Распараллеливание (математика) - Parallelization (mathematics)

В математика, а распараллеливание^[1] из многообразие ${\displaystyle M\,}$ измерения п это набор п Глобальный линейно независимый векторные поля.

Формальное определение

Учитывая многообразие ${\displaystyle M\,}$ измерения п, а распараллеливание из ${\displaystyle M\,}$ это набор ${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ из п векторные поля, определенные на все из ${\displaystyle M\,}$ так что для каждого ${\displaystyle p\in M\,}$ набор ${\displaystyle \{X_{1}(p),\dots ,X_{n}(p)\}}$ это основа из ${\displaystyle T_{p}M\,}$, куда ${\displaystyle T_{p}M\,}$ обозначает слой над ${\displaystyle p\,}$ из касательное векторное расслоение ${\displaystyle TM\,}$.

Многообразие называется распараллеливаемый всякий раз, когда он допускает распараллеливание.

Примеры

• Каждый Группа Ли это параллелизируемое многообразие.
• Продукт параллелизуемого коллекторы распараллеливается.
• Каждый аффинное пространство, рассматриваемое как многообразие, распараллеливается.

Характеристики

Предложение. Многообразие ${\displaystyle M\,}$ распараллеливаема тогда и только тогда, когда существует диффеоморфизм ${\displaystyle \phi \colon TM\longrightarrow M\times {\mathbb {R} ^{n}}\,}$ так что первая проекция ${\displaystyle \phi \,}$ является ${\displaystyle \tau _{M}\colon TM\longrightarrow M\,}$ и для каждого ${\displaystyle p\in M\,}$ второй фактор - ограничен ${\displaystyle T_{p}M\,}$- линейная карта ${\displaystyle \phi _{p}\colon T_{p}M\rightarrow {\mathbb {R} ^{n}}\,}$.

Другими словами, ${\displaystyle M\,}$ распараллеливаема тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \tau _{M}\colon TM\longrightarrow M\,}$ это тривиальный пучок. Например, предположим, что ${\displaystyle M\,}$ является открытое подмножество из ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}\,}$, т.е. открытое подмногообразие в ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}\,}$. потом ${\displaystyle TM\,}$ равно ${\displaystyle M\times {\mathbb {R} ^{n}}\,}$, и ${\displaystyle M\,}$ явно распараллеливается.^[2]

Смотрите также

• Схема (топология)
• Дифференцируемое многообразие
• Комплект кадров
• Пакет ортонормированных кадров
• Основной пакет
• Связь (математика)
• G-структура
• Web (дифференциальная геометрия)

Примечания

1. Епископ и Голдберг (1968), п. 160
2. Милнор и Сташефф (1974), п. 15.

Рекомендации

• Бишоп, Р.; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Milnor, J.W .; Сташеф, Дж. (1974), Характерные классы, Princeton University Press