Теорема Егорова - Egorovs theorem

В теория меры, площадь математика, Теорема Егорова устанавливает условие для равномерное схождение из поточечно сходящийся последовательность из измеримые функции. Его также называют Теорема Северини – Егорова или же Теорема Северини – Егорова., после Карло Северини, Итальянский математик, и Дмитрий Егоров, а русский физик и геометр, опубликовавшие независимые доказательства соответственно в 1910 и 1911 гг.

Теорема Егорова может использоваться вместе с компактно поддерживается непрерывные функции чтобы доказать Теорема Люсина за интегрируемые функции.

Историческая справка

Первое доказательство теоремы было дано Карло Северини в 1910 г .:^[1][2] он использовал результат как инструмент в своем исследовании серии из ортогональные функции. Его работа осталась незаметной снаружи. Италия, вероятно, из-за того, что он написан на Итальянский, появилась в научном журнале с ограниченным распространением и рассматривалась только как средство для получения других теорем. Год спустя Дмитрий Егоров опубликовал свои независимо подтвержденные результаты,^[3] и теорема стала широко известна под его именем: однако нередко можно найти ссылки на эту теорему как на теорему Северини – Егорова или теорему Северини – Егорова. Первые математики, независимо доказавшие теорему в широко распространенном ныне абстрактном измерить пространство установка были Фриджес Рис  (1922, 1928 ), И в Вацлав Серпинский  (1928 ):^[4] более раннее обобщение связано с Николай Лузин, которому удалось несколько ослабить требование конечности меры домен сближения поточечно сходящиеся функции в обширной статье (Лузин 1916 ).^[5] Дальнейшие обобщения были даны много позже Павел Коровкин, в статье (Коровкин 1947 ), и по Габриэль Мокободски в газете (Мокободзки 1970 ).

Официальное заявление и доказательство

Заявление

Позволять (ж_п) - последовательность M-значные измеримые функции, где M является сепарабельным метрическим пространством, на некотором измерить пространство (Икс, Σ, μ), и пусть существует измеримое подмножество А ⊆ Икс, с конечной μ-мерой, такой что (ж_п) сходится μ-почти всюду на А к предельной функции ж. Имеет место следующий результат: для любого ε> 0 существует измеримое подмножество B из А такое, что μ (B) <ε и (ж_п) сходится к ж равномерно на относительное дополнение А \ B.

Здесь μ (B) обозначает μ-меру B. На словах теорема утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на А следует, по-видимому, гораздо более сильной равномерной сходимости всюду, кроме некоторого подмножества B сколь угодно малой меры. Этот тип сходимости также называют почти равномерная сходимость.

Обсуждение предположений и контрпример

• Гипотеза μ (А) <∞. Чтобы убедиться в этом, несложно построить контрпример, когда μ является Мера Лебега: рассмотрим последовательность действительных значений индикаторные функции

${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} ,}$

определены на реальная линия. Эта последовательность поточечно сходится к нулевой функции всюду, но не сходится равномерно на ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus B}$ для любого набора B конечной меры: контрпример в общем ${\displaystyle n}$-размерный реальное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно построить, как показано Cafiero (1959 г.), п. 302).

• Разделимость метрического пространства нужна, чтобы убедиться, что для M-значные, измеримые функции ж и грамм, Расстояние d(ж(Икс), грамм(Икс)) снова является измеримой действительной функцией от Икс.

Доказательство

Для натуральных чисел п и k, определим множество E_{п, к} посредством союз

${\displaystyle E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}\left\{x\in A\,{\Big |}\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{k}}\right\}.}$

Эти наборы становятся меньше по мере п увеличивается, что означает, что E_п+1,k всегда является подмножеством E_{п, к}, потому что первое объединение включает меньшее количество множеств. Точка Икс, для которого последовательность (ж_м(Икс)) сходится к ж(Икс), не может быть в каждом E_{п, к} для фиксированного k, потому что ж_м(Икс) должен оставаться ближе к ж(Икс) чем 1 /k в итоге. Следовательно, по предположению μ-почти всюду поточечной сходимости на А,

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}\right)=0}$

для каждого k. С А имеет конечную меру, имеем непрерывность сверху; следовательно, существует для каждого k, некоторое натуральное число п_k такой, что

${\displaystyle \mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}$

За Икс в этом наборе мы учитываем скорость приближения к 1 /k-район из ж(Икс) как слишком медленный. Определять

${\displaystyle B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}}$

как набор всех этих точек Икс в А, для которых скорость сближения хотя бы с одним из этих 1 /k-окрестности ж(Икс) слишком медленно. По установленной разнице А \ B поэтому мы имеем равномерную сходимость.

Обращаясь к сигма аддитивность μ и используя геометрическая серия, мы получили

${\displaystyle \mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\mu (E_{n_{k},k})<\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}$

Обобщения

Версия Лузина

Николай Лузин здесь представлено обобщение теоремы Северини – Егорова согласно Сакс (1937 г., п. 19).

