Граф (топология) - Graph (topology)

В топология, предмет в математика, а график это топологическое пространство который возникает из обычного график ${\displaystyle G=(E,V)}$ заменой вершин на точки и каждого ребра ${\displaystyle e=xy\in E}$ копией единичный интервал ${\displaystyle I=[0,1]}$, куда ${\displaystyle 0}$ отождествляется с точкой, связанной с ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle 1}$ с точкой, связанной с ${\displaystyle y}$. То есть как топологические пространства графы - это в точности симплициальные 1-комплексы а также в точности одномерный Комплексы CW.^[1]

Таким образом, в частности, он несет факторная топология из набор

${\displaystyle X_{0}\sqcup \bigsqcup _{e\in E}I_{e}}$

под фактор-картой, использованной для склейки. Здесь ${\displaystyle X_{0}}$ 0-остов (состоящий из одной точки для каждой вершины ${\displaystyle x\in V}$), ${\displaystyle I_{e}}$ интервалы ("замкнутые одномерные единичные шары"), приклеенные к нему, по одному на каждое ребро ${\displaystyle e\in E}$, и ${\displaystyle \sqcup }$ это несвязный союз.^[1]

В топология на этом пространстве называется топология графа.^[2]

Подграфы и -деревья

Подграф графа ${\displaystyle X}$ является подпространством ${\displaystyle Y\subseteq X}$ который также является графом и все узлы содержатся в 0-скелете ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle Y}$ является подграфом тогда и только тогда, когда он состоит из вершин и ребер из ${\displaystyle X}$ и закрыт.^[1]

Подграф ${\displaystyle T\subseteq X}$ называется дерево если и только если оно стягиваемо как топологическое пространство.^[1]

Характеристики

• Каждый связный граф ${\displaystyle X}$ содержит по крайней мере один максимальный дерево ${\displaystyle T\subseteq X}$, т.е. дерево, максимальное по порядку, индуцированному включением множества на подграфах ${\displaystyle X}$ которые деревья.^[1]
• Если ${\displaystyle X}$ это граф и ${\displaystyle T\subseteq X}$ максимальное дерево, то фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ равно свободная группа генерируется элементами ${\displaystyle (f_{\alpha })_{\alpha \in A}}$, где ${\displaystyle \{f_{\alpha }\}}$ соответствовать биективно к краям ${\displaystyle X\setminus T}$; по факту, ${\displaystyle X}$ является гомотопический эквивалент к сумма клина из круги.^[1]
• Формирование топологического пространства, связанного с графом, как указано выше, составляет функтор из категории графов в категорию топологических пространств.^[2]
• Соответствующее топологическое пространство графа связно (по отношению к топологии графа) тогда и только тогда, когда исходный граф связан.^[2]
• Каждый покрывающее пространство проецирование на граф - это тоже граф.^[1]

Приложения

Используя указанные выше свойства графов, можно доказать Теорема Нильсена – Шрайера.^[1]

Смотрите также

• Гомология графов
• Топологическая теория графов

Рекомендации

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. п. 83ff. ISBN  0-521-79540-0.
2. Майкл Слоун (8 мая 2003 г.). "топология графа". PlanetMath. Получено 1 февраля 2017.