Неравенство Юнга для продуктов - Youngs inequality for products

В математика, Неравенство Юнга для продуктов это математическое неравенство о произведении двух чисел.^[1] Неравенство названо в честь Уильям Генри Янг и не следует путать с Неравенство свертки Юнга.

Неравенство Юнга для продуктов можно использовать для доказательства Неравенство Гёльдера. Он также широко используется для оценки нормы нелинейных членов в Теория PDE, поскольку он позволяет оценить произведение двух членов на сумму тех же членов, возведенных в степень и масштабированных.

Стандартная версия для сопряженных показателей Гёльдера

Стандартная форма неравенства следующая:

Теорема — Если а и б находятся неотрицательный действительные числа и п и q - действительные числа больше 1, такие что 1 /п + 1/q = 1, тогда

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}~.}$

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда а^п = б^q.

Эту форму неравенства Юнга можно доказать с помощью Неравенство Дженсена и может быть использован для доказательства Неравенство Гёльдера.

Доказательство —

Утверждение, безусловно, верно, если а = 0 или же б = 0. Поэтому предположим а > 0 и б > 0 В следующих. Положить т = 1/п, и (1 − т) = 1/q. Тогда, поскольку логарифм функция вогнутый,

${\displaystyle \ln(ta^{p}+(1-t)b^{q})\geq t\ln(a^{p})+(1-t)\ln(b^{q})=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)}$

с равенством, имеющимся тогда и только тогда, когда а^п = б^q. Неравенство Юнга следует возведением в степень.

Неравенство Юнга можно эквивалентно записать как

${\displaystyle a^{\alpha }b^{\beta }\leq \alpha a+\beta b,\qquad \,0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \ \alpha +\beta =1~.}$

Где это просто вогнутость логарифм функция. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = б или же ${\displaystyle \{\alpha ,\beta \}=\{0,1\}}$.

Обобщения

Теорема^[2] — Предполагать а > 0 и б > 0. Если 1 < п < ∞ и q := п/п - 1 тогда

ab = мин0 < т < ∞ т ^п а ^п/п + т ^{- q} б ^q/q.

Обратите внимание, что, позволяя т = 1 и замена а (соотв. б) с а^1/п (соотв. б^1/q), мы получаем

а^1/п б^1/q ≤ а/п + б/q

что полезно для доказательства Неравенство Гёльдера.

Доказательство^[2] —

Определите функцию с действительным знаком ж на положительные действительные числа на

ж (т) := т ^п а ^п/п + т ^-q б ^q/q

для каждого т > 0 а затем вычислить его минимум.

Теорема — :${\displaystyle \prod _{i}{a_{i}}^{\alpha _{i}}\leq \sum _{i}\alpha _{i}a_{i},\quad 0\leq \alpha _{i}\leq 1,\quad \ \sum _{i}\alpha _{i}=1~.}$Равенство выполняется тогда и только тогда, когда все ${\displaystyle a_{i}}$s с ненулевым ${\displaystyle \alpha _{i}}$s равны.

Элементарный случай

Элементарным случаем неравенства Юнга является неравенство с показатель степени 2,

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}},}$

что также приводит к так называемому неравенству Юнга с ε (действительно для каждого ε > 0), иногда называемое неравенством Петра – Павла.^[3] Это название относится к тому факту, что более жесткий контроль над вторым термином достигается за счет потери некоторого контроля над первым термином - нужно «ограбить Питера, чтобы заплатить Полу»

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2\varepsilon }}+{\frac {\varepsilon b^{2}}{2}}.}$

Доказательство

Неравенство Юнга с показателем 2 является частным случаем п = q = 2. Однако есть более элементарное доказательство.

Начните с наблюдения, что квадрат каждого действительного числа равен нулю или положителен. Следовательно, для каждой пары действительных чисел а и б мы можем написать:

${\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}}$

Составьте квадрат правой части:

${\displaystyle 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}}$

Добавьте "2ab" с обеих сторон:

${\displaystyle 2ab\leq a^{2}+b^{2}}$

Разделим обе части на 2, и мы получим неравенство Юнга с показателем 2:

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}}$

Неравенство Юнга с ε следует путем замены ${\displaystyle a'}$ и ${\displaystyle b'}$ как показано ниже, в неравенство Юнга с показателем 2:

${\displaystyle a'=a/{\sqrt {\varepsilon }},{\text{ }}b'={\sqrt {\varepsilon }}b.}$

Матричное обобщение

Т. Андо доказал обобщение неравенства Юнга для комплексных матриц, упорядоченных по формуле Заказ Loewner.^[4] В нем говорится, что для любой пары А, B комплексных матриц порядка п существует унитарная матрица U такой, что

${\displaystyle U^{*}|AB^{*}|U\preceq {\frac {1}{p}}|A|^{p}+{\frac {1}{q}}|B|^{q},}$

где * обозначает сопряженный транспонировать матрицы и ${\displaystyle |A|={\sqrt {A^{*}A}}}$.

