаются в 3час-оседство происхождения: если z лежит в обоих окрестностях, пусть Икс и у быть ортогональными проекциями z на Икс- и у-акси; тогда d(z,Икс) ≤ час так что проекции на у-ось, d(0,у) ≤ час; следовательно d(z,0) ≤ d(z,у) + d(у,0) ≤ 2час. Следовательно d(а,ж(а)) ≤ 2час, так что ж квазиэквивалентно тождеству, как утверждается.

Поперечное отношение и расстояние между непересекающимися геодезическими линиями

Учитывая две разные точки z, ш на единичной окружности или действительной оси расположена единственная гиперболическая геодезическая [z,ш] присоединяясь к ним. Он задается окружностью (или прямой линией), которая разрезает единичный круг единичного круга или действительную ось ортогонально в этих двух точках. Учитывая четыре различных точки а, б, c, d в расширенной комплексной плоскости их перекрестное соотношение определяется

${\displaystyle (a,b;c,d)={(a-c)(b-d) \over (a-d)(b-c)}.}$

Если грамм это сложный Преобразование Мёбиуса тогда он оставляет неизменным поперечное отношение: (грамм(а),грамм(б);грамм(c),грамм(d)) = (а,б:c,d). Поскольку группа Мёбиуса действует просто транзитивно на тройках точек, поперечное отношение можно также описать как комплексное число z в C {0,1} такие, что грамм(а) = 0, грамм(б) = 1, грамм(c) = λ, грамм(d) = ∞ для преобразования Мёбиуса грамм.

С а, б, c и d все они появляются в числителе, определяющем перекрестное отношение, чтобы понять поведение перекрестного отношения при перестановках а, б, c и d, достаточно рассмотреть перестановки, фиксирующие d, так что только переставить а, б и c. Поперечное отношение преобразуется в соответствии с ангармоническая группа порядка 6, порожденные преобразованиями Мёбиуса, переводящими λ в 1 - λ и λ⁻¹. Остальные три преобразования переводят λ в 1 - λ⁻¹, к λ (λ - 1)⁻¹ и к (1 - λ)⁻¹.^[33]

Теперь позвольте а, б, c, d быть точками на единичной окружности или действительной оси в указанном порядке. Тогда геодезические [а,б] и [c,d] не пересекаются, и расстояние между этими геодезическими хорошо определено: существует единственная геодезическая линия, ортогонально пересекающая эти две геодезические, и расстояние определяется длиной геодезического сегмента между ними. Очевидно, он инвариантен относительно вещественных преобразований Мёбиуса. Чтобы сравнить поперечное отношение и расстояние между геодезическими, инвариантность Мёбиуса позволяет свести расчет к симметричной конфигурации. Для 0 < р < р, брать а = –р, б = −р, c = р, d = р. потомλ = (а,б;c,d) = (р + р)²/4rR = (т + 1)²/4т куда т = р/р > 1. С другой стороны, геодезические [а,d] и [б,c] - полукруги в верхней полуплоскости радиуса р и р. Геодезическая, которая разрезает их ортогонально, является положительной мнимой осью, поэтому расстояние между ними - это гиперболическое расстояние между ними. ir и iR, d(ir,iR) = журнал р/р = журнал т. Позволять s = журнал т, то λ = ch²(s/ 2), так что существует постоянная C > 0 такое, что если (а,б;c,d)> 1, то

${\displaystyle d([a,d];[b,c])-C\leq \log(a,b;c,d)\leq d([a,d];[b,c])+C,}$

поскольку журнал [cosh (Икс) / expИкс)] = журнал (1 + exp (–2Икс)) / 2 ограничена сверху и снизу в Икс ≥ 0. Отметим, что а, б,c, d в порядке вокруг единичного круга тогда и только тогда, когда (а,б;c,d) > 1.