Заявление

При той же гипотезе абстрактной теоремы Северини – Егорова предположим, что А это союз из последовательность из измеримые множества конечной μ-меры и (ж_п) - заданная последовательность M-значные измеримые функции на некоторых измерить пространство (Икс, Σ, μ) такие, что (ж_п) сходится μ-почти всюду на А к предельной функции ж, тогда А можно выразить как объединение последовательности измеримых множеств ЧАС, А₁, А₂, ... такие, что μ (ЧАС) = 0 и (ж_п) сходится к ж равномерно на каждом наборе А_k.

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай, когда множество А имеет конечную μ-меру: используя эту гипотезу и стандартную теорему Северини – Егорова, можно определить как математическая индукция последовательность наборов {А_k}_{к = 1,2, ...} такой, что

${\displaystyle \mu \left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq {\frac {1}{N}}}$

и такой, что (ж_п) сходится к ж равномерно на каждом наборе А_k для каждого k. Выбор

${\displaystyle H=A\setminus \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}}$

то, очевидно, μ (ЧАС) = 0 и теорема доказана.

Коровкина версия

Доказательство версии Коровкина близко следует версии на Харазишвили (2000 г., pp. 183–184), который, однако, обобщает его до некоторой степени, учитывая допустимые функционалы вместо неотрицательные меры и неравенство ${\displaystyle \leq }$ и ${\displaystyle \geq }$ соответственно в условиях 1 и 2.

Заявление

Позволять (M,d) обозначим отделяемый метрическое пространство и (Икс, Σ) а измеримое пространство: рассмотрим измеримый набор А и учебный класс ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ содержащий А и его измеримый подмножества так что их счетный в союзы и перекрестки принадлежат к одному классу. Предположим, что существует неотрицательная мера μ такая, что μ (А) существует и

1. ${\displaystyle \mu (\cap A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$ если ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots }$ с ${\displaystyle A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$ для всех п
2. ${\displaystyle \mu (\cup A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$ если ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots }$ с ${\displaystyle \cup A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$.

Если (ж_п) - последовательность M-значных измеримых функций сходящийся μ-почти всюду на ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ к предельной функции ж, то существует подмножество A ′ из А такое, что 0 <μ (А) - μ (A ′) <ε и где сходимость также равномерная.

Доказательство

Рассмотрим индексированное семейство наборов чей набор индексов это набор натуральные числа ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle A_{0,m}=\left\{x\in A|d(f_{n}(x),f(x))\leq 1\ \forall n\geq m\right\}}$

Очевидно

${\displaystyle A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq \dots }$

и

${\displaystyle A=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{0,m}}$

поэтому есть натуральное число м₀ такой, что положить А_{0, м0}=А₀ справедливо следующее соотношение:

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{0})\leq \varepsilon }$

С помощью А₀ можно определить следующее индексированное семейство

${\displaystyle A_{1,m}=\left\{x\in A_{0}\left|d(f_{m}(x),f(x))\leq {\frac {1}{2}}\ \forall n\geq m\right.\right\}}$

удовлетворяющие следующим двум соотношениям, аналогичным найденным ранее, т.е.

${\displaystyle A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq \dots }$

и

${\displaystyle A_{0}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{1,m}}$

Этот факт позволяет нам определить множество А_{1, м1}=А₁, куда м₁ - заведомо существующее натуральное число такое, что

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{1})\leq \varepsilon }$

Повторяя показанную конструкцию, другое индексированное семейство множества {А_п} определен таким образом, что он имеет следующие свойства:

• ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots }$
• ${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{m})\leq \varepsilon }$ для всех ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• для каждого ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ Существует k_м такой, что для всех ${\displaystyle n\geq k_{m}}$ тогда ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))\leq 2^{-m}}$ для всех ${\displaystyle x\in A_{m}}$

и, наконец, положив

${\displaystyle A'=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

тезис легко доказывается.

Примечания

1. Опубликовано в (Северини 1910 ).
2. В соответствии с Странео (1952), п. 101), Северини, признавая свой приоритет в публикации результата, не желал раскрывать его публично: это было Леонида Тонелли кто в примечании (Тонелли 1924 ), впервые присвоил ему приоритет.
3. В примечании (Егоров 1911 )
4. В соответствии с Cafiero (1959 г.), п. 315) и Сакс (1937 г., п. 17).
5. В соответствии с Сакс (1937 г., п. 19).

