Скобка Фрелихера – Нийенхейса - Frölicher–Nijenhuis bracket

В математика, то Скобка Фрелихера – Нийенхейса является продолжением Кронштейн лжи из векторные поля к векторные дифференциальные формы на дифференцируемое многообразие.

Это полезно при изучении связи, в частности Связь Ehresmann, а также в более общем исследовании прогнозы в касательный пучок.Это было введено Альфред Фрёличер и Альберт Нейенхейс (1956) и связан с работой Schouten (1940).

Это связано, но не так, как Скобка Нейенхейса – Ричардсона и Скобка Схоутена – Нийенхейса.

Определение

Пусть Ω * (M) быть пучок из внешние алгебры из дифференциальные формы на гладкое многообразие M. Это градуированная алгебра в которых формы классифицируются по степени:

${\displaystyle \Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).}$

А дифференцированный вывод степени является отображением

${\displaystyle D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)}$

которое линейно по константам и удовлетворяет

${\displaystyle D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).}$

Так, в частности, интерьерный продукт с вектором определяет градуированное дифференцирование степени ℓ = −1, тогда как внешняя производная является градуированным дифференцированием степени = 1.

Векторное пространство всех дифференцирований степени обозначается Der_ℓΩ * (M). Прямая сумма этих пространств есть градуированное векторное пространство однородные компоненты которого состоят из всех ступенчатых производных данной степени; это обозначено

${\displaystyle \mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{*}(M).}$

Это формирует градуированная супералгебра Ли под антикоммутатором выводов, определенных на однородных выводах D₁ и D₂ степеней d₁ и d₂соответственно

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1}.}$

Любой векторнозначная дифференциальная форма K в Ω^k(M, ТM) со значениями в касательный пучок из M определяет дифференцированный вывод степени k - 1, обозначается я_K, и вызвал оператор вставки. Для ω ∈ Ω^ℓ(M),

${\displaystyle i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\sum _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {sign}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})}$

В Производная Нейенхейса – Ли вдоль K ∈ Ω^k(M, ТM) определяется

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[d,i_{K}]=d\,{\circ }\,i_{K}-(-1)^{k-1}i_{K}{\circ }\,d}$

куда d - внешняя производная и я_K - оператор вставки.

Скобка Фрелихера – Нийенхейса определяется как единственная векторнозначная дифференциальная форма

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{FN}:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\times \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M)\to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}}$

такой, что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[K,L]_{FN}}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].}$

Следовательно,

${\displaystyle [K,L]_{FN}=-(-1)^{kl}[L,K]_{FN}.}$

Если k = 0, так что K ∈ Ω⁰(M, ТM) - векторное поле, обычная формула гомотопии для производной Ли восстанавливается

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[d,i_{K}]=d\,{\circ }\,i_{K}+i_{K}\,{\circ }\,d.}$

Если k=ℓ= 1, так что К, Л ∈ Ω¹(M, ТM) для любых векторных полей Икс и Y

${\displaystyle [K,L]_{FN}(X,Y)=[KX,LY]+[LX,KY]+(KL+LK)[X,Y]-K([LX,Y]+[X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).}$

Если k= 0 и ℓ= 1, так что К = Z∈ Ω⁰(M, ТM) - векторное поле и L ∈ Ω¹(M, ТM) для любого векторного поля Икс

${\displaystyle [Z,L]_{FN}(X)=[Z,LX]-L[Z,X].}$

Явная формула для скобки Фрелихера – Нийенхейса ${\displaystyle \phi \otimes X}$ и ${\displaystyle \psi \otimes Y}$ (для форм φ, ψ и векторных полей Икс и Y) дан кем-то

${\displaystyle \left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]_{FN}=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L}}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \wedge i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).}$

Выводы кольца форм

Каждый вывод Ω^*(M) можно записать как

${\displaystyle i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}}$

для уникальных элементов K и L из Ω^*(M, ТM). Скобка Ли этих выводов имеет следующий вид.

• Выводы формы ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}}$ образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, коммутирующих с d. Скобка дается формулой

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K_{1}},{\mathcal {L}}_{K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}}$

где скобка справа - скобка Фрелихера – Нийенхейса. В частности, скобка Фрелихера – Нийенхейса определяет градуированная алгебра Ли структура на ${\displaystyle \Omega (M,\mathrm {T} M)}$, что расширяет Кронштейн лжи из векторные поля.

• Выводы формы ${\displaystyle i_{L}}$ образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, обращающихся в нуль на функциях Ω⁰(M). Скобка дается формулой

${\displaystyle [i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{1},L_{2}]^{\land }}}$

где скобка справа - это Скобка Нейенхейса – Ричардсона.

• Скобка выводов различных типов дается формулой

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K},i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}}$

за K в Ω^k(M, ТM), L в Ω^{л + 1}(M, ТM).

Приложения

В Тензор Нейенхейса из почти сложная структура J, - скобка Фрелихера – Нийенхейса J с собой. Почти комплексная структура является сложной тогда и только тогда, когда тензор Нийенхейса равен нулю.

С помощью скобки Фрелихера – Нийенхейса можно определить кривизна и искривление векторной 1-формы, которая является проекция. Это обобщает понятие кривизны связь.

Существует общее обобщение скобок Схоутена – Нийенхейса и скобок Фрелихера – Нийенхейса; подробнее см. статью о Скобка Схоутена – Нийенхейса.

Рекомендации

• Frölicher, A .; Нейенхейс, А. (1956), "Теория векторных дифференциальных форм. Часть I.", Indagationes Mathematicae, 18: 338–360.
• Frölicher, A .; Нейенхейс, А. (1960), "Инвариантность операций векторной формы относительно отображений", Communicationes Mathematicae Helveticae, 34: 227–248, Дои:10.1007 / bf02565938.
• П. В. Михор (2001) [1994], "Скоба Фрелихера – Нийенхейса", Энциклопедия математики, EMS Press
• Схоутен, Дж. А. (1940), «Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen», Indagationes Mathematicae, 2: 449–452.