Теорема Шоа о вполне положительных отображениях - Chois theorem on completely positive maps

В математика, Теорема Чоя о вполне положительных отображениях результат, который классифицирует полностью положительные карты между конечномерными (матричными) C * -алгебры. Бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя известно как Белавкин "s"Радон – Никодим «Теорема для вполне положительных отображений.

Заявление

Теорема Цоя. Позволять Φ: C^п×п → C^м×м - линейная карта. Следующие варианты эквивалентны:

(я) Φ является п-положительный.

(ii) Матрица с операторными элементами

${\displaystyle C_{\Phi }=\left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)\left(\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij}\right)=\sum _{ij}E_{ij}\otimes \Phi (E_{ij})\in \mathbb {C} ^{nm\times nm}}$

положительно, где E_ij ∈ C^п×п матрица с 1 в ij-я запись и нули в другом месте. (Матрица C_Φ иногда называют Матрица Чоя из Φ.)

(iii) Φ полностью положительный.

Доказательство

(i) влечет (ii)

Заметим, что если

${\displaystyle E=\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij},}$

тогда E=E^* и E²=nE, так E=п⁻¹EE^* что положительно. Следовательно C_Φ =(я_п ⊗ Φ) (E) положительна п-положительность Φ.

(iii) следует (i)

Это выполняется тривиально.

(ii) влечет (iii)

Это в основном связано с поиском разных взглядов на C^нм×нм:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{nm\times nm}\cong \mathbb {C} ^{nm}\otimes (\mathbb {C} ^{nm})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes (\mathbb {C} ^{n})^{*}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

Пусть разложение по собственным векторам C_Φ быть

${\displaystyle C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}v_{i}v_{i}^{*},}$

где векторы ${\displaystyle v_{i}}$ роды C^нм . По предположению каждое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$ неотрицательно, поэтому мы можем поглотить собственные значения в собственных векторах и переопределить ${\displaystyle v_{i}}$ так что

${\displaystyle \;C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}v_{i}v_{i}^{*}.}$

Векторное пространство C^нм можно рассматривать как прямую сумму ${\displaystyle \textstyle \oplus _{i=1}^{n}\mathbb {C} ^{m}}$ совместимо с вышеуказанной идентификацией ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{nm}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}$и стандартная основа C^п.

Если п_k ∈ C^{м × нм} проекция на k-й экземпляр C^м, тогда п_k^* ∈ C^нм×м это включение C^м как k-е слагаемое прямой суммы и

${\displaystyle \;\Phi (E_{kl})=P_{k}\cdot C_{\Phi }\cdot P_{l}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}.}$

Теперь, если операторы V_я ∈ C^м×п определены на k-й стандартный базисный вектор е_k из C^п к

${\displaystyle \;V_{i}e_{k}=P_{k}v_{i},}$

тогда

${\displaystyle \Phi (E_{kl})=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}e_{k}e_{l}^{*}V_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}E_{kl}V_{i}^{*}.}$

Продолжение линейности дает нам

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}AV_{i}^{*}}$

для любого А ∈ C^п×п. Любая карта такой формы явно позитивна: карта ${\displaystyle A\to V_{i}AV_{i}^{*}}$ полностью положительна, а сумма (по ${\displaystyle i}$) вполне положительных операторов снова полностью положительна. Таким образом ${\displaystyle \Phi }$ полностью положительный, желаемый результат.

Вышеизложенное, по сути, является оригинальным доказательством Чоя. Известны и альтернативные доказательства.

Последствия

Операторы Крауса

В контексте квантовая теория информации, операторы {V_я} называются Операторы Крауса (после Карл Краус ) функции Φ. Обратите внимание, что при полностью положительном Φ его операторы Крауса не обязательно должны быть единственными. Например, любая факторизация "квадратного корня" матрицы Чоя C_Φ = B^∗B дает набор операторов Крауса. (Уведомление B не обязательно быть единственным положительным квадратный корень матрицы Чоя.)

Позволять

${\displaystyle B^{*}=[b_{1},\ldots ,b_{nm}],}$

куда б_я* - векторы-строки B, тогда

${\displaystyle C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}b_{i}b_{i}^{*}.}$

Соответствующие операторы Крауса могут быть получены точно так же, как при доказательстве.

Когда операторы Крауса получаются из разложения по собственным векторам матрицы Чоя, поскольку собственные векторы образуют ортогональный набор, соответствующие операторы Крауса также ортогональны в Гильберта-Шмидта внутренний продукт. В общем случае это неверно для операторов Крауса, полученных из факторизации квадратного корня. (Положительные полуопределенные матрицы обычно не имеют уникальной факторизации квадратного корня.)

Если два набора операторов Крауса {А_я}₁^нм и {B_я}₁^нм представляют собой то же вполне положительное отображение Φ, то существует унитарное оператор матрица

${\displaystyle \{U_{ij}\}_{ij}\in \mathbb {C} ^{nm^{2}\times nm^{2}}\quad {\text{such that}}\quad A_{i}=\sum _{j=1}U_{ij}B_{j}.}$

Это можно рассматривать как частный случай результата, относящегося к двум минимальные представления Stinespring.

Как вариант, есть изометрия скаляр matrix {ты_ij}_ij ∈ C^{нм × нм} такой, что

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}u_{ij}B_{j}.}$

Это следует из того, что для двух квадратных матриц M и N, М М * = N N * если и только если M = N U для какого-то унитарного U.

Полностью копозитивные карты

Из теоремы Чоя немедленно следует, что Φ полностью копозитивно тогда и только тогда, когда оно имеет вид

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i}V_{i}A^{T}V_{i}^{*}.}$

Карты с сохранением эрмитов

Технику Чоя можно использовать для получения аналогичного результата для более общего класса карт. Φ называется сохраняющим эрмит, если А эрмитово влечет Φ (А) также является эрмитовым. Можно показать, что Φ сохраняет эрмит, если и только если он имеет вид

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}V_{i}AV_{i}^{*}}$

где λ_я - действительные числа, собственные значения C_Φ, и каждый V_я соответствует собственному вектору C_Φ. В отличие от полностью положительного случая, C_Φ может не быть положительным. Поскольку эрмитовы матрицы не допускают факторизации вида B * B вообще говоря, представление Крауса больше невозможно для данного Φ.

Смотрите также

• Теорема факторизации Стайнспринга
• Квантовая операция
• Теорема Холево

Рекомендации

• М.-Д. Чой, Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах, Линейная алгебра и ее приложения, 10, 285–290 (1975).
• Белавкин В. П., Сташевский П., Теорема Радона-Никодима для вполне положительных отображений, Сообщения по математической физике, т.24, № 1, 49–55 (1986).
• Дж. Де Пиллис, Линейные преобразования, сохраняющие эрмитовы и положительно полуопределенные операторы, Тихоокеанский математический журнал, 23, 129–137 (1967).