Связь (расслоенное многообразие) - Connection (fibred manifold)

В дифференциальная геометрия, а слоистое многообразие является сюръективный погружение из гладкие многообразия Y → Икс. Локально тривиальные расслоенные многообразия - это пучки волокон. Следовательно, понятие связь на расслоенных многообразиях дает общий каркас связь на пучках волокон.

Формальное определение

Позволять π : Y → Икс - расслоенное многообразие. Обобщенный связь на Y это раздел Γ: Y → J¹Y, куда J¹Y это струйный коллектор из Y.^[1]

Соединение как горизонтальное разделение

С указанным выше коллектором π есть следующие канонические короткая точная последовательность из векторные пакеты над Y:

${\displaystyle 0\to \mathrm {V} Y\to \mathrm {T} Y\to Y\times _{X}\mathrm {T} X\to 0\,,}$

(1)

куда ТY и ТИкс являются касательные пучки из Y, соответственно, VY это вертикальный касательный пучок из Y, и Y ×_Икс ТИкс это обратный пакет из ТИкс на Y.

А связь на расслоенном многообразии Y → Икс определяется как морфизм линейного расслоения

${\displaystyle \Gamma :Y\times _{X}\mathrm {T} X\to \mathrm {T} Y}$

(2)

над Y который раскол точная последовательность 1. Связь существует всегда.

Иногда эта связь Γ называется Связь Ehresmann потому что это дает горизонтальное распределение

${\displaystyle \mathrm {H} Y=\Gamma \left(Y\times _{X}\mathrm {T} X\right)\subset \mathrm {T} Y}$

из ТY и это горизонтальное разложение ТY = VY ⊕ HY.

В то же время под связностью Эресмана понимается также следующая конструкция. Любая связь Γ на расслоенном многообразии Y → Икс дает горизонтальный подъем Γ ∘ τ из векторное поле τ на Икс на Y, но не обязательно определяет аналогичную подъемную силу пути в Икс в Y. Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} \supset [,]\ni t&\to x(t)\in X\\\mathbb {R} \ni t&\to y(t)\in Y\end{aligned}}}$

быть двумя гладкими путями в Икс и Y, соответственно. потом т → у(т) называется горизонтальным подъемом Икс(т) если

${\displaystyle \pi (y(t))=x(t)\,,\qquad {\dot {y}}(t)\in \mathrm {H} Y\,,\qquad t\in \mathbb {R} \,.}$

Связь Γ считается Связь Ehresmann если для каждого пути Икс([0,1]) в Икссуществует его горизонтальный подъем через любую точку у ∈ π⁻¹(Икс([0,1])). Расслоенное многообразие является расслоением тогда и только тогда, когда оно допускает такую ​​связность Эресмана.

Связность как касательная форма

Для расслоенного многообразия Y → Икс, наделим его атласом расслоенных координат (Икс^μ, у^я), и разреши Γ быть связью на Y → Икс. Это дает однозначно горизонтальный касательная однозначная форма

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\left(x^{\nu },y^{j}\right)\partial _{i}\right)}$

(3)

на Y которая проецируется на каноническую касательную форму (тавтологический однообразный или же форма припоя )

${\displaystyle \theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$

на Икс, и наоборот. При такой форме горизонтальное разделение 2 читает

${\displaystyle \Gamma :\partial _{\lambda }\to \partial _{\lambda }\rfloor \Gamma =\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}\,.}$

В частности, связь Γ в 3 дает горизонтальный подъем любого векторного поля τ = τ^μ ∂_μ на Икс в проецируемое векторное поле

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau \rfloor \Gamma =\tau ^{\lambda }\left(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}\right)\subset \mathrm {H} Y}$

на Y.

Связь как вертикально-значная форма

Горизонтальное расщепление 2 точной последовательности 1 определяет соответствующее расщепление двойственной точной последовательности

${\displaystyle 0\to Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\to \mathrm {T} ^{*}Y\to \mathrm {V} ^{*}Y\to 0\,,}$

куда Т *Y и Т *Икс являются котангенсные пучки из Yсоответственно и V *Y → Y это двойной комплект к VY → Y, называемый вертикальным котангенсным расслоением. Это расщепление дается вертикально-значной формой

${\displaystyle \Gamma =\left(dy^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}dx^{\lambda }\right)\otimes \partial _{i}\,,}$

который также представляет собой связность на расслоенном многообразии.

Рассматривая связь как вертикально-значную форму, мы приходим к следующей важной конструкции. Для расслоенного многообразия Y → Икс, позволять ж : Икс′ → Икс быть морфизмом и ж ∗ Y → Икс′ то откатная связка из Y к ж. Тогда любое подключение Γ 3 на Y → Икс побуждает обратное соединение

${\displaystyle f*\Gamma =\left(dy^{i}-\left(\Gamma \circ {\tilde {f}}\right)_{\lambda }^{i}{\frac {\partial f^{\lambda }}{\partial x'^{\mu }}}dx'^{\mu }\right)\otimes \partial _{i}}$

на ж ∗ Y → Икс′.

