Аффилированный оператор - Affiliated operator

В математика, аффилированные операторы были представлены Мюррей и фон Нейман в теории алгебры фон Неймана как техника использования неограниченные операторы изучать модули, порожденные одним вектором. Потом Атья и Певица показало, что индексные теоремы за эллиптические операторы на закрытые коллекторы с бесконечным фундаментальная группа естественно выразить в терминах неограниченных операторов, связанных с алгеброй фон Неймана группы. Алгебраические свойства аффилированных операторов оказались важными в L² когомология, область между анализ и геометрия которые возникли в результате изучения таких теорем об индексе.

Определение

Позволять M быть алгебра фон Неймана действуя на Гильбертово пространство ЧАС. А закрыто и плотно определенный оператор А как говорят аффилированный с M если А ездит с каждым унитарный оператор U в коммутант из M. Эквивалентными условиями являются следующие:

каждый унитарный U в M ' должен оставить инвариантным граф А определяется ${displaystyle G (A) = {(x, Ax): xin D (A)} подэтап Hoplus H}$ .
проекция на грамм(А) должен лежать в M₂(M).
каждый унитарный U в M ' должен нести D(А), домен из А, на себя и удовлетворить UAU * = A там.
каждый унитарный U в M ' должен коммутировать с обоими операторами в полярное разложение из А.

Последнее условие следует из единственности полярного разложения. Если А имеет полярное разложение

{displaystyle A = V | A | ,,}

он говорит, что частичная изометрия V должен лежать в M и что положительный самосопряженный оператор | A | должен быть связан с M. Однако по спектральная теорема положительный самосопряженный оператор коммутирует с унитарным тогда и только тогда, когда каждая его спектральная проекция ${displaystyle E ([0, N])}$ делает. Это дает еще одно эквивалентное условие:

каждая спектральная проекция |А| и частичная изометрия в полярном разложении А лежит в M.

Измеримые операторы

В общем случае операторы, связанные с алгеброй фон Неймана M не обязательно хорошо себя вести ни при добавлении, ни при композиции. Однако при наличии точного полуконечного нормального следа τ и стандартного Гельфанд – Наймарк – Сегал действие M на ЧАС = L²(M, τ), Эдвард Нельсон доказал, что измеримый аффилированные операторы формируют *-алгебра с хорошими свойствами: это такие операторы, что τ (я − E([0,N])) <∞ для N достаточно большой. Эта алгебра неограниченных операторов является полной для естественной топологии, обобщая понятие сходимость по мере.Он содержит все некоммутативные L^п пространства, определяемые следом, и был введен для облегчения их изучения.

Эта теория может быть применена, когда алгебра фон Неймана M является тип I или же тип II. Когда M = B(ЧАС) действующий в гильбертовом пространстве L²(ЧАС) из Операторы Гильберта – Шмидта, это дает известную теорию некоммутативных L^п пробелы L^п (ЧАС) из-за Schatten и фон Нейман.

Когда M кроме того конечный алгебра фон Неймана, например тип II₁ фактор, то каждый аффилированный оператор поддается измерению автоматически, поэтому аффилированные операторы образуют *-алгебра, как первоначально отмечалось в первой статье Мюррей и фон Нейман. В этом случае M это регулярное кольцо фон Неймана: для закрытия изображения | A | имеет измеримую обратную B а потом Т = BV^* определяет измеримый оператор с ATA = А. Конечно, в классическом случае, когда Икс является вероятностным пространством и M = L^∞ (Икс), мы просто восстанавливаем * -алгебру измеримых функций на Икс.

Однако если M является тип III, теория принимает совершенно иную форму. Ведь в этом случае благодаря Теория Томиты – Такесаки, известно, что некоммутативная L^п пространства больше не реализуются операторами, связанными с алгеброй фон Неймана. В качестве Конн показал, эти пространства могут быть реализованы в виде неограниченных операторов только с помощью некоторой положительной мощности модульного оператора эталонного. Вместо того, чтобы характеризоваться простым отношением принадлежности UAU^* = А, существует более сложное бимодульное отношение, включающее аналитическое продолжение группы модулярных автоморфизмов.

Аффилированный оператор - Affiliated operator

Определение

Измеримые операторы

Рекомендации