Теорема Холевоса - Holevos theorem

Теорема Холево является важной предельной теоремой в квантовые вычисления, междисциплинарная область физика и Информатика. Иногда его называют Граница Холево, поскольку он устанавливает верхняя граница к количеству информации, которую можно узнать о квантовое состояние (доступная информация). Это было опубликовано Александр Холево в 1973 г.

Доступная информация

Что касается нескольких концепций квантовой теории информации, доступная информация лучше всего понимается в терминах двустороннего взаимодействия. Итак, мы представляем две стороны, Алиса и Боб. Алиса имеет классический случайная переменная Икс, которые могут принимать значения {1, 2, ..., п} с соответствующими вероятностями {п₁, п₂, ..., п_п}. Затем Алиса готовит квантовое состояние в лице матрица плотности ρ_Икс выбран из множества {ρ₁, ρ₂, ... ρ_п} и передает это состояние Бобу. Цель Боба - найти значение Икс, и для этого он выполняет измерение о состоянии ρ_Икс, получая классический результат, который обозначим Y. В этом контексте количество доступной информации, то есть количество информации, которую Боб может получить о переменной Икс, - максимальное значение взаимная информация я(Икс : Y) между случайными величинами Икс и Y по всем возможным измерениям, которые может сделать Боб.^[1]

В настоящее время нет известной формулы для вычисления доступной информации. Однако существует несколько оценок сверху, наиболее известной из которых является оценка Холево, которая указана в следующей теореме.^[1]

Формулировка теоремы

Позволять {ρ₁, ρ₂, ..., ρ_п} - набор смешанных состояний и пусть ρ_Икс быть одним из этих состояний, нарисованных согласно распределению вероятностей п = {п₁, п₂, ..., п_п}.

Тогда для любого измерения, описанного POVM elements {E_Y} и выполнен ${ Displaystyle rho = сумма _ {X} p_ {X} rho _ {X}}$ , количество доступной информации о переменной Икс зная результат Y измерения ограничено сверху следующим образом:

{ Displaystyle I (X: Y) leq S ( rho) - sum _ {i} p_ {i} S ( rho _ {i})}

куда ${ displaystyle rho = sum _ {i} p_ {i} rho _ {i}}$ и ${ Displaystyle S ( cdot)}$ это энтропия фон Неймана.

Величина в правой части этого неравенства называется величиной Информация Holevo или же Холево χ количество:

{ displaystyle chi: = S ( rho) - sum _ {i} p_ {i} S ( rho _ {i})}

.

Доказательство

Доказательство может быть дано с использованием трех квантовых систем, называемых ${ Displaystyle P, Q, M}$ . ${ displaystyle P}$ можно интуитивно представить как подготовка, ${ displaystyle Q}$ можно представить себе как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, и ${ displaystyle M}$ можно рассматривать как измерительный прибор Боба.

Составная система ${ displaystyle P otimes Q otimes M}$ в начале находится в состоянии

{ displaystyle rho ^ {PQM}: = sum _ {x} p_ {x} | x rangle langle x | otimes rho _ {x} otimes | 0 rangle langle 0 |}

Состояние Алисы ${ displaystyle P}$ можно представить себе как Алису, имеющую значение ${ displaystyle x}$ для случайной величины ${ displaystyle X}$ . Тогда состояние подготовки это смешанное состояние описанный матрица плотности ${ displaystyle sum _ {x} p_ {x} | x rangle langle x |}$ , а квантовое состояние, данное Бобу, есть ${ Displaystyle сумма _ {х} р_ {х} ро _ {х}}$ , и Боба измерительная аппаратура находится в его исходный или же отдых государственный ${ displaystyle | 0 rangle}$ .Использование известных результатов квантовой теории информации.^{[требуется разъяснение ]} можно показать, что

{ Displaystyle S (P '; M') leq S (P; Q)}

что после некоторых алгебраических манипуляций можно показать, что оно эквивалентно формулировке теоремы.^[1]

Комментарии и замечания

По сути, оценка Холево доказывает, что с учетом п кубиты, хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации (благодаря квантовой суперпозиции), количество классической информации, которая может быть извлечен, т.е. доступ, может быть только до п классический (неквантовая кодировка) биты. Это удивительно по двум причинам: (1) квантовые вычисления так часто оказываются более мощными, чем классические вычисления, что результаты, которые показывают, что они настолько хороши или уступают общепринятым методам, являются необычными, и (2) потому что для этого требуется ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$ сложные числа для кодирования кубитов, которые представляют собой простой п биты.

Сноски

^ ^а ^б ^c Нильсен и Чуанг (2000)

Смотрите также

Сверхплотное кодирование