Явные формулы для L-функций - Explicit formulae for L-functions

В математика, то явные формулы для L-функции являются отношениями между суммами по комплексным нулям L-функции и суммами по степеням простых чисел, введенным формулой Риман (1859 г.) для Дзета-функция Римана. Такие явные формулы применялись также к вопросам об ограничении дискриминант поля алгебраических чисел, а проводник числового поля.

Явная формула Римана

В своей статье 1859 г. "О количестве простых чисел меньше заданной величины "Риман набросал точную формулу (она не была полностью доказана до 1895 г. фон Мангольдт, см. ниже) для нормированной функции счета простых чисел π₀(Икс) что связано с функция подсчета простых чисел π (Икс) к

${\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (x-h)\,\right]\,,}$

которая берет среднее арифметическое предела слева и предела справа на разрывах.^[а] Его формула была дана в терминах связанной функции

${\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }$

в котором основная сила п^п считается как¹⁄_п прайма. Нормализованная функция подсчета простых чисел может быть восстановлена ​​из этой функции следующим образом:

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}$

куда μ(п) это Функция Мёбиуса. Формула Римана тогда

${\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}$

с суммой по нетривиальным нулям ρ дзета-функции Римана. Сумма не абсолютно сходящийся, но можно вычислить, взяв нули в порядке абсолютного значения их мнимой части. Функция Ли встречающийся в первом члене - это (несмещение) логарифмическая интегральная функция предоставленный Главное значение Коши расходящегося интеграла

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {d} t}{\,\log(t)\,}}\,.}$

Условия ли (Икс^ρ) с нулями дзета-функции требуют некоторой осторожности при их определении как Ли имеет точки разветвления в точках 0 и 1, и определяются как аналитическое продолжение в комплексной переменной ρ в регионе Икс > 1 и Re (ρ) > 0. Остальные члены также соответствуют нулям: доминирующий член ли (Икс) исходит от полюса в s = 1, рассматриваемый как нуль кратности −1, а остальные малые члены происходят от тривиальных нулей. Эта формула говорит, что нули дзета-функции Римана управляют колебаниями простых чисел вокруг их «ожидаемых» положений. (Графики сумм первых нескольких членов этой серии см. Загир 1977.)

Первое строгое доказательство вышеупомянутой формулы было дано фон Мангольдтом в 1895 году: оно началось с доказательства следующей формулы для Функция Чебышева ψ ^[1]

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\operatorname {d} s=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

где LHS - обратное преобразование Меллина с

${\displaystyle \quad \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad }$ и ${\displaystyle \quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))}$

а RHS получается из теорема о вычетах, а затем преобразовал ее в формулу, которую на самом деле набросал сам Риман.

Этот ряд также условно сходится и сумму по нулям следует снова брать в порядке возрастания мнимой части:^[2]

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\rightarrow \infty }S(x,T)\quad }$ куда ${\displaystyle \quad S(x,T)=\sum _{\rho :|\Im \rho |\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,}$.

Ошибка, связанная с усечением суммы до S(Икс,Т) всегда меньше чем ln (Икс) по абсолютной величине, а при делении на натуральный логарифм из Икс, имеет абсолютное значение меньше, чем ​^Икс⁄_Т делится на расстояние от Икс до ближайшей основной мощности.^[3]

Явная формула Вейля

Есть несколько разных способов сформулировать явную формулу. Андре Вайль форма явной формулы гласит

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\={}&\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}$

куда

• ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции
• п пробегает положительные простые числа
• м пробегает положительные целые числа
• F - гладкая функция, все производные которой быстро убывают
• ${\displaystyle \varphi }$ является преобразованием Фурье F:

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}$

• ${\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}$
• ${\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}$, куда ${\displaystyle \psi }$ это функция дигаммы Γ′/ Γ.

Грубо говоря, явная формула говорит, что преобразование Фурье нулей дзета-функции - это набор степеней простых чисел плюс некоторые элементарные множители. Как только это сказано, формула исходит из того факта, что преобразование Фурье является унитарным оператором, так что скалярное произведение во временной области равно скалярному произведению преобразований Фурье в частотной области.

Члены формулы возникают следующим образом.

• Члены в правой части происходят от логарифмической производной от

${\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

с членами, соответствующими простому числу п исходя из фактора Эйлера п, и член в конце, включающий, происходящий из гамма-фактора (фактор Эйлера на бесконечности).

• Левая часть представляет собой сумму по всем нулям ζ ^* считается с кратностью, поэтому полюсы в точках 0 и 1 считаются нулями порядка −1.

Явную формулу Вейля можно понять так. Цель состоит в том, чтобы написать, что:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u}}$,

куда Λ это функция фон Мангольдта.

Таким образом, преобразование Фурье нетривиальных нулей равно симметризованной степени простых чисел плюс минорный член. Конечно, используемые суммы не сходятся, но хитрость заключается в использовании унитарного свойства преобразования Фурье, которое заключается в том, что оно сохраняет скалярное произведение:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}$

куда ${\displaystyle F,G}$ являются преобразованиями Фурье ${\displaystyle f,g}$. На первый взгляд может показаться, что это формула только для функций, но на самом деле во многих случаях она также работает, когда ${\displaystyle g}$ это раздача. Следовательно, полагая ${\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]}$ (куда ${\displaystyle \delta (u)}$ это Дельта Дирака ) и тщательно выбирая функцию ${\displaystyle f}$ и его преобразование Фурье, мы получаем формулу выше.

