Унипотентный - Unipotent

Эта статья про алгебраический термин. Для биологической клетки, способной развиваться только в один тип клеток, см. Клеточная потенция § Унипотентность.

В математика, а унипотентный элемент р из звенеть р один такой, что р - 1 - это нильпотентный элемент; другими словами, (р − 1)^п равен нулю для некоторых п.

В частности, квадратная матрица, M, это унипотентная матрица, тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен, п(т), является степенью т - 1. Таким образом, все собственные значения унипотентной матрицы равны 1.

Период, термин квазиунипотентный означает, что некоторая власть односторонна, например, для диагонализуемая матрица с собственные значения это все корни единства.

В унипотентная аффинная алгебраическая группа, все элементы унипотентны (см. ниже определение элемента, являющегося унипотентным в такой группе).

Определение

Определение с матрицами

Рассмотрим группу ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ верхнетреугольных матриц с ${\displaystyle 1}$ на диагонали, значит, это группа матриц^[1]

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{A={\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}|\det(A)\neq 0\right\}}$

затем унипотентная группа можно определить как подгруппу некоторых ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$. С помощью теория схем группа ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ можно определить как групповую схему

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

а аффинная групповая схема унипотентна, если она является замкнутой групповой схемой этой схемы.

Определение с теорией колец

Элемент, Икс, аффинного алгебраическая группа унипотентен, когда связанный с ним правый оператор перевода, р_Икс, на аффинное координатное кольцо А[грамм] из грамм локально унипотентна как элемент кольца линейного эндоморфизма А[грамм]. (Локально унипотентность означает, что ее ограничение на любое конечномерное стабильное подпространство А[грамм] унипотентен в обычном кольцевом смысле.)

Аффинная алгебраическая группа называется всесильный если все его элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа является изоморфный к замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и, наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентная группа, хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GL_п(k)).

Например, стандартное представление ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ на ${\displaystyle k^{n}}$ со стандартной базой ${\displaystyle e_{i}}$ имеет фиксированный вектор ${\displaystyle e_{1}}$.

Определение с теорией представлений

Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии, все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно в конечномерном векторном пространстве, то у нее есть ненулевой фиксированный вектор. Фактически последнее свойство характеризует унипотентные группы.^[1] В частности, это означает, что нет нетривиальных полупростые представления.

Примеры

U_п

Конечно, группа матриц ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ односторонен. С использованием Нижняя Центральная серия

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

куда

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{1},\mathbb {U} _{1}]}$ и ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{1},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

есть ассоциированные унипотентные группы. Например, на ${\displaystyle n=4}$, центральный ряд - это матричные группы

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, и ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

даны некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.

грамм_а^п

Аддитивная группа ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ является унипотентной групповой группой благодаря вложению

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что умножение матриц дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

следовательно, это групповое вложение. В более общем смысле есть вложение ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$ с карты

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Используя теорию схем, ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ дается функтором

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\text{Sch}}^{op}\to {\text{Sets}}}$

куда

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Ядро Фробениуса

Рассмотрим функтор ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ в подкатегории ${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$, есть подфунктор ${\displaystyle \alpha _{p}}$ куда

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

поэтому он задается ядром Эндоморфизм Фробениуса.

Классификация унипотентных групп над характеристикой 0

Сверх характеристики ${\displaystyle 0}$ существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентные алгебры Ли. Напомним, что нильпотентная алгебра Ли - это подалгебра некоторой ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ таким образом, что повторное сопряженное действие в конечном итоге завершается нулевым отображением. В терминах матриц это означает, что это подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$, матрицы с ${\displaystyle a_{ij}=0}$ за ${\displaystyle i\leq j}$.

Тогда существует эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп^{[1]стр. 261}. Это можно построить с помощью Ряд Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа ${\displaystyle H(X,Y)}$, где для конечномерной нильпотентной алгебры Ли отображение

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}$

дает структуру унипотентной алгебраической группы на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

В другом направлении экспоненциальная карта переводит любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную матрицу. Более того, если U коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм алгебры Ли U к U сам.

Замечания

Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любого заданного измерения в принципе могут быть классифицированы, но на практике сложность классификации очень быстро возрастает с увеличением размера, поэтому люди^{[ВОЗ? ]} склонны сдаваться где-то около измерения 6.

Унипотентный радикал

В унипотентный радикал из алгебраическая группа грамм набор унипотентных элементов в радикальный из грамм. Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы грамм, и содержит все другие такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если грамм редуктивно, то его радикал - тор.

Разложение алгебраических групп

Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия, но утверждение о том, как они распадаются, зависит от характеристики их базового поля.

Характеристика 0

Сверх характеристики ${\displaystyle 0}$ есть хорошая теорема о разложении алгебраической группы ${\displaystyle G}$ связывая его структуру со структурой линейная алгебраическая группа и Абелева разновидность. Есть краткая точная последовательность групп^{[2]стр. 8}

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

куда ${\displaystyle A}$ - абелева разновидность, ${\displaystyle M}$ имеет мультипликативный тип, значение и ${\displaystyle U}$ - унипотентная группа.

Характеристика p

Когда характеристика основного поля равна ${\displaystyle p}$ есть аналогичное заявление^[2] для алгебраической группы ${\displaystyle G}$: существует наименьшая подгруппа ${\displaystyle H}$ такой, что

1. ${\displaystyle G/H}$ унипотентная группа
2. ${\displaystyle H}$ является расширением абелевого многообразия ${\displaystyle A}$ группой ${\displaystyle M}$ мультипликативного типа.
3. ${\displaystyle M}$ уникален до Соизмеримость в ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle A}$ уникален до Изогения.

Разложение Жордана

Основная статья: Разложение Жордана – Шевалле

Любой элемент грамм линейной алгебраической группы над идеальное поле можно записать однозначно как произведение грамм = грамм_тыграмм_s коммутирующих унипотентных и полупростой элементы грамм_ты и грамм_s. В случае группы GL_п(C), по сути, это говорит о том, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена с произведением диагональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативной версией Разложение Жордана – Шевалле.

Существует также вариант разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над идеальное поле является произведением унипотентной группы и полупростой группы.

Смотрите также

• Редуктивная группа
• Унипотентное представительство
• Теория Делиня – Люстига

Рекомендации

1. Милн, Дж. С. Линейные алгебраические группы (PDF). С. 252–253, Унипотентные алгебраические группы.
2. Брион, Мишель (27.09.2016). «Коммутативные алгебраические группы с точностью до изогении». arXiv:1602.00222 [math.AG ].

• А. Борель, Линейные алгебраические группы, ISBN  0-387-97370-2
• Борель, Арман (1956 г.), "Groupes linéaires algébriques", Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, 64 (1): 20–82, Дои:10.2307/1969949, JSTOR  1969949
• Попов, В. (2001) [1994], "унипотентный элемент", Энциклопедия математики, EMS Press
• Попов, В. (2001) [1994], "унипотентная группа", Энциклопедия математики, EMS Press
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «унипотентная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press