Заказ Loewner - Loewner order
В математике Loewner порядок это частичный порядок, определяемый выпуклым конусом из положительные полуопределенные матрицы. Этот порядок обычно используется для обобщения определений монотонных и вогнутых / выпуклых скалярных функций на монотонные и вогнутые / выпуклые эрмитовозначные функции. Эти функции естественным образом возникают в теории матриц и операторов и имеют приложения во многих областях физики и техники.
Определение
Позволять А и B быть двумя Эрмитовы матрицы порядка п. Мы говорим что А ≥ В если А − B является положительный полуопределенный. Аналогично мы говорим, что А> В если А − B является положительно определенный.
Характеристики
Когда А и B являются действительными скалярами (т.е. п = 1) порядок Лёвнера сводится к обычному порядку р. Хотя некоторые знакомые свойства обычного порядка р также действительны, когда п ≥ 2, некоторые свойства больше недействительны. Например, сопоставимость из двух матриц могут быть недействительными. Фактически, если и тогда ни А ≥ B или же B ≥ А Справедливо.
Более того, поскольку А и B являются эрмитовыми матрицами, их собственные значения все являются действительными числами. λ1(B) - максимальное собственное значение B и λп(А) минимальное собственное значение А, достаточный критерий, чтобы иметь А ≥ B в том, что λп(А) ≥ λ1(B). Если А или же B кратно единичная матрица, то этот критерий тоже необходим.
Приказ Лёвнера делает нет иметь свойство с наименьшей верхней границей, и поэтому не образует решетка.
Смотрите также
Рекомендации
- Пукельсхайм, Фридрих (2006). Оптимальный план экспериментов. Общество промышленной и прикладной математики. С. 11–12. ISBN 9780898716047.
- Бхатия, Раджендра (1997). Матричный анализ. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9781461206538.
- Чжан, Синчжи (2002). Матричные неравенства. Берлин: Springer. С. 1–15. ISBN 9783540437987.