Настоящее дерево - Real tree

В математика, настоящие деревья (также называемый ${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья) являются классом метрические пространства обобщающий симплициальный деревья. Они возникают естественным образом во многих математических контекстах, в частности геометрическая теория групп и теория вероятности. Они также являются простейшими примерами Громова гиперболические пространства.

Определение и примеры

Формальное определение

Треугольник на настоящем дереве

Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ настоящее дерево, если это геодезическое пространство где каждый треугольник - штатив. То есть за каждые три балла ${\displaystyle x,y,\rho \in X}$ есть точка ${\displaystyle c=x\wedge y}$ такие, что геодезические отрезки ${\displaystyle [\rho ,x],[\rho ,y]}$ пересекаться в сегменте ${\displaystyle [\rho ,c]}$ а также ${\displaystyle c\in [x,y]}$. Это определение эквивалентно ${\displaystyle X}$ будучи «нулевым гиперболическим пространством» по Громову (все треугольники «нулевые»). Настоящие деревья также можно охарактеризовать топологический свойство. Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ является настоящим деревом, если для любой пары точек ${\displaystyle x,y\in X}$ все топологические вложения ${\displaystyle \sigma }$ сегмента ${\displaystyle [0,1]}$ в ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle \sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y}$ иметь такое же изображение (которое тогда является геодезическим отрезком от ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$).

Простые примеры

• Если ${\displaystyle X}$ является графом с комбинаторной метрикой, то это настоящее дерево тогда и только тогда, когда оно является деревом (т. е. не имеет циклы ). Такое дерево часто называют симплициальным деревом. Для них характерно следующее топологическое свойство: настоящее дерево ${\displaystyle T}$ симплициально тогда и только тогда, когда множество особых точек ${\displaystyle X}$ (точки, дополнение которых в ${\displaystyle X}$ имеет три или более связных компонента) дискретна в ${\displaystyle X}$.
• В р-дерево, полученное следующим образом, несимплициально. Начнем с интервал [0, 2] и клей, для каждого положительного целое число п, интервал длиной 1 /п в точку 1 - 1 /п в исходном интервале. Множество особых точек дискретно, но не может быть замкнутым, так как 1 - обычная точка в этом р-дерево. Приклеивание интервала к 1 приведет к замкнутому набору особых точек за счет дискретности.
• Метрика Парижа превращает самолет в настоящее дерево. Это определяется следующим образом: фиксируется происхождение. ${\displaystyle P}$, и если две точки находятся на одном луче от ${\displaystyle P}$, их расстояние определяется как евклидово расстояние. В противном случае их расстояние определяется как сумма евклидовых расстояний этих двух точек до начала координат. ${\displaystyle P}$.
• В целом любой ежик космос это пример настоящего дерева.

В математическом контексте

Реальные деревья часто появляются в различных ситуациях как пределы более классических метрических пространств.

Броуновские деревья

А Броуновское дерево^[1] является (не симплициальным) вещественным деревом почти наверное. Броуновские деревья возникают как пределы различных случайных процессов на конечных деревьях.^[2]

Ультрапределы метрических пространств

Любой сверхграничный последовательности ${\displaystyle (X_{i})}$ из ${\displaystyle \delta _{i}}$-гиперболический пространства с ${\displaystyle \delta _{i}\to 0}$ настоящее дерево. В частности, асимптотический конус любого гиперболического пространства является реальным деревом.

Предел групповых действий

Позволять ${\displaystyle G}$ быть группа. Для последовательности основанных ${\displaystyle G}$-пространства ${\displaystyle (X_{i},*_{i},\rho _{i})}$ есть понятие сходимости к основанной ${\displaystyle G}$-Космос ${\displaystyle (X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })}$ благодаря М. Бествиной и Ф. Паулину. Когда пространства гиперболические, а действия неограниченны, предел (если он существует) является реальным деревом.^[3]

Простой пример получается, если взять ${\displaystyle G=\pi _{1}(S)}$ куда ${\displaystyle S}$ это компактный поверхность, и ${\displaystyle X_{i}}$ универсальная обложка ${\displaystyle S}$ с метрикой ${\displaystyle i\rho }$ (куда ${\displaystyle \rho }$ фиксированная гиперболическая метрика на ${\displaystyle S}$).

Это полезно для создания действий гиперболических групп на реальных деревьях. Такие действия анализируются с помощью так называемого Разрывает машину. Особый интерес представляет изучение вырождения групп, действующих правильно прерывисто на реальное гиперболическое пространство (это предшествует работам Рипса, Бествины и Полина и принадлежит Дж. Моргану и П. Шален^[4]).

Алгебраические группы

Если ${\displaystyle F}$ это поле с ультраметрический оценка затем Здание Брюа – Титса из ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(F)}$ настоящее дерево. Это симплициально тогда и только тогда, когда оценки дискретны.

Обобщения

${\displaystyle \Lambda }$-деревья

Если ${\displaystyle \Lambda }$ это полностью упорядоченная абелева группа существует естественное понятие расстояния со значениями в ${\displaystyle \Lambda }$ (классические метрические пространства соответствуют ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$). Есть понятие ${\displaystyle \Lambda }$-дерево^[5] который восстанавливает симплициальные деревья, когда ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$ и настоящие деревья, когда ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$. Структура конечно представленные группы игра актеров свободно на ${\displaystyle \Lambda }$-Деревья были описаны. ^[6] В частности, такая группа свободно действует на некоторых ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-дерево.

Реальные здания

Аксиомы для строительство можно обобщить, чтобы дать определение реального здания. Они возникают, например, как асимптотические конусы более высокого ранга. симметричные пространства или как строения Брюа-Титса групп более высокого ранга над значимыми полями.

Смотрите также

• Дендроид (топология)
• Пространство с деревьями

Рекомендации

1. Олдос, Д. (1991), "Континуальное случайное дерево I", Анналы вероятности, 19: 1–28.
2. Олдос, Д. (1991), "Континуальное случайное дерево III", Анналы вероятности, 21: 248–289
3. Бествина, Младен (2002), "${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья по топологии, геометрии и теории групп », Справочник по геометрической топологии, Elsevier, стр. 55–91.
4. Шален, Питер Б. (1987), «Дендрология групп: введение», в Gersten, S.M. (ред.), Очерки теории групп, Математика. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer-Verlag, стр. 265–319, ISBN  978-0-387-96618-2, МИСТЕР  0919830
5. Чисуэлл, Ян (2001), Введение в Λ-деревья, Ривер Эдж, штат Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN  981-02-4386-3, МИСТЕР  1851337
6. О. Харлампович, А. Мясников, Д. Сербин, Действия, функции длины и неархимедовы слова IJAC 23, No. 2, 2013.