Подключение в виде секции жиклера

Позволять J¹Y быть струйный коллектор секций расслоенного многообразия Y → Икс, с координатами (Икс^μ, у^я, у^я
_μ). Благодаря каноническому вложению

${\displaystyle \mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\left(Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {T} Y\,,\qquad \left(y_{\mu }^{i}\right)\to dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+y_{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\,,}$

любая связь Γ 3 на расслоенном многообразии Y → Икс представлен глобальным разделом

${\displaystyle \Gamma :Y\to \mathrm {J} ^{1}Y\,,\qquad y_{\lambda }^{i}\circ \Gamma =\Gamma _{\lambda }^{i}\,,}$

струйного пучка J¹Y → Y, и наоборот. Это аффинный пучок по образцу векторный набор

${\displaystyle \left(Y\times _{X}T^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\to Y\,.}$

(4)

Из этого факта вытекают следующие следствия.

1. Связности на расслоенном многообразии Y → Икс составить аффинное пространство моделируется на векторном пространстве формы для пайки

   ${\displaystyle \sigma =\sigma _{\mu }^{i}dx^{\mu }\otimes \partial _{i}}$

   (5)

   на Y → Икс, т.е. сечения векторного расслоения 4.
2. Коэффициенты связи подчиняются закону преобразования координат

   ${\displaystyle {\Gamma '}_{\lambda }^{i}={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial {x'}^{\lambda }}}\left(\partial _{\mu }{y'}^{i}+\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}{y'}^{i}\right)\,.}$

3. Каждое соединение Γ на расслоенном многообразии Y → Икс дает первый порядок дифференциальный оператор

   ${\displaystyle D_{\Gamma }:\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\mathrm {T} ^{*}X\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\,,\qquad D_{\Gamma }=\left(y_{\lambda }^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,}$

   на Y называется ковариантный дифференциал относительно связи Γ. Если s : Икс → Y является сечением, его ковариантный дифференциал

   ${\displaystyle \nabla ^{\Gamma }s=\left(\partial _{\lambda }s^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\circ s\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,}$

   и ковариантная производная

   ${\displaystyle \nabla _{\tau }^{\Gamma }s=\tau \rfloor \nabla ^{\Gamma }s}$

   вдоль векторного поля τ на Икс определены.

Кривизна и кручение

Учитывая связь Γ 3 на расслоенном многообразии Y → Икс, это кривизна определяется как Дифференциал Nijenhuis

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\tfrac {1}{2}}d_{\Gamma }\Gamma \\&={\tfrac {1}{2}}[\Gamma ,\Gamma ]_{\mathrm {FN} }\\&={\tfrac {1}{2}}R_{\lambda \mu }^{i}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\R_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\mu }^{i}-\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\,.\end{aligned}}}$

Это вертикальная горизонтальная двойная форма на Y.

Учитывая связь Γ 3 и форма пайки σ 5, а кручение из Γ относительно σ определяется как

${\displaystyle T=d_{\Gamma }\sigma =\left(\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\sigma _{\mu }^{j}\right)\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,.}$

Связка основных подключений

Позволять π : п → M быть основной пакет со структурной группой Ли грамм. А основная связь на п обычно описывается одноформной алгеброзначной связностью на п. В то же время принципиальная связь на п это глобальный раздел струйного пучка J¹п → п который эквивариантный относительно канонического правого действия грамм в п. Следовательно, он представлен глобальным участком фактор-расслоения C = J¹п/грамм → M, называется связка основных подключений. Это аффинный пучок моделируется на векторном расслоении Vп/грамм → M чье типичное волокно Алгебра Ли грамм структурной группы грамм, и где грамм действует по присоединенное представительство. Есть каноническое вложение C к фактор-расслоению Тп/грамм который также называется связка основных подключений.

Учитывая основу {е_м} для алгебры Ли грамм, пучок волокон C наделен координатами пучка (Икс^μ, а^м
_μ), а его разделы представлены векторнозначные однозначные формы

${\displaystyle A=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+a_{\lambda }^{m}{\mathrm {e} }_{m}\right)\,,}$

куда

${\displaystyle a_{\lambda }^{m}\,dx^{\lambda }\otimes {\mathrm {e} }_{m}}$

знакомые местные формы подключения на M.

Отметим, что струйный пучок J¹C из C это конфигурационное пространство из Калибровочная теория Янга – Миллса. Он допускает каноническое разложение

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\lambda \mu }^{r}&={\tfrac {1}{2}}\left(F_{\lambda \mu }^{r}+S_{\lambda \mu }^{r}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}+a_{\mu \lambda }^{r}-c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}-a_{\mu \lambda }^{r}+c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)\,,\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle F={\tfrac {1}{2}}F_{\lambda \mu }^{m}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes {\mathrm {e} }_{m}}$

называется форма силы основного подключения.

Смотрите также

• Связь (математика)
• Волокнистый коллектор
• Связь Ehresmann
• Подключение (основной комплект)

Примечания

1. Крупка, Деметра; Янышка, Йозеф (1990). Лекции по дифференциальным инвариантам. Univerzita J. E. Purkyně v Brně. п. 174. ISBN  80-210-0165-8.

Рекомендации

• Коларж, Иван; Михор, Питер; Slovák, Ян (1993). Натуральные операторы в дифференциальной геометрии (PDF). Springer-Verlag. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-30. Получено 2013-05-28.
• Крупка, Деметра; Янышка, Йозеф (1990). Лекции по дифференциальным инвариантам. Univerzita J. E. Purkyně v Brně. ISBN  80-210-0165-8.
• Сондерс, Д.Дж. (1989). Геометрия струйных пучков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36948-7.
• Mangiarotti, L .; Сарданашвили, Г. (2000). Связи в классической и квантовой теории поля. World Scientific. ISBN  981-02-2013-8.
• Сарданашвили, Г. (2013). Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория. Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. ISBN  978-3-659-37815-7.