Неравенства Кларксона - Clarksons inequalities

В математика, Неравенства Кларксона, названный в честь Джеймс А. Кларксон, являются результатами теории L^п пробелы. Они дают границы для L^п-нормы суммы и разницы двух измеримые функции в L^п с точки зрения L^п-нормы этих функций индивидуально.

Формулировка неравенств

Позволять (Икс, Σ,μ) быть измерить пространство; позволять ж, грамм : Икс → р быть измеримыми функциями в L^п. Тогда при 2 ≤п < +∞,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}$

Для 1 <п < 2,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}$

куда

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

т.е. q = п ⁄ (п − 1).

Дело п ≥ 2 доказать несколько легче, поскольку это простое применение неравенство треугольника и выпуклость из

${\displaystyle x\mapsto x^{p}.}$

Рекомендации

• Кларксон, Джеймс А. (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Труды Американского математического общества, 40 (3): 396–414, Дои:10.2307/1989630, МИСТЕР  1501880.
• Ханнер, Олоф (1956), «О равномерной выпуклости L^п и ℓ^п", Arkiv för Matematik, 3 (3): 239–244, Дои:10.1007 / BF02589410, МИСТЕР  0077087.
• Фридрихс, К. О. (1970), «О неравенствах Кларксона», Сообщения по чистой и прикладной математике, 23: 603–607, Дои:10.1002 / cpa.3160230405, МИСТЕР  0264372.

внешняя ссылка

• Неравенство Кларксона в PlanetMath.