Дзета-функция Сельберга - Selberg zeta function

В Дзета-функция Сельберга был представлен Атле Сельберг (1956 ). Это аналог знаменитого Дзета-функция Римана

{displaystyle zeta (s) = prod _ {pin mathbb {P}} {frac {1} {1-p ^ {- s}}}}

куда ${displaystyle mathbb {P}}$ - множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых закрытые геодезические вместо простых чисел. Если ${displaystyle Gamma}$ является подгруппой SL (2,р), ассоциированная дзета-функция Сельберга определяется следующим образом:

{displaystyle zeta _ {Gamma} (s) = prod _ {p} (1-N (p) ^ {- s}) ^ {- 1},}

или же

{displaystyle Z_ {Gamma} (s) = prod _ {p} prod _ {n = 0} ^ {infty} (1-N (p) ^ {- s-n}),}

куда п пробегает классы сопряженности основные геодезические (эквивалентно классы сопряженности примитивных гиперболических элементов ${displaystyle Gamma}$ ), и N(п) обозначает длину п (эквивалентно, квадрат большего собственного значения п).

Для любого гиперболическая поверхность конечной площади есть связанный Дзета-функция Сельберга; эта функция мероморфная функция определено в комплексная плоскость. Дзета-функция определяется в терминах замкнутого геодезические поверхности.

Нули и полюсы дзета-функции Сельберга, Z(s), можно описать спектральными данными поверхности.

Нули стоят в следующих точках:

Для каждой формы возврата с собственным значением ${displaystyle s_ {0} (1-s_ {0})}$ существует нуль в точке ${displaystyle s_ {0}}$ . Порядок нуля равен размерности соответствующего собственного подпространства. (Форма возврата - это собственная функция Оператор Лапласа – Бельтрами у которого есть Разложение Фурье с нулевым постоянным членом.)
Дзета-функция также имеет нуль на каждом полюсе определителя матрицы рассеяния, ${displaystyle phi (s)}$ . Порядок нуля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния.

Дзета-функция также имеет полюса в ${displaystyle 1/2-mathbb {N}}$ , и может иметь нули или полюсы в точках ${displaystyle -mathbb {N}}$ .

В Дзета-функция Ихары считается p-адическим (и теоретико-графическим) аналогом дзета-функции Сельберга.

Дзета-функция Сельберга для модульной группы

Для случая, когда поверхность ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} ^ {2}}$ , куда ${displaystyle Gamma}$ это модульная группа, дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. В этом частном случае дзета-функция Сельберга тесно связана с Дзета-функция Римана.

В этом случае определитель матрица рассеяния дан кем-то:

{displaystyle varphi (s) = pi ^ {1/2} {frac {Gamma (s-1/2) zeta (2s-1)} {Gamma (s) zeta (2s)}}.}.}

^{[нужна цитата ]}

В частности, мы видим, что если дзета-функция Римана имеет нуль в ${displaystyle s_ {0}}$ , то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при ${displaystyle s_ {0} / 2}$ , а значит, дзета-функция Сельберга имеет нуль в точке ${displaystyle s_ {0} / 2}$ .^{[нужна цитата ]}

Дзета-функция Сельберга - Selberg zeta function

Дзета-функция Сельберга для модульной группы

Рекомендации