Закрытая геодезическая - Closed geodesic

В дифференциальная геометрия и динамические системы, а закрытая геодезическая на Риманово многообразие это геодезический который возвращается в исходную точку с тем же касательным направлением. Его можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезический поток на касательное пространство коллектора.

Определение

В Риманово многообразие (M,грамм) замкнутая геодезическая - это кривая ${displaystyle gamma :mathbb {R} ightarrow M}$ это геодезический для метрики грамм и является периодическим.

Замкнутые геодезические можно охарактеризовать с помощью вариационного принципа. Обозначается ${displaystyle Lambda M}$ пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические периода 1 - это в точности критические точки энергетической функции ${displaystyle E:Lambda Mightarrow mathbb {R} }$, определяется

${displaystyle E(gamma )=int _{0}^{1}g_{gamma (t)}({dot {gamma }}(t),{dot {gamma }}(t)),mathrm {d} t.}$

Если ${displaystyle gamma }$ - замкнутая геодезическая периода п, репараметризованная кривая ${displaystyle tmapsto gamma (pt)}$ - замкнутая геодезическая периода 1, поэтому она является критической точкой E. Если ${displaystyle gamma }$ критическая точка E, так репараметризованные кривые ${displaystyle gamma ^{m}}$, для каждого ${displaystyle min mathbb {N} }$, определяется ${displaystyle gamma ^{m}(t):=gamma (mt)}$. Таким образом, каждая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

Примеры

На единичная сфера ${displaystyle S^{n}subset mathbb {R} ^{n+1}}$ со стандартной круглой римановой метрикой каждые большой круг является примером замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может быть неверно, но всегда есть по крайней мере три простых замкнутых геодезических; это теорема трех геодезических.^[1] Многообразия, все геодезические которых замкнуты, подробно исследованы в математической литературе. О компактном гиперболическом поверхность, фундаментальная группа которого не имеет кручения, замкнутые геодезические находятся во взаимно однозначном соответствии с нетривиальными классы сопряженности элементов в Фуксова группа поверхности.

Смотрите также

• Теорема Люстерника – Фета.
• Кривая сокращения потока
• Формула следа Сельберга
• Дзета-функция Сельберга
• Zoll поверхность

Рекомендации

1. Грейсон, Мэтью А. (1989), «Укорачивание вложенных кривых» (PDF), Анналы математики, Вторая серия, 129 (1): 71–111, Дои:10.2307/1971486, JSTOR  1971486, Г-Н  0979601.

• Бесс, А.: "Многообразия, все геодезические которых замкнуты", Ergebisse Grenzgeb. Математика., нет. 93, Шпрингер, Берлин, 1978.
• Клингенберг, В.: "Лекции по замкнутой геодезической", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1978. x + 227 с. ISBN  3-540-08393-6