Рекомендации

Исторические ссылки

• Егоров Д.Т. (1911), "Sur les suites des fonctions mesurables" [О последовательностях измеримых функций], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском), 152: 244–246, JFM  42.0423.01, доступны на Галлика.
• Рисса, Ф. (1922), "Sur le théorème de M. Egoroff et sur les opérations fonctionnelles linéaires" [О теореме Егорова и о линейных функциональных операциях], Acta Litt. AC Sient. Univ. Подвешенный. Франсиско-Жозефина, сек. Sci. Математика. (Сегед) (На французском), 1 (1): 18–26, JFM  48.1202.01.
• Рисса, Ф. (1928), «Elementarer Beweis des Egoroffschen Satzes» [Элементарное доказательство теоремы Егорова], Monatshefte für Mathematik und Physik (на немецком), 35 (1): 243–248, Дои:10.1007 / BF01707444, JFM  54.0271.04.
• Северини, К. (1910), "Sulle successioni di funzioni ortogonali" [О последовательностях ортогональных функций], Atti dell'Accademia Gioenia, серия 5а (на итальянском языке), 3 (5): Memoria XIII, 1-7, JFM  41.0475.04. Опубликовано Accademia Gioenia в Катания.
• Серпинский, В. (1928), "Ремарк о теореме М. Егорова" [Замечания к теореме Егорова], Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (На французском), 21: 84–87, JFM  57.1391.03.
• Странео, Паоло (1952), "Карло Северини", Bollettino della Unione Matematica Italiana, Серия 3 (на итальянском языке), 7 (3): 98–101, МИСТЕР  0050531, доступный из Biblioteca Digitale Italiana di Matematica. В некролог Карло Северини.
• Тонелли, Леонида (1924), «Su una Proposizione fondamentale dell'analisi» [Основное положение анализа], Bollettino della Unione Matematica Italiana, Серия 2 (на итальянском языке), 3: 103–104, JFM  50.0192.01. Небольшая заметка, в которой Леонида Тонелли приписывает Северини первое доказательство теоремы Северини – Егорова.

Научные ссылки

• Билс, Ричард (2004), Анализ: введение, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. x + 261, ISBN  0-521-60047-2, МИСТЕР  2098699, Zbl  1067.26001
• Кафьеро, Федерико (1959), Мисура и интеграция [Измерение и интеграция], Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (на итальянском), 5, Рома: Edizioni Cremonese, стр. VII + 451, МИСТЕР  0215954, Zbl  0171.01503. Окончательная монография по теории интегрирования и меры: рассмотрение предельного поведения интеграла различных видов последовательности структур, связанных с мерой (измеримые функции, измеримые множества, меры и их комбинации) несколько убедительны.
• Харазишвили, А. (2000), Странные функции в реальном анализе, Чистая и прикладная математика - Серия монографий и учебников, 229 (1-е изд.), Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. viii + 297, ISBN  0-8247-0320-0, МИСТЕР  1748782, Zbl  0942.26001. Содержит раздел с именем Теоремы типа Егорова, где основная теорема Северини – Егорова дана в форме, немного обобщающей формулировку Коровкин (1947).
• Коровкин, П. (1947), «Обобщение теоремы Д.Ф. Егорова», Доклады Академии Наук СССР (на русском), 58: 1265–1267, МИСТЕР  0023322, Zbl  0038.03803
• Лузин, Н. (1916), "Интегралъ и тригонометрический рядъ" [Интегральный и тригонометрический ряд], Математический сборник (на русском), 30 (1): 1–242, JFM  48.1368.01
• Мокободски, Габриэль (22 июня 1970 г.), "Noyaux Absolument mesurables et opérateurs nucléaires" [Абсолютно измеримые ядра и ядерные операторы], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (На французском), 270: 1673–1675, МИСТЕР  0270182, Zbl  0211.44803
• Пиконе, Мауро; Виола, Туллио (1952), Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione [Лекции по современной теории интеграции], Manuali Einaudi. Serie di matematica (на итальянском языке), Турин: Edizioni Scientifiche Einaudi, п. 404, г. МИСТЕР  0049983, Zbl  0046.28102, рассмотрено Чиммино, Джанфранко (1952), "М. Пиконе - Т. Виола, Lezioni sulla teoria Moderna dell'Integrazione", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Серия 3 (на итальянском языке), 7 (4): 452–454 и по Халмос, Пол Р. (Январь 1953 г.), «Обзор: М. Пиконе и Т. Виола, Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione», Бюллетень Американского математического общества, 59 (1): 94, Дои:10.1090 / S0002-9904-1953-09666-5.
• Сакс, Станислав (1937), Теория интеграла, Monografie Matematyczne, 7, переведено Янг, Л.С., с двумя дополнительными примечаниями Стефан Банах (2-е изд.), Варшава -Lwów: G.E. Stechert & Co., стр. VI + 347, JFM  63.0183.05, Zbl  0017.30004 (доступно на Польская виртуальная научная библиотека ).

внешняя ссылка

• Теорема Егорова в PlanetMath.
• Хэмпри, Алексис. «Теорема Егорова». MathWorld.
• Кудрявцев, Л. (2001) [1994], «Теорема Егорова», Энциклопедия математики, EMS Press