Теорема Люзинса - Lusins theorem

в математический поле реальный анализ, Теорема Люсина (или же Теорема Лузина, названный в честь Николай Лузин ) или же Критерий Лусина заявляет, что почти всюду конечная функция измеримый если и только если это непрерывная функция почти на всей своей области. в неформальная формулировка из Дж. Э. Литтлвуд, «каждая измеримая функция почти непрерывна».

Классическое высказывание

Для интервала [а, б], позволять

{ displaystyle f: [a, b] rightarrow mathbb {C}}

- измеримая функция. Затем для каждого ε > 0 существует компактный E ⊆ [а, б] такой, что ж ограниченный E непрерывно и

{ displaystyle mu (E)> b-a- varepsilon.}

Обратите внимание, что E наследует топология подпространства из [а, б]; преемственность ж ограниченный E определяется с использованием этой топологии.

Также для любой функции ж, определенный на интервале [а, б] и почти всюду конечны, если для любого ε> 0 есть функция ϕ, непрерывно на [а, б], такая, что мера множества

{ Displaystyle {х в [a, b]: е (х) neq phi (x) }}

меньше чем ε, тогда ж измеримо.^[1]

Общая форма

Позволять ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ быть Радоновая мера пространство и Y быть счетный топологическое пространство, снабженное Борелевская алгебра, и разреши

{ displaystyle f: X rightarrow Y}

- измеримая функция. Данный ${ displaystyle varepsilon> 0}$ , для каждого ${ displaystyle A in Sigma}$ конечной меры существует замкнутое множество ${ displaystyle E}$ с ${ Displaystyle му (А setminus E) < varepsilon}$ такой, что ${ displaystyle f}$ ограниченный ${ displaystyle E}$ непрерывно. Если ${ displaystyle A}$ является локально компактный, мы можем выбрать ${ displaystyle E}$ быть компактным и даже найти непрерывную функцию ${ displaystyle f _ { varepsilon}: X rightarrow Y}$ с компактной опорой, совпадающей с ${ displaystyle f}$ на ${ displaystyle E}$ и такой, что ${ Displaystyle sup _ {x in X} | е _ { varepsilon} (x) | leq sup _ {x in X} | f (x) |}$ .

Неформально измеримые функции в пространствах со счетной базой могут быть аппроксимированы непрерывными функциями на сколь угодно большой части их области определения.

На доказательство

Доказательство теоремы Лусина можно найти во многих классических книгах. Интуитивно можно ожидать, что это следствие Теорема Егорова и плотность гладких функций. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти равномерна, а равномерная сходимость сохраняет непрерывность.

Теорема Люзинса - Lusins theorem

Содержание

Классическое высказывание

Общая форма

На доказательство

Рекомендации