Скобка Нейенхейса – Ричардсона - Nijenhuis–Richardson bracket

В математика, то алгебраическая скобка или же Скобка Нейенхейса – Ричардсона это градуированная алгебра Ли структура на пространстве чередующиеся полилинейные формы из векторное пространство себе, представленный А. Нийенхейс и Р. В. Ричардсон-младший (1966, 1967). Это связано, но не так, как Скобка Фрелихера – Нийенхейса и Скобка Схоутена – Нийенхейса.

Определение

Первичной мотивацией для внедрения скобки было разработать единую основу для обсуждения всех возможных Алгебра Ли структур на векторном пространстве, а затем деформации этих структур. Если V - векторное пространство и п ≥ −1 целое число, пусть

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{p}(V)=({\bigwedge }^{p+1}V^{*})\otimes V}$

- пространство всех кососимметричных (п + 1)-моллинейные отображения V себе. Прямая сумма Alt (V) это градуированное векторное пространство. А Алгебра Ли структура на V определяется кососимметричным билинейным отображением μ : V × V → V. То есть, μ является элементом Alt¹(V). Более того, μ должен подчиняться Личность Якоби. Скобка Нейенхейса – Ричардсона обеспечивает систематический способ выражения этого тождества в форме [μ, μ] = 0.

В деталях, скобка - это билинейная скобочная операция, определенная на Alt (V) следующее. На однородных элементах п ∈ Alt^п(V) и Q ∈ Alt^q(V), скобка Нейенхейса – Ричардсона [п, Q]^∧ ∈ Alt^п+q(V) дан кем-то

${\displaystyle [P,Q]^{\land }=i_{P}Q-(-1)^{pq}i_{Q}P.}$

Здесь интерьерный продукт я_п определяется

${\displaystyle (i_{P}Q)(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma \in Sh_{q+1,p}}\mathrm {sgn} (\sigma )P(Q(X_{\sigma (0)},X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (q)}),X_{\sigma (q+1)},\ldots ,X_{\sigma (p+q)})}$

где сумма по всем (д + 1, п)-перемешивает индексов, т.е. перестановок ${\displaystyle \sigma }$ из ${\displaystyle \{0,\ldots ,p+q\}}$ такой, что ${\displaystyle \sigma (0)<\cdots <\sigma (q)}$ и ${\displaystyle \sigma (q+1)<\cdots <\sigma (p+q)}$.

На неоднородных элементах скобка расширяется по билинейности.

Выводы кольца форм

Скобка Нейенхейса – Ричардсона может быть определена на векторных формах Ω^*(M, Т(M)) на гладком многообразии MАналогичным образом. Векторозначные формы действуют как дифференцирования на суперкоммутативном кольце Ω^*(M) форм на Mпринимая K к выводу я_K, тогда скобка Нейенхейса – Ричардсона соответствует коммутатору двух дифференцирований. Это отождествляет Ω^*(M, Т(M)) с алгеброй дифференцирований, обращающихся в нуль на гладких функциях. Не все производные имеют такую ​​форму; о структуре полного кольца всех производных см. статью Скобка Фрелихера – Нийенхейса.

Скобка Нейенхейса – Ричардсона и скобка Фрелихера – Нийенхейса образуют Ω^*(M, Т(M)) в градуированную супералгебру, но имеют разные степени.

Рекомендации

• Леконт, Пьер; Michor, Питер В .; Шикетанц, Хуберт (1992). «Многоуровневая алгебра Нейенхейса – Ричардсона, ее универсальное свойство и применение». J. Pure Appl. Алгебра. 77 (1): 87–102. Дои:10.1016 / 0022-4049 (92) 90032-Б.
• Michor, P. W. (2001) [1994], "Скоба Фрелихера – Нийенхейса", Энциклопедия математики, EMS Press
• Michor, P.W .; Шикетанц, Х. (1989). «Когомологии векторных дифференциальных форм». Анна. Глобальный анал. Geom. 7: 163–9. arXiv:math.DG / 9201255. Дои:10.1007 / BF00128296.
• Nijenhuis, A .; Ричардсон, Р. (1966). «Когомологии и деформации в градуированных алгебрах Ли». Бык. Амер. Математика. Soc. 72: 1–29. CiteSeerX  10.1.1.333.2736. Дои:10.1090 / S0002-9904-1966-11401-5. МИСТЕР  0195995.
• Nijenhuis, A .; Ричардсон, Р. (1967). «Деформация структур алгебры Ли». J. Math. Мех. 17: 89–105. JSTOR  24902154.