Стандартная версия для увеличения функций

Площадь прямоугольника a, b не может быть больше суммы площадей под функциями ${\displaystyle f}$ (красный) и ${\displaystyle f^{-1}}$ (желтый)

Для стандартной версии^[5][6] неравенства, пусть ж обозначают действительную, непрерывную и строго возрастающую функцию на [0,c] с c > 0 и ж(0) = 0. Пусть ж⁻¹ обозначить обратная функция изж. Тогда для всех а ∈ [0, c] и б ∈ [0, ж(c)],

${\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx}$

с равенством тогда и только тогда, когда б = ж(а).

С ${\displaystyle f(x)=x^{p-1}}$ и ${\displaystyle f^{-1}(y)=y^{q-1}}$, это сводится к стандартной версии для сопряженных показателей Гёльдера.

Подробности и обобщения см. В статье Митроя и Никулеску. ^[7].

Обобщение с использованием преобразований Фенхеля – Лежандра.

Если ж это выпуклая функция и это Превращение Лежандра (выпуклый сопряженный ) обозначается грамм, тогда

${\displaystyle ab\leq f(a)+g(b).}$

Это сразу следует из определения преобразования Лежандра.

В более общем смысле, если ж это выпуклая функция определены в реальном векторном пространстве ${\displaystyle X}$ и это выпуклый сопряженный обозначается ${\displaystyle f^{\star }}$ (и определяется на двойное пространство ${\displaystyle X^{\star }}$), тогда

${\displaystyle \langle u,v\rangle \leq f^{\star }(u)+f(v).}$

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{\star }\times X\to \mathbb {R} }$ это двойное соединение.

Примеры

• Преобразование Лежандра ж(а) = а^п/п является грамм(б) = б^q/q с q такой, что 1 /п + 1/q = 1, поэтому упомянутое выше неравенство Юнга для сопряженных показателей Гёльдера является частным случаем.
• Преобразование Лежандра ж(а) = е^а - 1 это грамм(б) = 1 − б + б пер б, следовательно ab ≤ e^а − б + б перб для всех неотрицательных а и б. Эта оценка полезна в теория больших отклонений в условиях экспоненциального момента, поскольку б пер б появляется в определении относительная энтропия, какой функция оценки в Теорема Санова.

Смотрите также

• Выпуклый конъюгат
• Интеграл от обратных функций
• Превращение Лежандра

Примечания

1. Янг, В. Х. (1912 г.), «О классах суммируемых функций и их рядах Фурье», Труды Королевского общества А, 87 (594): 225–229, Дои:10.1098 / RSPA.1912.0076, JFM  43.1114.12, JSTOR  93236
2. Ярхов 1981 С. 47-55.
3. Тисделл, Крис (2013), Неравенство Питера Павла, YouTube-видео на YouTube-канале доктора Криса Тисделла,
4. Т. Андо (1995). «Матрица юношеских неравенств». In Huijsmans, C. B .; Kaashoek, M. A .; Люксембург, В. А. Дж .; и другие. (ред.). Теория операторов в функциональных пространствах и банаховых решетках. Springer. С. 33–38. ISBN  978-3-0348-9076-2.
5. Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э.; Поля, Г. (1952) [1934], Неравенства, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-05206-8, МИСТЕР  0046395, Zbl  0047.05302, Глава 4.8
6. Хенсток, Ральф (1988), Лекции по теории интеграции, Series in Real Analysis Volume I, Singapore, New Jersey: World Scientific, ISBN  9971-5-0450-2, МИСТЕР  0963249, Zbl  0668.28001, Теорема 2.9
7. Митрой, Ф. К., и Никулеску, К. П. (2011). Расширение неравенства Юнга. В абстрактном и прикладном анализе (том 2011). Хиндави.

Рекомендации

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Тюбнер. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.

внешняя ссылка

• Неравенство Юнга в PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Юнга». MathWorld.