Более общую и точную геометрическую интерпретацию поперечного отношения можно дать, используя проекции идеальных точек на геодезическую линию; это не зависит от порядка точек на окружности и, следовательно, от того, пересекаются ли геодезические линии.^[34]

• Если p и q - основания перпендикуляров от c и d к геодезической линии ab, то d (p, q) = | log | (a, b; c, d) ||.

Поскольку обе части инвариантны относительно преобразований Мёбиуса, достаточно проверить это в случае, когда а = 0, б = ∞, c = Икс и d = 1. В этом случае геодезическая линия является положительной мнимой осью, правая часть равна | log |Икс||, п = |Икс|я и q = я. Таким образом, левая часть равна | log |Икс||. Обратите внимание, что п и q также являются точками вписанных окружностей идеальных треугольников abc и abd трогать ab.

Доказательство теоремы

Гомеоморфизм F круга квазисимметричный если есть константы а, б > 0 такой, что

${\displaystyle \displaystyle {{|F(z_{1})-F(z_{2})| \over |F(z_{1})-F(z_{3})|}\leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}.}}$

это квазимёбиус есть ли константы c, d > 0 такой, что

${\displaystyle \displaystyle {|(F(z_{1}),F(z_{2});F(z_{3}),F(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}}$

куда

${\displaystyle \displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}}$

обозначает перекрестное соотношение.

Непосредственно квазисимметричные и квазимёбиусовские гомеоморфизмы замкнуты относительно операций обращения и композиции.

Если F квазисимметрично, то оно также квазимебиусово, с c = а² и d = б: это следует путем умножения первого неравенства на (z₁,z₃,z₄) и (z₂,z₄,z₃). Наоборот, любой квазимёбиусовский гомеоморфизм F квазисимметрична. Чтобы убедиться в этом, сначала можно проверить, что F (и поэтому F⁻¹) является Гёльдер непрерывный. Позволять S - множество кубических корней из единицы, так что если а ≠ б в S, тогда |а − б| = 2 греха π/3 = √3. Чтобы доказать оценку Гёльдера, можно предположить, что Икс – у равномерно мал. Тогда оба Икс и у больше фиксированного расстояния от а, б в S с а ≠ б, поэтому оценка следует из применения квазимебиуса к Икс, а, у, б. Чтобы убедиться, что F квазисимметрично, достаточно получить равномерную оценку сверху для |F(Икс) − F(у)| / |F(Икс) − F(z) | в случае тройки с |Икс − z| = |Икс − у|, равномерно малые. В этом случае есть точка ш на расстоянии больше 1 от Икс, у и z. Применяя квазимебиусовое неравенство к Икс, ш, у и z дает требуемую верхнюю границу. Обобщить:

• Гомеоморфизм окружности квазимёбиусовый тогда и только тогда, когда он квазисимметричен. В этом случае он и обратный ему непрерывны по Гёльдеру. Квазимебиусовские гомеоморфизмы образуют группу относительно композиции.^[35]

Для доказательства теоремы достаточно доказать, что если F = ∂ж тогда есть константы А, B > 0 такое, что при а, б, c, d различные точки на единичной окружности^[36]

${\displaystyle \displaystyle {|(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}.}}$

Уже проверено, что F (и обратный) непрерывны. Составление ж, и поэтому F, с комплексным сопряжением, если необходимо, далее можно считать, что F сохраняет ориентацию круга. В этом случае, если а,б, c,d в порядке в круге, также есть изображения под F; следовательно, оба (а,б;c,d) и (F(а),F(б);F(c),F(d)) реальны и больше единицы. В этом случае

${\displaystyle (F(a),F(b);F(c),F(d))\leq A(a,b;c,d)^{B}.}$

Чтобы доказать это, достаточно показать, что бревно (F(а),F(б);F(c),F(d)) ≤ B бревно (а,б;c,d) + C. Из предыдущего раздела достаточно показать d([F(а),F(б)],[F(c),F(d)]) ≤ п d([а,б],[c,d]) + Q. Это следует из того, что изображения под ж из [а,б] и [c,d] лежат внутри час-окрестности [F(а),F(б)] и [F(c),F(d)]; минимальное расстояние можно оценить, используя константы квазиизометрии для ж применяется к точкам на [а,б] и [c,d] понимая d([а,б],[c,d]).