Явные формулы для других арифметических функций

Формула Римана-Вейля^{[требуется разъяснение ]} может быть обобщен на арифметические функции, отличные от функции фон Мангольдта. Например, для функции Мёбиуса мы имеем

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}}$.

Также для функции Лиувилля имеем

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)}$.

Для функции Эйлера-Фи явная формула имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}}$.

Во всех случаях сумма связана с мнимой частью нулей Римана ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ и функция час относится к тестовой функции грамм преобразованием Фурье, ${\displaystyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$.

Для делительной функции нулевого порядка ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}$.^{[требуется разъяснение ]}

Использование тестовой функции вида ${\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}$ для некоторых положительных а превращает формулу суммирования Пуассона в формулу, включающую преобразование Меллина. Здесь у это реальный параметр.

Обобщения

Дзета-функцию Римана можно заменить на L-функция Дирихле из Dirichlet персонаж χ. Сумма по простым степеням затем получается экстрафакторами χ(п ^м), а члены Φ (1) и Φ (0) исчезают, поскольку L-серия не имеет полюсов.

В более общем плане дзета-функцию Римана и L-ряд можно заменить на Дзета-функция Дедекинда поля алгебраических чисел или Hecke L-серия. Затем сумма по простым числам заменяется суммой по простым идеалам.

Приложения

Первоначальное использование явной формулы Риманом состояло в том, чтобы дать точную формулу для количества простых чисел, меньших заданного числа. Для этого возьмите F(бревно(у)) быть у^1/2/бревно(у) для 0 ≤у ≤ Икс и 0 в другом месте. Тогда главный член суммы справа - это количество простых чисел меньше Икс. Главный член слева - Φ(1); который оказывается доминирующим термином теорема о простых числах, а основная поправка - это сумма по нетривиальным нулям дзета-функции. (В этом случае есть небольшая техническая проблема, заключающаяся в том, что функция F не удовлетворяет условию гладкости.)

Гипотеза Гильберта – Полиа

Согласно Гипотеза Гильберта – Полиа, комплексные нули ρ должен быть собственные значения некоторых линейный оператор Т. Тогда сумма по нулям явной формулы (по крайней мере формально) дается следом:

${\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}$

Развитие явных формул для широкого класса L-функций было дано Вейль (1952), который первым распространил идею на локальные дзета-функции, и сформулировал версию обобщенная гипотеза Римана в этом случае, как утверждение о положительности для обобщенная функция на топологическая группа. Более поздние работы автора Ален Конн пошел намного дальше в функционально-аналитическую основу, предоставив формулу следа, справедливость которой эквивалентна такой обобщенной гипотезе Римана. Несколько иную точку зрения высказал Мейер (2005), который вывел явную формулу Вейля с помощью гармонического анализа на адельных пространствах.

Смотрите также

• Формула следа Сельберга

Сноски

1. Первоначальную функцию подсчета простых чисел можно легко восстановить с помощью ${\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~}$ для всех ${\displaystyle ~x\geq 3~.}$

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. Явная формула на MathWorld.
2. Ингхэм (1990) стр.77
3. Смущает явная формула для ψ0 (x)

• Ingham, A.E. (1990) [1932], Распределение простых чисел, Кембриджские трактаты по математике и математической физике, 30, переиздан с предисловием Р. К. Воган (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-39789-6, МИСТЕР  1074573, Zbl  0715.11045
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел, Тексты для выпускников по математике, 110 (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-94225-4, Zbl  0811.11001
• Риман, Бернхард (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie
• Вайль, Андре (1952), "Sur les" formules explicites "de la théorie des nombres premiers" [О "явных формулах" в теории простых чисел], Comm. Sém. Математика. Univ. Лунд [Medd. Lunds Univ. Мат. Сем.] (на французском языке), Tome Supplémentaire: 252–265, МИСТЕР  0053152, Zbl  0049.03205
• фон Мангольдт, Ганс (1895), "Zu Riemanns Abhandlung" Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"«[О статье Римана« Число простых чисел меньше заданной величины »], Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком), 114: 255–305, ISSN  0075-4102, JFM  26.0215.03, МИСТЕР  1580379
• Мейер, Ральф (2005), "О представлении группы классов иделей, связанных с простыми числами и нулями L-функции », Duke Math. Дж., 127 (3): 519–595, arXiv:математика / 0311468, Дои:10.1215 / s0012-7094-04-12734-4, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  2132868, Zbl  1079.11044
• Загир, Дон (1977), «Первые 50 миллионов простых чисел», Математический интеллект, 1 (S2): 7–19, Дои:10.1007 / bf03351556
• Гарсиа Дж. Дж. Меллин Свертка и ее расширения, формула Перрона и явные формулы doi = 10.20944 / preprints201801.0020.v1
• https://encyclopediaofmath.org/wiki/M%C3%B6bius_function#:~:text=The%20M%C3%B6bius%20function%20is%20an,M%C3%B6bius%20in%201832

дальнейшее чтение

• Эдвардс, Х. (1974), Дзета-функция Римана, Чистая и прикладная математика, 58, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN  0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Ризель, Ганс (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации, Успехи в математике, 126 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN  0-8176-3743-5, Zbl  0821.11001