Лемма Котлара – Стейна. - Cotlar–Stein lemma

В математика, в области функциональный анализ, то Лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности назван в честь математиков Миша Котлар и Элиас Штайн. Его можно использовать для получения информации о норма оператора на оператора, действующего с одного Гильбертово пространство в другой, когда оператор может быть разложен на почти ортогональный штук. Исходная версия этой леммы (для самосопряженный и взаимно коммутирующие операторы) был доказан Мишей Котларом в 1955 г.^[1] и позволил ему сделать вывод, что Преобразование Гильберта это непрерывный линейный оператор в ${displaystyle L^{2}}$без использования преобразование Фурье Более общую версию доказал Элиас Штайн.^[2]

Лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности

Позволять ${displaystyle E,,F}$ быть двумя Гильбертовы пространства.Рассмотрим семейство операторов${displaystyle T_{j}}$, ${displaystyle jgeq 1}$,с каждым ${displaystyle T_{j}}$а ограниченный линейный оператор из ${displaystyle E}$ к ${displaystyle F}$.

Обозначить

${displaystyle a_{jk}=Vert T_{j}T_{k}^{ast }Vert ,qquad b_{jk}=Vert T_{j}^{ast }T_{k}Vert .}$

Семейство операторов${displaystyle T_{j}:;E o F}$, ${displaystyle jgeq 1,}$является почти ортогональный если

${displaystyle A=sup _{j}sum _{k}{sqrt {a_{jk}}}<infty ,qquad B=sup _{j}sum _{k}{sqrt {b_{jk}}}<infty .}$

Лемма Котлара – Стейна утверждает, что если ${displaystyle T_{j}}$почти ортогональны, то ряды${displaystyle sum _{j}T_{j}}$сходится в сильная операторная топология, и это

${displaystyle Vert sum _{j}T_{j}Vert leq {sqrt {AB}}.}$

Доказательство

Если р₁, ..., р_п конечный набор ограниченных операторов, то^[3]

${displaystyle displaystyle {sum _{i,j}|(R_{i}v,R_{j}v)|leq left(max _{i}sum _{j}|R_{i}^{*}R_{j}|^{1 over 2}ight)left(max _{i}sum _{j}|R_{i}R_{j}^{*}|^{1 over 2}ight)|v|^{2}.}}$

Итак, в условиях леммы

${displaystyle displaystyle {sum _{i,j}|(T_{i}v,T_{j}v)|leq AB|v|^{2}.}}$

Следует, что

${displaystyle displaystyle {|sum _{i=1}^{n}T_{i}v|^{2}leq AB|v|^{2},}}$

и это

${displaystyle displaystyle {|sum _{i=m}^{n}T_{i}v|^{2}leq sum _{i,jgeq m}|(T_{i}v,T_{j}v)|.}}$

Следовательно, частичные суммы

${displaystyle displaystyle {s_{n}=sum _{i=1}^{n}T_{i}v}}$

сформировать Последовательность Коши.

Таким образом, сумма абсолютно сходится с пределом, удовлетворяющим указанному неравенству.

Чтобы доказать неравенство выше, положим

${displaystyle displaystyle {R=sum a_{ij}R_{i}^{*}R_{j}}}$

с |а_ij| ≤ 1 выбрано так, чтобы

${displaystyle displaystyle {(Rv,v)=|(Rv,v)|=sum |(R_{i}v,R_{j}v)|.}}$

потом

${displaystyle displaystyle {|R|^{2m}=|(R^{*}R)^{m}|leq sum |R_{i_{1}}^{*}R_{i_{2}}R_{i_{3}}^{*}R_{i_{4}}cdots R_{i_{2m}}|leq sum left(|R_{i_{1}}^{*}||R_{i_{1}}^{*}R_{i_{2}}||R_{i_{2}}R_{i_{3}}^{*}|cdots |R_{i_{2m-1}}^{*}R_{i_{2m}}||R_{i_{2m}}|ight)^{1 over 2}.}}$

