Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия) - Hilberts theorem (differential geometry)

В дифференциальная геометрия, Теорема гильберта (1901) утверждает, что не существует полного регулярная поверхность ${\displaystyle S}$ постоянного отрицательного гауссова кривизна ${\displaystyle K}$ погруженный в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Эта теорема отвечает на вопрос, в отрицательном случае какие поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ может быть получен изометрическим погружением полные коллекторы с постоянная кривизна.

История

• Теорема Гильберта впервые была рассмотрена Дэвид Гильберт in, "Über Flächen von konstanter Krümmung" (Пер. Амер. Математика. Soc. 2 (1901), 87-99).
• Другое доказательство было дано вскоре после того, как Э. Холмгрен, «Sur les поверхности à Courbure constante négative» (1902).
• Дальнейшее обобщение было получено Николай Ефимов в 1975 г.^[1]

Доказательство

В доказательство теоремы Гильберта сложна и требует нескольких леммы. Идея состоит в том, чтобы показать отсутствие изометрического погружение

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

самолета ${\displaystyle S'}$ в реальное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Это доказательство в основном такое же, как и в статье Гильберта, хотя и основано на книгах Ду Карму и Спивак.

Наблюдения: Чтобы лечение было более управляемым, но не теряя общий смысл, то кривизна можно считать равным минус единице, ${\displaystyle K=-1}$. Без потери общности, поскольку речь идет о постоянной кривизне и сходстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ умножать ${\displaystyle K}$ на константу. В экспоненциальная карта ${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S}$ это локальный диффеоморфизм (фактически накрывающее отображение по теореме Картана-Адамара), поэтому оно индуцирует внутренний продукт в касательное пространство из ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle T_{p}(S)}$. Более того, ${\displaystyle S'}$ обозначает геометрическую поверхность ${\displaystyle T_{p}(S)}$ с этим внутренним продуктом. Если ${\displaystyle \psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ изометрическое погружение, то же верно и для

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{o}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$.

Первая лемма не зависит от других и будет использована в конце в качестве встречного утверждения, чтобы отклонить результаты из других лемм.

Лемма 1.: Площадь ${\displaystyle S'}$ бесконечно.
Набросок доказательства:
Идея доказательства состоит в том, чтобы создать глобальная изометрия между ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle S'}$. Тогда, поскольку ${\displaystyle H}$ имеет бесконечную площадь, ${\displaystyle S'}$ тоже будет.
Тот факт, что гиперболическая плоскость ${\displaystyle H}$ имеет бесконечную площадь, вычисляя поверхностный интеграл с соответствующими коэффициенты из Первая фундаментальная форма. Чтобы получить их, гиперболическая плоскость может быть определена как плоскость со следующим внутренним произведением вокруг точки ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{2}}$ с координатами ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle E=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =1\qquad F=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =0\qquad G=\left\langle {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right\rangle =e^{u}}$

Поскольку гиперболическая плоскость неограничена, пределы интеграла равны бесконечный, а площадь можно рассчитать через

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{u}dudv=\infty }$

Далее необходимо создать карту, которая покажет, что глобальная информация из гиперболической плоскости может быть перенесена на поверхность. ${\displaystyle S'}$, т.е. глобальная изометрия. ${\displaystyle \varphi :H\rightarrow S'}$ будет отображением, областью определения которого является гиперболическая плоскость и будет отображать 2-мерное многообразие ${\displaystyle S'}$, который несет внутренний продукт с поверхности ${\displaystyle S}$ с отрицательной кривизной. ${\displaystyle \varphi }$ будут определены через экспоненциальное отображение, обратное ему отображение и линейную изометрию между их касательными пространствами,

${\displaystyle \psi :T_{p}(H)\rightarrow T_{p'}(S')}$.

То есть

${\displaystyle \varphi =\exp _{p'}\circ \psi \circ \exp _{p}^{-1}}$,

куда ${\displaystyle p\in H,p'\in S'}$. То есть отправная точка ${\displaystyle p\in H}$ переходит в касательную плоскость от ${\displaystyle H}$ через инверсию экспоненциального отображения. Затем перемещается от одной касательной плоскости к другой через изометрию. ${\displaystyle \psi }$, а затем на поверхность ${\displaystyle S'}$ с другой экспоненциальной картой.

