Дисфеноид - Disphenoid

В тетрагональные и дигональные дисфеноиды можно разместить внутри кубовид разделив пополам две противоположные грани. Оба имеют четыре равных края по бокам. Дигональ имеет две пары равнобедренных граней равнобедренного треугольника, а тетрагональ - четыре равнобедренных треугольника.

А ромбический дисфеноид имеет конгруэнтные разносторонние треугольные грани и может поместиться по диагонали внутри кубовид. Он имеет три набора длин кромок, существующих как противоположные пары.

В геометрия, а дисфеноид (от греч. sphenoeides, «клиновидный») - тетраэдр чьи четыре лица конгруэнтный остроугольные треугольники.^[1] Его также можно описать как тетраэдр, в котором каждые два противоположных друг другу ребра имеют одинаковую длину. Другие названия той же формы: клиновидная,^[2] бисфеноид,^[2] равнобедренный тетраэдр,^[3] равносторонний тетраэдр,^[4] почти правильный тетраэдр,^[5] и тетрамоноэдр.^[6]

Все телесные углы и фигуры вершин дифеноида одинаковы, а сумма углов граней в каждой вершине равна двум прямые углы. Однако дисфеноид - это не правильный многогранник, потому что, как правило, его грани не правильные многоугольники, а его края имеют три разные длины.

Частные случаи и обобщения

Дальнейшая информация: Тетраэдр § Изометрии неправильных тетраэдров

Если лица дисфеноида равносторонние треугольники, это правильный тетраэдр с Т_d тетраэдрическая симметрия, хотя обычно это не называется дисфеноидом. Когда лица дисфеноида равнобедренные треугольники, это называется тетрагональный дисфеноид. В этом случае D_2d двугранная симметрия Клиновидная с разносторонние треугольники как его лица называют ромбический дисфеноид и у него есть D₂ двугранная симметрия. В отличие от тетрагонального дисфеноида ромбический дисфеноид не имеет симметрия отражения, так что, это хиральный.^[7]И тетрагональные дисфеноиды, и ромбические дисфеноиды являются изоэдра: не только конгруэнтны друг другу, но и все их лица симметричны друг другу.

Невозможно построить дисфеноид с помощью прямоугольный треугольник или же тупой треугольник лица.^[3] Когда прямоугольные треугольники склеиваются по образцу дисфеноида, они образуют плоскую фигуру (прямоугольник с двойным покрытием), не заключающую в себе никакого объема.^[7] Когда таким образом склеиваются тупые треугольники, полученную поверхность можно сложить в виде дисфеноида (по Теорема единственности Александрова ), но с острыми треугольными гранями и ребрами, которые, как правило, не лежат по краям данных тупых треугольников.

Еще два типа тетраэдра обобщают дисфеноид и имеют похожие названия. дигональный дисфеноид имеет грани двух разных форм, оба равнобедренные треугольники, с двумя гранями каждой формы. филлический дисфеноид так же имеет грани с двумя формами разносторонних треугольников.

Дисфеноиды также можно рассматривать как дигональные антипризмы или как чередовались четырехугольник призмы.

Характеристики

Тетраэдр - это дисфеноид если и только если его ограниченный параллелепипед находится под прямым углом.^[8]

Мы также имеем, что тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда центр в ограниченная сфера и вписанная сфера совпадают.^[9]

Другая характеристика утверждает, что если d₁, d₂ и d₃ общие перпендикуляры AB и CD; AC и BD; и ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э соответственно в тетраэдре ABCD, то тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда d₁, d₂ и d₃ попарно перпендикуляр.^[8]

Дифеноиды - единственные многогранники, имеющие бесконечно много несамопересекающихся. закрытые геодезические. На дисфеноиде все замкнутые геодезические не являются самопересекающимися.^[10]

Дифеноиды - это тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковые периметр, тетраэдры, у которых все четыре грани имеют одинаковую площадь,^[9] и тетраэдры, в которых угловые дефекты всех четырех вершин равны π. Это многогранники, имеющие сеть в форме острого треугольника, разделенного на четыре одинаковых треугольника отрезками, соединяющими середины краев.^[5]

Метрические формулы

В объем дисфеноида с противоположными краями длины л, м и п дан кем-то^[11]

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}$

В ограниченная сфера имеет радиус^[11] (окружной радиус)

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}}}$

и вписанная сфера имеет радиус^[11]

${\displaystyle r={\frac {3V}{4T}}}$

куда V объем дисфеноида и Т это площадь любого лица, которая задается Формула Герона. Также существует следующая интересная связь, связывающая объем и радиус описанной окружности:^[11]

${\displaystyle \displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.}$

Квадраты длин бимедианцы находятся^[11]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}$

Другие свойства

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковый периметр, то тетраэдр является дисфеноидом.^[9]

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то это дисфеноид.^[8][9]

Центры в ограниченный и вписанные сферы совпадают с центроид дисфеноида.^[11]

Бимедианцы перпендикуляр к краям они соединяются и друг к другу.^[11]

Соты и кристаллы

Заполняющий пространство тетраэдрический дисфеноид внутри куба. Два ребра имеют двугранные углы 90 °, а четыре ребра имеют двугранные углы 60 °.