Регулировка А и B при необходимости указанное выше неравенство применяется также к F⁻¹. Замена а, б, c и d по их изображениям под F, следует, что

${\displaystyle A^{-1}|(a,b;c,d)|^{-B}\leq |(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}}$

если а, б, c и d в порядке на единичном круге. Следовательно, те же неравенства справедливы для трех циклов четверки а, б, c, d. Если а и б переключаются, затем перекрестные отношения отправляются на обратные, поэтому они лежат между 0 и 1; аналогично, если c и d переключаются. Если обе пары переключаются, перекрестное отношение остается неизменным. Следовательно, неравенства справедливы и в этом случае. Наконец, если б и c меняются местами, поперечное отношение меняется от λ до λ^–1(λ - 1) = 1 - λ^–1, который лежит между 0 и 1. Значит, снова справедливы те же неравенства. Легко проверить, что с помощью этих преобразований неравенства справедливы для всех возможных перестановок а, б, c и d, так что F и его обратные - квазимебиусовские гомеоморфизмы.

Функции Буземана и визуальные метрики для пространств CAT (-1)

Функции Буземана можно использовать для определения специальных визуальных показателей в классе пространств CAT (-1). Это полные геодезические метрические пространства, в которых расстояния между точками на границе геодезического треугольника меньше или равны треугольнику сравнения в гиперболической верхней полуплоскости или, что эквивалентно, единичному кругу с метрикой Пуанкаре. В случае единичного диска хордальная метрика может быть восстановлена ​​непосредственно с помощью функций Буземана B_γ а специальная теория диска полностью обобщается на любое собственное пространство CAT (-1) Икс. Гиперболическая верхняя полуплоскость - это пространство CAT (0), поскольку длины в гиперболическом геодезическом треугольнике меньше, чем длины в евклидовом треугольнике сравнения: в частности, пространство CAT (-1) является пространством CAT (0), поэтому теория функций Буземана и граница Громова. Из теории гиперболического диска следует, в частности, что каждый геодезический луч в пространстве CAT (-1) продолжается до геодезической прямой и для двух точек границы существует единственная геодезическая γ такая, что эти точки являются пределами γ (± ∞). Теория одинаково хорошо применима к любому пространству CAT (−κ) с κ> 0, поскольку они возникают в результате масштабирования метрики на пространстве CAT (-1) на κ^−1/2. На единичном гиперболическом круге D квазиизометрии D индуцируют квазимебиусовские гомеоморфизмы границы функториальным образом. Существует более общая теория гиперболических пространств Громова, имеет аналогичное утверждение, но с менее точным контролем гомеоморфизмов границы.^[14][15]

Пример: диск Пуанкаре

Приложения в теории перколяции

Совсем недавно функции Буземана использовались вероятностники изучать асимптотические свойства моделей перколяция первого прохода^[37][38] и направленная перколяция последнего прохода.^[39]