Следующий шаг предполагает использование полярные координаты, ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$ и ${\displaystyle (\rho ',\theta ')}$, вокруг ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle p'}$ соответственно. Требуется, чтобы оси были сопоставлены друг с другом, то есть ${\displaystyle \theta =0}$ идет в ${\displaystyle \theta '=0}$. потом ${\displaystyle \varphi }$ сохраняет первую фундаментальную форму.
В геодезической полярной системе Гауссова кривизна ${\displaystyle K}$ можно выразить как

${\displaystyle K=-{\frac {({\sqrt {G}})_{\rho \rho }}{\sqrt {G}}}}$.

Кроме того, K является постоянным и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

${\displaystyle ({\sqrt {G}})_{\rho \rho }+K\cdot {\sqrt {G}}=0}$

С ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle S'}$ имеют одинаковую постоянную гауссову кривизну, то они локально изометричны (Теорема Миндинга ). Это означает, что ${\displaystyle \varphi }$ локальная изометрия между ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle S'}$. Кроме того, из теоремы Адамара следует, что ${\displaystyle \varphi }$ также является покрывающей картой.
С ${\displaystyle S'}$ односвязно, ${\displaystyle \varphi }$ является гомеоморфизмом, а значит, (глобальной) изометрией. Следовательно, ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle S'}$ глобально изометричны, и поскольку ${\displaystyle H}$ имеет бесконечную площадь, то ${\displaystyle S'=T_{p}(S)}$ также имеет бесконечную площадь. ${\displaystyle \square }$

Лемма 2: Для каждого ${\displaystyle p\in S'}$ существует параметризация ${\displaystyle x:U\subset \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S',\qquad p\in x(U)}$, так что координатные кривые из ${\displaystyle x}$ асимптотические кривые ${\displaystyle x(U)=V'}$ и сформировать сеть Чебышефа.

Лемма 3.: Позволять ${\displaystyle V'\subset S'}$ быть координатой район из ${\displaystyle S'}$ такие, что координатные кривые являются асимптотиками в ${\displaystyle V'}$. Тогда площадь A любого четырехугольника, образованного координатными кривыми, меньше, чем ${\displaystyle 2\pi }$.

Следующая цель - показать, что ${\displaystyle x}$ является параметризацией ${\displaystyle S'}$.

Лемма 4.: Для фиксированного ${\displaystyle t}$, Кривая ${\displaystyle x(s,t),-\infty <s<+\infty }$, - асимптотическая кривая с ${\displaystyle s}$ как длина дуги.

Следующие две леммы вместе с леммой 8 продемонстрируют существование параметризация ${\displaystyle x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'}$

Лемма 5.: ${\displaystyle x}$ является локальным диффеоморфизмом.

Лемма 6.: ${\displaystyle x}$ является сюръективный.

Лемма 7.: На ${\displaystyle S'}$ есть два дифференцируемых линейно независимых векторных поля, которые касаются асимптотические кривые из ${\displaystyle S'}$.

Лемма 8.: ${\displaystyle x}$ является инъективный.

Доказательство теоремы Гильберта:
Во-первых, будем предполагать, что изометрическое погружение из полная поверхность ${\displaystyle S}$ с отрицательной кривизной существует: ${\displaystyle \psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

Как указано в наблюдениях, касательная плоскость ${\displaystyle T_{p}(S)}$ наделен метрикой, индуцированной экспоненциальным отображением ${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S}$ . Более того, ${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ является изометрическим погружением, а леммы 5,6 и 8 показывают существование параметризации ${\displaystyle x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'}$ всего ${\displaystyle S'}$, такие, что координатные кривые ${\displaystyle x}$ - асимптотические кривые ${\displaystyle S'}$. Этот результат дается леммой 4. Следовательно, ${\displaystyle S'}$ можно покрыть объединением "координатных" четырехугольников ${\displaystyle Q_{n}}$ с ${\displaystyle Q_{n}\subset Q_{n+1}}$. По лемме 3 площадь каждого четырехугольника меньше, чем ${\displaystyle 2\pi }$. С другой стороны, по лемме 1 площадь ${\displaystyle S'}$ бесконечно, поэтому не имеет границ. Получили противоречие, и доказательство окончено. ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Теорема вложения Нэша, утверждает, что всякое риманово многообразие изометрически вкладывается в некоторое евклидово пространство.

Рекомендации

1. Ефимов, Н. В. Непогружаемость полуплоскости Лобачевского. Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. - 1975. - № 2. - С. 83–86.

• Манфреду ду Карму, Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей., Прентис-Холл, 1976.
• Спивак Михаил, Комплексное введение в дифференциальную геометрию, Publish or Perish, 1999.