Аффинное многообразие - Affine manifold

Эта статья о многообразиях, карты переходов которых аффинные преобразования. Не путать с коллекторами встроенный в реальном аффинное пространство.

В дифференциальная геометрия, аффинное многообразие это дифференцируемое многообразие оснащен плоский, без кручения связь.

Эквивалентно, это многообразие, которое (если связано) покрытый открытым подмножеством ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, с монодромия действуя аффинные преобразования. Эта эквивалентность является простым следствием Теорема Картана – Амброуза – Хикса..

Точно так же это многообразие, снабженное атласом, называемым аффинная структура—Такие, что все функции перехода между графики находятся аффинные преобразования (то есть иметь постоянную матрицу якобиана);^[1] два атласа эквивалентны, если многообразие допускает атлас, подчиненный обоим, причем переходы от обоих атласов к меньшему атласу являются аффинными. Многообразие с выделенной аффинной структурой называется аффинное многообразие а карты, которые аффинно связаны с картами аффинной структуры, называются аффинные диаграммы. В каждой аффинной координатной области координата векторные поля сформировать распараллеливание этого домена, поэтому в каждом домене есть связанное соединение. Эти локально определенные соединения одинаковы для перекрывающихся частей, поэтому существует уникальное соединение, связанное с аффинной структурой. Обратите внимание, что есть связь между линейный связь (также называемый аффинная связь ) и сеть.

Формальное определение

An аффинное многообразие ${\displaystyle M\,}$ настоящий многообразие с графиками ${\displaystyle \psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ такой, что ${\displaystyle \psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ для всех ${\displaystyle i,j\,,}$ куда ${\displaystyle \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ обозначает Группа Ли аффинных преобразований. В более красивых словах это (G, X) -многообразие куда ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle G}$ - группа аффинных преобразований.

Аффинное многообразие называется полный если это универсальное покрытие является гомеоморфный к ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$.

В случае компактного аффинного многообразия ${\displaystyle M}$, позволять ${\displaystyle G}$ быть фундаментальная группа из ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ быть его универсальный чехол. Можно показать, что каждый ${\displaystyle n}$-мерное аффинное многообразие имеет развивающееся отображение ${\displaystyle D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}}$, а гомоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$, так что ${\displaystyle D}$ является погружение и эквивариантна относительно ${\displaystyle \varphi }$.

А фундаментальная группа компактного полного плоского аффинного многообразия называется аффинный кристаллографическая группа. Классификация аффинных кристаллографических групп - задача трудная, далеко не решенная. В Римановы кристаллографические группы (также известен как Группы Бибербаха ) были классифицированы Людвиг Бибербах, отвечая на вопрос, заданный Дэвид Гильберт. В своей работе над 18-я проблема Гильберта, Бибербах доказал что любая риманова кристаллографическая группа содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Важные давние догадки

Геометрия аффинных многообразий - это, по сути, сеть давних предположений; большинство из них доказано в малых размерностях и некоторых других частных случаях.

Наиболее важные из них:

• Гипотеза Маркуса (1961) утверждают, что компактное аффинное многообразие полно тогда и только тогда, когда оно имеет постоянный объем.^[2] Известен в размерности 3.
• Гипотеза ауслендеров (1964)^[3][4] утверждая, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическая подгруппа конечных индекс. Известны размерами до 6,^[5] и когда голономия плоской связности сохраняет Метрика Лоренца.^[6] Поскольку каждая практически полициклическая кристаллографическая группа сохраняет форму объема, из гипотезы Ауслендера следует часть гипотезы Маркуса «только если».^[7]
• Гипотеза Черна (1955) Класс Эйлера аффинного многообразия обращается в нуль.^[8]

Примечания

1. Bishop, R.L .; Гольдберг, С.И. (1968), стр. 223–224.
2. Хирш М. и Терстон В., "Слоенные расслоения, инвариантные меры и плоские многообразия". Анна. Математика. (2) 101, (1975) 369–390.
3. Ауслендер Л., "Строение локально полных аффинных многообразий", Топология 3 (1964), 131–139.
4. Фрид Д. и Гольдман В. "Трехмерные аффинные кристаллографические группы". Adv. Математика. 47 (1983), 1–49.
5. Х. Абельс, Г. А. Маргулис, Г. А. Сойфер, «О замыкании по Зарисскому линейной части собственно разрывной группы аффинных преобразований», J. Differential Geom., 60 (2002), 315344.
6. Уильям М. Гольдман и Ёсинобу Камишима, Фундаментальная группа компактной плоской пространственной формы Лоренца практически полициклическая, J. Дифференциальная геометрия. Том 19, номер 1 (1984)
7. Герберт Абельс, "Собственно разрывные группы аффинных преобразований: обзор", Геом. Dedicata, 87, 309–333 (2001).
8. Костант Б., Салливан Д., «Эйлерова характеристика аффинной пространственной формы равна нулю», Бык. Амер. Математика. Soc. 81 (1975), нет. 5, 937–938.

Рекомендации

• Номидзу, К.; Сасаки, С. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-44177-3
• Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94732-9.
• Бишоп, Р.; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6