Примечания

1. Буземан 1955, п. 131
2. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., п. 273
3. Баллманн, Громов и Шредер 1985
4. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 268–269
5. Лурье 2010, п. 13
6. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 271–272
7. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 271–272
8. Дальбо, Пенье и Самбусетти 2012, стр. 94–96
9. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 260–276
10. Ballmann 1995, стр. 27–30
11. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 271–272 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBridsonhaefliger1999 (помощь)
12. В геодезические нормальные координаты, метрика грамм(Икс) = I + ε ||Икс||. По геодезической выпуклости геодезическая из п к q лежит в шаре радиуса р = макс ||п||, ||q||. Отрезок прямой дает оценку сверху для d(п,q) указанного вида. Чтобы получить аналогичную оценку снизу, заметьте, что если c(т) - плавный путь из п к q, тогда L(c) ≥ (1 - ε р) ⋅ ∫ || c ' || dt ≥ (1 - ε р) ⋅ ||п − q||. (Обратите внимание, что эти неравенства можно улучшить, используя более точную оценку грамм(Икс) = I + ε ||Икс||².)
13. Обратите внимание, что метрическое пространство Икс который является полным и локально компактным, не обязательно должен быть собственным, например р с метрикой d(Икс,у) = |Икс – у|/(1 + |Икс – у|). С другой стороны, Теорема Хопфа – Ринова. для метрических пространств, если Икс полное, локально компактное и геодезическое - каждые две точки Икс и у соединены геодезической, параметризованной длиной дуги, тогда Икс правильно (см. Бридсон и Хефлигер, 1999 г. С. 35–36). В самом деле, если нет, то есть смысл Икс в Икс и закрытый шар K = B(Икс,р) максимальная при компактности; тогда, поскольку по гипотезе B(Икс,р) некомпактна для каждого р > р, диагональный аргумент показывает, что существует последовательность (Икс_п) с d(Икс,Икс_п) уменьшается до р но без сходящейся подпоследовательности; с другой стороны принимая у_п на геодезической стыковке Икс и Икс_п, с d(Икс,у_п) = р, компактность K подразумевает (у_п), и поэтому (Икс_п), имеет сходящуюся подпоследовательность; противоречие.
14. Бурдон 1995
15. Буяло и Шредер 2007
16. Мостов 1073 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFMostow1073 (помощь)
17. Роу 2003
18. Буяло и Шредер 2007, стр. 1–6
19. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 399–405
20. Капович 2001 г., стр. 51–52
21. Морс 1924
22. Рэтклифф 2006, стр. 580–599
23. Капович 2001 г., п. 51
24. Рэтклифф 2006, п. 583, лемма 4
25. Рэтклифф 2006, стр. 584–586, леммы 5–6.
26. Капович 2001 г., п. 52
27. Билипшицевы гомеоморфизмы - это такие, для которых они и обратные к ним липшицевы.
28. Видеть:
    • Альфорс 1966
    • Лехто 1987
29. Видеть:
    • Бурдон 1995
    • Бридсон и Хефлигер, 1999 г.
    • Роу 2003
    • Буяло и Шредер 2007
    • Бурдон 2009
30. Бридсон и Хефлигер, 1999 г., стр. 430–431
31. Видеть:
    • Бурдон 1995
    • Буяло и Шредер 2007
    • Бурдон 2009
32. Роу 2003, п. 113
33. Бирдон 1983, pp. 75–78 Отметим, что существует естественный гомоморфизм S₄ на S₃, действуя сопряжением на (а,б)(c,d), (а,c)(б,d) и (а,d)(б,c). В самом деле, эти перестановки вместе с тождеством образуют нормальную абелеву подгруппу, равную своему собственному централизатору: действие группы S₄ сопряжением на нетривиальных элементах дает гомоморфизм на S₃.
34. Видеть:
    • Полин 1996
    • Булайо и Шредер 2007 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBulayoSchroeder2007 (помощь)
35. Вяйсяля 1984
36. Бурдон 2009
37. Хоффман 2005
38. Дамрон и Хэнсон 2014
39. Георгиу, Расул-Ага и Сеппяляйнен, 2016

