Теорема Диниса - Dinis theorem

в математический поле анализ, Теорема Дини говорит, что если монотонная последовательность непрерывных функций поточечно сходится на компактном пространстве и если предельная функция также непрерывна, то сходимость равномерна.[1]

Официальное заявление

Если Икс это компактный топологическое пространство, и { жп } это монотонно возрастающий последовательность (смысл жп(Икс) ≤ жп+1(Икс) для всех п и Икс) из непрерывный действительные функции на Икс который сходится точечно к непрерывной функции ж, то сходимость униформа. Тот же вывод верен, если { жп } монотонно убывает вместо увеличения. Теорема названа в честь Улисс Дини.[2]

Это одна из немногих ситуаций в математике, где поточечная сходимость подразумевает равномерную сходимость; ключом является больший контроль, подразумеваемый монотонностью. Предельная функция должна быть непрерывной, поскольку равномерный предел непрерывных функций обязательно непрерывен.

Доказательство

Пусть дано ε> 0. Для каждого п, позволять граммп = ж − жп, и разреши Eп быть набором тех Икс ∈ Икс такой, что граммп( Икс ) <ε. Каждый граммп непрерывно, поэтому каждый Eп открыто (потому что каждый Eп это прообраз открытого набора под граммп, неотрицательная непрерывная функция). С { жп } монотонно возрастает, { граммп } монотонно убывает, то последовательность Eп возрастает. С жп поточечно сходится к ж, следует, что набор { Eп } является открытая крышка из Икс. По компактности существует конечное подпокрытие, а поскольку Eп поднимаются, самая большая из них - тоже крышка. Таким образом, мы получаем, что существует некоторое натуральное число N такой, что EN = Икс. То есть, если п > N и Икс это точка в Икс, тогда |ж( Икс ) − жп( Икс ) | <ε, что и нужно.

Примечания

  1. ^ Эдвардс 1994, п. 165. Фридман 2007, п. 199. Могилы 2009, п. 121. Томсон, Брукнер и Брукнер, 2008 г., п. 385.
  2. ^ В соответствии с Эдвардс 1994, п. 165, «[Эта теорема] называется теоремой Дини, потому что Улисс Дини (1845–1918) представил ее первоначальную версию в своей книге по теории функций действительного переменного, опубликованной в Пизе в 1878 году».

Рекомендации

  • Бартл, Роберт Г. и Шерберт Дональд Р. (2000) «Введение в реальный анализ, третье издание» Wiley. с. 238. - Представлено доказательство с использованием калибров.
  • Эдвардс, Чарльз Генри (1994) [1973]. Расширенное исчисление нескольких переменных. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68336-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Грейвс, Лоуренс Мюррей (2009) [1946]. Теория функций действительных переменных. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47434-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Фридман, Авнер (2007) [1971]. Расширенный расчет. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45795-6.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Йост, Юрген (2005) Постмодернистский анализ, третье издание, Springer. См. Теорему 12.1 на стр. 157 для случая монотонно возрастающих.
  • Рудин, Вальтер Р. (1976) Принципы математического анализа, третье издание, Макгроу – Хилл. См. Теорему 7.13 на стр. 150 для случая монотонно убывающего.
  • Томсон, Брайан С .; Брукнер, Джудит Б .; Брукнер, Эндрю М. (2008) [2001]. Элементарный реальный анализ. ClassicalRealAnalysis.com. ISBN  978-1-4348-4367-8.CS1 maint: ref = harv (связь)