Форма припоя - Solder form

В математика, точнее в дифференциальная геометрия, а пайка (или иногда форма припоя) из пучок волокон к гладкое многообразие представляет собой способ прикрепления волокон к коллектору таким образом, чтобы их можно было рассматривать как касательные. Интуитивно пайка в абстрактных терминах выражает идею о том, что коллектор может иметь точку контакт с определенной моделью Геометрия Клейна в каждой точке. В внешней дифференциальной геометрии пайка просто выражается касанием модельного пространства к коллектору. Во внутренней геометрии необходимы другие методы, чтобы выразить это. В этом общем виде пайка была введена Чарльз Эресманн в 1950 г.^[1]

Пайка жгута волокон

Позволять M - гладкое многообразие, а грамм а Группа Ли, и разреши E быть гладким расслоением над M со структурной группой грамм. Предположим, что грамм действует транзитивно на типичном волокне F из E, и это тускло F = тусклый M. А пайка из E к M состоит из следующих данных:

Выдающийся раздел о : M → E.
Линейный изоморфизм векторных расслоений θ: TM → о^*VE от касательный пучок из M к откат из вертикальный пучок из E вдоль выделенного участка.

В частности, это последнее условие можно интерпретировать как утверждение, что θ определяет линейный изоморфизм

{ displaystyle theta _ {x}: T_ {x} M rightarrow V_ {o (x)} E}

из касательного пространства M в Икс к (вертикальному) касательному пространству волокна в точке, определяемой выделенным сечением. Форма θ называется форма припоя для пайки.

Особые случаи

По соглашению, когда выбор пайки уникален или канонически определен, форма припоя называется канонической формой или тавтологической формой.

Аффинные расслоения и векторные расслоения

Предположим, что E аффинный векторный набор (векторное расслоение без выбора нулевого сечения). Затем пайка на E указывает сначала выдающийся раздел: то есть выбор нулевой секции о, так что E может быть идентифицировано как векторное расслоение. Форма припоя тогда является линейным изоморфизмом

{ Displaystyle тета двоеточие TM к V_ {o} E,}

Однако для векторного расслоения существует канонический изоморфизм между вертикальным пространством в начале координат и слоем V_оE ≈ E. При такой идентификации форма припоя определяется линейным изоморфизмом

{ displaystyle TM to E.}

Другими словами, пайка на аффинный пучок E является выбором изоморфизма E с касательным пучком M.

Часто говорят о форма припоя на векторном пучке, где это понимается априори что выделенный участок пайки - это нулевой участок жгута. В этом случае структурная группа векторного расслоения часто неявно расширяется на полупрямой продукт из GL(п) с типичным волокном E (который является представлением GL(п)).^[2]

Примеры

В качестве особого случая, например, сама касательная связка имеет каноническую форму припоя, а именно тождество.
Если M имеет Риманова метрика (или же псевдориманова метрика ), то ковариантный метрический тензор дает изоморфизм ${ displaystyle g двоеточие TM to T ^ {*} M}$ от касательного пучка к котангенсный пучок, который представляет собой припой.
В Гамильтонова механика форма припоя известна как тавтологический однообразный, или поочередно как Лиувилля одноформный, то Одна форма Пуанкаре, то каноническая одноформа, или симплектический потенциал.

Приложения

Форма припоя на векторном пучке позволяет определить кручение и тензоры искривления из связь.

Формы припоя встречаются в сигма модель, где они склеивают касательное пространство пространственно-временного многообразия с касательным пространством полевого многообразия.

Vielbeins, или же тетрады в общей теории относительности выглядят как формы припоя в том смысле, что они склеивают вместе координатные диаграммы на пространственно-временном многообразии с предпочтительным, обычно ортонормированным базисом на касательном пространстве, где вычисления могут быть значительно упрощены. То есть карты координат являются ${ displaystyle TM}$ в определениях выше, а поле кадра - это вертикальный пучок ${ displaystyle VE}$ . В сигма-модели реперы явно являются формами припоя.

Основные пакеты

На языке основных расслоений a форма припоя на гладком главный грамм-пучок п через гладкое многообразие M является горизонтальным и грамм-эквивариантный дифференциальная 1-форма на п со значениями в линейное представление V из грамм так что связанный карта пакета от касательный пучок TM к связанный пакет п×_грамм V это изоморфизм расслоения. (Особенно, V и M должен иметь такой же размер.)

Хорошим примером формы припоя является тавтологическая или основная форма на комплект кадров многообразия.

Причина названия в том, что форма припоя припаивает (или прикрепляет) абстрактную главную связку к коллектору. M путем идентификации связанного пучка с касательным пучком. Формы припоя предоставляют метод для изучения грамм-конструкции и важны в теории Картановые соединения. Терминология и подход особенно популярны в физической литературе.

Примечания

^ Кобаяши (1957).
^ Ср. Кобаяши (1957), раздел 11, где обсуждается компаньон-редукция структурной группы.