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Ван Ностранд
• Баллманн, Вернер; Громов, Михаил; Шредер, Виктор (1985), Многообразия неположительной кривизны, Успехи в математике, 61, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3181-X
• Баллманн, Вернер (1995), Лекции о пространствах неположительной кривизны, Семинар DMV, 25, Биркхойзер, ISBN  3-7643-5242-6
• Бирдон, Алан Ф. (1983), Геометрия дискретных групп, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90788-2
• Бурдон, Марк (1995), "Структура, согласующаяся с границами и плавающими объектами CAT (-1) -пространства", Enseign. Математика. (На французском), 41: 63–102
• Бурдон, Марк (2009), "Квазиконформная геометрия и жесткость Мостова", Géométries à Courbure négative ou nulle, группы дискретные и жесткие, Семин. Congr., 18, Soc. Математика. Франция, стр. 201–212.
• Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны, Springer
• Буземан, Герберт (1955), Геометрия геодезических, Academic Press
• Буяло, Сергей; Шредер, Виктор (2007), Элементы асимптотической геометрии, Монографии EMS по математике, Европейское математическое общество, ISBN  978-3-03719-036-4
• Дальбо, Франсуаза; Пенье, Марк; Самбусетти, Андреа (2012), «О горогранице и геометрии лучей многообразий с отрицательной кривизной» (PDF), Pacific J. Math., 259: 55–100, arXiv:1010.6028, Дои:10.2140 / pjm.2012.259.55, Приложение.
• Дамрон, Майкл; Хэнсон, Джек (2014), "Функции Буземана и бесконечные геодезические в двумерной перколяции первого прохода", Comm. Математика. Phys., 325 (3): 917–963, arXiv:1209.3036, Bibcode:2014CMaPh.325..917D, Дои:10.1007 / s00220-013-1875-y, S2CID  119589291
• Eberlein, P .; О'Нил Б. (1973), "Многообразия видимости", Pacific J. Math., 46: 45–109, Дои:10.2140 / pjm.1973.46.45
• Ефремович, В.А.; Тихомирова, Е. С. (1964), «Эквиморфизмы гиперболических пространств», Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (на русском), 28: 1139–1144
• Георгиу, Никос; Расул-Ага, Фирас; Сеппяляйнен, Тимо (2016), «Вариационные формулы и решения коциклов для моделей направленного полимера и перколяции», Comm. Математика. Phys., 346 (2): 741–779, arXiv:1311.3016, Bibcode:2016CMaPh.346..741G, Дои:10.1007 / s00220-016-2613-z, S2CID  5887311
• Хоффман, Кристофер (2005), "Сосуществование для конкурирующих моделей пространственного роста типа Ричардсона", Анна. Appl. Вероятно., 15: 739–747, arXiv:математика / 0405377, Дои:10.1214/105051604000000729, S2CID  15113728
• Капович, Михаил (2001), Гиперболические многообразия и дискретные группы, Успехи в математике, 183, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3904-7
• Лехто, Олли (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера, Тексты для выпускников по математике, 109, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96310-3
• Лурье, Дж. (2010), Заметки по теории пространств Адамара (PDF), Гарвардский университет^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Мори, Акира (1957), «О квазиконформности и псевдоаналитичности» (PDF), Пер. Амер. Математика. Soc., 84: 56–77, Дои:10.1090 / с0002-9947-1957-0083024-5
• Морс, Х. М. (1924), «Фундаментальный класс геодезических на любой замкнутой поверхности рода больше единицы» (PDF), Пер. Амер. Математика. Soc., 26: 25–60, Дои:10.1090 / с0002-9947-1924-1501263-9
• Пападопулос, Атанас (2014), Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 6 (Второе изд.), Европейское математическое общество, ISBN  978-3-03719-132-3
• Полен, Фредерик (1996), "Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord", J. London Math. Soc. (На французском), 54: 50–74, Дои:10.1112 / jlms / 54.1.50
• Рэтклифф, Джон Г. (2006), Основы гиперболических многообразий, Тексты для выпускников по математике, 149 (Второе изд.), Springer, ISBN  978-0387-33197-3
• Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии, Серия университетских лекций, 31, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3332-4
• Шиохама, Кацухиро (1984), "Топология полных некомпактных многообразий", Геометрия геодезических и смежные темы, Adv. Stud. Чистая математика., 3, Северная Голландия, стр. 423–450
• Шиоя, Т. (2001) [1994], «Функция Буземана», Энциклопедия математики, EMS Press
• Вяйсяля, Юсси (1984), «Квазимебиусовые карты» (PDF), J. Анализировать математику., 44: 218–234, Дои:10.1007 / bf02790198, S2CID  189767039