Следовательно

${displaystyle displaystyle {|R|^{2m}leq ncdot max |R_{i}|left(max _{i}sum _{j}|R_{i}^{*}R_{j}|^{1 over 2}ight)^{2m}left(max _{i}sum _{j}|R_{i}R_{j}^{*}|^{1 over 2}ight)^{2m-1}.}}$

Принимая 2мкорни и позволяя м стремятся к ∞,

${displaystyle displaystyle {|R|leq left(max _{i}sum _{j}|R_{i}^{*}R_{j}|^{1 over 2}ight)left(max _{i}sum _{j}|R_{i}R_{j}^{*}|^{1 over 2}ight),}}$

откуда сразу следует неравенство.

Обобщение

Существует обобщение леммы Котлара – Стейна с заменой сумм на интегралы.^[4][5] Позволять Икс - локально компактное пространство, а μ - борелевская мера на Икс. Позволять Т(Икс) быть картой из Икс на ограниченные операторы из E к F которое равномерно ограничено и непрерывно в сильной операторной топологии. Если

${displaystyle displaystyle {A=sup _{x}int _{X}|T(x)^{*}T(y)|^{1 over 2},dmu (y),,,,B=sup _{x}int _{X}|T(y)T(x)^{*}|^{1 over 2},dmu (y),}}$

конечны, то функция Т(Икс)v интегрируема для каждого v в E с

${displaystyle displaystyle {|int _{X}T(x)v,dmu (x)|leq {sqrt {AB}}cdot |v|.}}$

Результат может быть доказан заменой сумм интегралами в предыдущем доказательстве или использованием сумм Римана для приближения интегралов.

Пример

Вот пример ортогональный семья операторов. Рассмотрим бесконечномерные матрицы

${displaystyle T=left[{egin{array}{cccc}1&0&0&vdots �&1&0&vdots �&0&1&vdots cdots &cdots &cdots &ddots end{array}}ight]}$

а также

${displaystyle qquad T_{1}=left[{egin{array}{cccc}1&0&0&vdots �&0&0&vdots �&0&0&vdots cdots &cdots &cdots &ddots end{array}}ight],qquad T_{2}=left[{egin{array}{cccc}0&0&0&vdots �&1&0&vdots �&0&0&vdots cdots &cdots &cdots &ddots end{array}}ight],qquad T_{3}=left[{egin{array}{cccc}0&0&0&vdots �&0&0&vdots �&0&1&vdots cdots &cdots &cdots &ddots end{array}}ight],qquad dots .}$

потом${displaystyle Vert T_{j}Vert =1}$ для каждого ${displaystyle j}$, следовательно, ряд ${displaystyle sum _{jin mathbb {N} }T_{j}}$не сходится в унифицированная операторная топология.

Тем не менее, поскольку${displaystyle Vert T_{j}T_{k}^{ast }Vert =0}$и ${displaystyle Vert T_{j}^{ast }T_{k}Vert =0}$за ${displaystyle jeq k}$, лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности говорит нам, что

${displaystyle T=sum _{jin mathbb {N} }T_{j}}$

сходится в сильная операторная топология и ограничен 1.

Примечания

1. Котлар 1955
2. Штейн 1993
3. Хёрмандер 1994
4. Кнапп и Стейн, 1971 г.
5. Кальдерон, Альберто; Вайланкур, Реми (1971). «Об ограниченности псевдодифференциальных операторов». Журнал математического общества Японии. 23 (2): 374–378. Дои:10.2969 / jmsj / 02320374.

Рекомендации

• Котлар, Миша (1955), "Комбинаторное неравенство и его применение к L² пробелы ", Математика. Куяна, 1: 41–55
• Хёрмандер, Ларс (1994), Анализ дифференциальных операторов с частными производными III: псевдодифференциальные операторы (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 165–166, ISBN  978-3-540-49937-4
• Кнапп, Энтони У .; Штейн, Элиас (1971), "Сплетающие операторы для полупростых групп Ли", Анна. Математика., 93: 489–579
• Штейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-03216-5