Конциклические точки - Concyclic points

Одновременный серединный перпендикуляр к аккорды между совпадающими точками

Четыре совпадающие точки, образующие циклический четырехугольник, показывая два равных угла

В геометрия, а набор из точки как говорят конциклический (или же кокциклический) если они лежат на общем круг. Все конциклические точки находятся на одинаковом расстоянии от центр круга. Три очка в самолет что не все падают на прямая линия совпадают, но четыре или более таких точек на плоскости не обязательно совпадают.

Биссектрисы

В общем центр О круга, на котором точки п и Q ложь должна быть такой, что OP и OQ равные расстояния. Следовательно О должен лежать на серединном перпендикуляре отрезка прямой PQ.^[1] За п отдельные точки есть п(п − 1)/2 биссектрисы, а концикличность состоит в том, что все они встречаются в одной точке, центр О.

Циклические многоугольники

Треугольники

Вершины каждого треугольник попадают по кругу. (Из-за этого некоторые авторы определяют «концикличность» только в контексте четырех или более точек на окружности.)^[2] Окружность, содержащая вершины треугольника, называется описанный круг треугольника. Несколько других наборов точек, определенных из треугольника, также совпадают с другими окружностями; видеть круг из девяти точек^[3] и Теорема Лестера.^[4]

Радиус окружности, на которой лежит набор точек, по определению равен радиусу описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трех из этих точек. Если попарные расстояния между тремя точками равны а, б, и c, то радиус круга равен

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

Даны уравнение описанной окружности треугольника, а также выражения для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин. Вот и Вот.

Четырехугольники

Основная статья: Циклический четырехугольник

Четырехугольник ABCD с совпадающими вершинами называется циклический четырехугольник; это происходит тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$ (в теорема о вписанном угле ), которое истинно тогда и только тогда, когда противоположные углы внутри четырехугольника равны дополнительный.^[5] Круговой четырехугольник с последовательными сторонами а, б, c, d и полупериметр s = (а+б+c+d) / 2 радиус описанной окружности равен^[6][7]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}},}$

выражение, которое было выведено индийским математиком Ватассери Парамешвара в 15 веке.

К Теорема Птолемея, если четырехугольник задан попарными расстояниями между его четырьмя вершинами А, B, C, и D по порядку, то он цикличен тогда и только тогда, когда произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

Если две строки, одна содержит сегмент AC а другой содержащий сегмент BD, пересекаются в Икс, то четыре точки А, B, C, D совпадают тогда и только тогда, когда^[8]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

Перекресток Икс может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. Эта теорема известна как сила точки.

Полигоны

Основная статья: Циклический многоугольник

В более общем смысле, многоугольник, в котором все вершины совпадают, называется циклический многоугольник. Многоугольник цикличен тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры его ребер совпадают.^[9]

Вариации

Некоторые авторы считают коллинеарные точки (наборы точек, все принадлежащие одной линии), чтобы быть частным случаем конциклических точек, при этом прямая рассматривается как круг бесконечного радиуса. Эта точка зрения полезна, например, при изучении инверсия по кругу и Преобразования Мебиуса, так как эти преобразования сохраняют смыкание точек только в этом расширенном смысле.^[10]

в комплексная плоскость (формируется путем просмотра реальной и мнимой частей комплексное число как Икс и у Декартовы координаты плоскости), совпадение имеет особенно простую формулировку: четыре точки на комплексной плоскости либо совпадают, либо коллинеарны тогда и только тогда, когда их перекрестное соотношение это настоящий номер.^[11]

Другие свойства

Набор из пяти или более точек является концикличным тогда и только тогда, когда каждое подмножество из четырех точек совпадает.^[12] Это свойство можно рассматривать как аналог примыкания Хелли недвижимость выпуклых множеств.

Примеры

Треугольники

В любом треугольнике все следующие девять точек пересекаются с тем, что называется круг из девяти точек: середины трех ребер, основания трех высот и точки на полпути между ортоцентром и каждой из трех вершин.

Теорема Лестера заявляет, что в любом неравносторонний треугольник, два Точки Ферма, то центр девяти точек, а центр окружности совпадают.

Если линии проходят через Точка Лемуана параллельно к сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника совпадают, в том, что называется Лемуанский круг.

В круг Ван Ламоена связанный с любым заданным треугольником ${\displaystyle T}$ содержит центры окружности шести треугольников, определенных внутри ${\displaystyle T}$ своими тремя медианы.

Треугольник центр окружности, это Точка Лемуана, а его первые два Баллы Brocard параллельны, причем отрезок от центра описанной окружности до точки Лемуана является диаметром.^[13]

Другие полигоны

А многоугольник определяется как циклический если все его вершины совпадают. Например, все вершины правильный многоугольник любого числа сторон являются параллельными.

А касательный многоугольник у кого есть вписанный круг касательная к каждой стороне многоугольника; эти точки касания, таким образом, лежат на вписанной окружности.

Выпуклый четырехугольник - это ортодиагональный (имеет перпендикулярные диагонали) тогда и только тогда, когда середины сторон и ступни четырех высоты восемь совпадающих точек, на том, что называется восьмиконечный круг.

Рекомендации

1. Либескинд, Шломо (2008), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование, Jones & Bartlett Learning, стр. 21, ISBN  9780763743666/
2. Эллиотт, Джон (1902), Элементарная геометрия, Swan Sonnenschein & Co., Стр. 126.
3. Айзекс, И. Мартин (2009), Геометрия для студентов колледжа, Чистые и прикладные тексты для студентов, 8, Американское математическое общество, стр. 63, ISBN  9780821847947.
4. Ю, Пол (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения» (PDF), Форум Geometricorum, 10: 175–209, МИСТЕР  2868943.
5. Педое, Дэн (1997), Круги: математический взгляд, MAA Spectrum (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. xxii, ISBN  9780883855188.
6. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «По диагоналям вписанного четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 7: 147–9
7. Хоэн, Ларри (март 2000), "Окружной радиус вписанного четырехугольника", Математический вестник, 84 (499): 69–70, JSTOR  3621477
8. Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты, Высокое восприятие, стр. 179, ISBN  1906338000, OCLC  213434422
9. Байер, Оуэн; Лазебник, Феликс; Смельцер, Дейрдра Л. (2010), Методы евклидовой геометрии, Математическая ассоциация Америки, стр. 77, ISBN  9780883857632.
10. Цвиккер, К. (2005), Расширенная геометрия плоских кривых и их применение, Courier Dover Publications, стр. 24, ISBN  9780486442761.
11. Хан, Лян-шин (1996), Комплексные числа и геометрия, MAA Spectrum (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 65, ISBN  9780883855102.
12. Педое, Дэн (1988), Геометрия: полный курс, Courier Dover Publications, стр. 431, ISBN  9780486658124.
13. Скотт, Дж. А. "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Математический вестник 83, ноябрь 1999 г., стр. 472–477.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Конциклический». MathWorld.
• Четыре точки совпадения Майкл Шрайбер, Демонстрационный проект Wolfram.