Некоторые тетрагональные дифеноиды образуют соты. Дисфеноид, четыре вершины которого - (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) и (0, 1, -1), является таким дисфеноидом.^[12][13] Каждая из его четырех граней представляет собой равнобедренный треугольник с ребрами длиной √3, √3, и 2. Он может мозаика пространство для формирования дисфеноидные четырехгранные соты. В качестве Гибб (1990) описывает, его можно сложить без разрезания или нахлеста из одного листа бумага формата а4.^[14]

«Дисфеноид» также используется для описания двух форм кристалл:

• Клиновидная форма кристалла четырехугольный или же орторомбическая система. Он имеет четыре одинаковых треугольных грани, которые соответствуют по положению чередующимся граням тетрагональной или ромбической формы. дипирамида. Он симметричен относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей симметрии диад во всех классах, кроме тетрагонально-дифеноидальной, в которой форма порождается обратной тетрадной осью симметрии.
• Кристаллическая форма, ограниченная восемью разносторонние треугольники расположены попарно, составляя тетрагональную скаленоэдр.

Другое использование

Шесть тетрагональных дифеноидов, соединенных встык в кольцо, образуют калейдоцикл, бумажная игрушка, которая может вращаться на 4 наборах граней в шестиугольнике.

Смотрите также

• Ортоцентрический тетраэдр
• Курносый дисфеноид - А Джонсон солид с 12 равносторонними треугольными гранями и D_2d симметрия.
• Треугольный тетраэдр

Рекомендации

1. Кокстер, Х. С. М. (1973), Правильные многогранники (3-е изд.), Dover Publications, стр.15, ISBN  0-486-61480-8
2. Уиттакер, Э. Дж. У. (2013), Кристаллография: введение для студентов, изучающих науки о Земле (и других твердотельных), Elsevier, стр. 89, ISBN  9781483285566.
3. Пиявка, Джон (1950), «Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра», Математический вестник, 34 (310): 269–271, Дои:10.2307/3611029, JSTOR  3611029, МИСТЕР  0038667.
4. Хаджа, Моваффак; Уокер, Питер (2001), "Эквифациальные тетраэдры", Международный журнал математического образования в науке и технологиях, 32 (4): 501–508, Дои:10.1080/00207390110038231, МИСТЕР  1847966, S2CID  218495301.
5. Акияма, Джин (2007 г.), «Плиточники и плиточники», Американский математический ежемесячный журнал, 114 (7): 602–609, Дои:10.1080/00029890.2007.11920450, JSTOR  27642275, МИСТЕР  2341323, S2CID  32897155.
6. Демейн, Эрик; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания, Cambridge University Press, стр. 424, г. ISBN  978-0-521-71522-5.
7. Петижан, Мишель (2015), «Самый хиральный дисфеноид» (PDF), MATCH-коммуникации в математической и компьютерной химии, 73 (2): 375–384, МИСТЕР  3242747.
8. Андрееску, Титу; Гельца, Разван (2009), Задачи математической олимпиады (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 30–31..
9. Браун, Б. Х. (апрель 1926 г.), "Теорема взрыва. Равнобедренные тетраэдры", Клубы математиков для студентов: Клубные темы, Американский математический ежемесячный журнал, 33 (4): 224–226, Дои:10.1080/00029890.1926.11986564, JSTOR  2299548.
10. Фукс Дмитрий; Фукс, Екатерина (2007), «Замкнутые геодезические на правильных многогранниках» (PDF), Московский математический журнал, 7 (2): 265–279, 350, Дои:10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279, МИСТЕР  2337883.
11. Пиявка, Джон (1950), "Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра", Математический вестник, 34 (310): 269–271, Дои:10.2307/3611029, JSTOR  3611029.
12. Кокстер (1973 С. 71–72).
13. Сенешаль, Марджори (1981), «Какие тетраэдры заполняют пространство?», Математический журнал, 54 (5): 227–243, Дои:10.2307/2689983, JSTOR  2689983, МИСТЕР  0644075
14. Гибб, Уильям (1990), «Выкройки из бумаги: сплошные формы из метрической бумаги», Математика в школе, 19 (3): 2–4 Перепечатано в Причард, Крис, изд. (2003), Меняющаяся форма геометрии: празднование века геометрии и преподавания геометрии, Cambridge University Press, стр. 363–366, ISBN  0-521-53162-4

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Дисфеноид». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Равнобедренный тетраэдр». MathWorld.