Transseries - Transseries

В математике поле ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ из логарифмически-экспоненциальные трансерии это неархимедов упорядоченный дифференциальное поле что расширяет сопоставимость асимптотический темпы роста элементарный нетригонометрические функции для гораздо более широкого класса объектов. Каждая транссерия log-exp представляет формальную асимптотику, и ею можно манипулировать формально, а также когда она сходится (или в каждом случае, если используется специальная семантика, например, через бесконечное сюрреалистические числа ), соответствует реальному поведению. Transseries также могут быть удобны для представления функций. Благодаря включению возведения в степень и логарифмов, transseries являются сильным обобщением степенного ряда на бесконечности (${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{x^{n}}}}$) и другие подобные асимптотические разложения.

Поле ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ был введен независимо Даном-Герингом^[1] и Ecalle^[2] в соответствующих контекстах теории моделей или экспоненциальных полей и изучения аналитической сингулярности и доказательства Экаллем гипотез Дюлака. Он представляет собой формальный объект, расширяющий поле экспоненциально-логарифмических функций Харди и поле ускорительно-суммируемых рядов Экалле.

Поле ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ имеет богатую структуру: упорядоченное поле с понятием обобщенных рядов и сумм, с совместимым выводом с выделенным первообразным, совместимыми экспоненциальными и логарифмическими функциями и понятием формальной композиции рядов.

Примеры и контрпримеры

Неформально говоря, транссерии exp-log хорошо обоснованный (т.е. в обратном порядке) формальный Серия Hahn реальных сил положительного бесконечного неопределенного ${\displaystyle x}$, экспоненты, логарифмы и их композиции с действительными коэффициентами. Два важных дополнительных условия заключаются в том, что экспоненциальная и логарифмическая глубина транссерий exp-log ${\displaystyle f,}$ то есть максимальное количество итераций exp и log, происходящих в ${\displaystyle f,}$ должно быть конечным.

Следующие формальные серии являются транссериями log-exp:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}}{n!}}+x^{3}+\log x+\log \log x+\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n}+\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\sum _{j=1}^{\infty }e^{ix^{2}-jx}}.}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {N} }x^{\frac {1}{m+1}}e^{-(\log x)^{n}}.}$

Следующие формальные серии: нет log-exp transseries:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}}$ - этот сериал не обоснован.

${\displaystyle \log x+\log \log x+\log \log \log x+\cdots }$ - логарифмическая глубина этого ряда бесконечна

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots }$ - экспоненциальная и логарифмическая глубины этого ряда бесконечны

Можно определить дифференциальные поля транссерий, содержащих две последние серии, они принадлежат соответственно ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ (см. параграф Использование сюрреалистических чисел ниже).

Вступление

Замечательный факт состоит в том, что асимптотические скорости роста элементарных нетригонометрических функций и даже всех функций, определяемых в теоретико-модельной структуре ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,<,\exp )}$ упорядоченного экспоненциального поля действительных чисел все сопоставимы: Для всех таких ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, у нас есть ${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$ или же ${\displaystyle g\leq _{\infty }f}$, куда ${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$ средства ${\displaystyle \exists x.\forall y>x.f(y)\leq g(y)}$. Класс эквивалентности ${\displaystyle f}$ по отношению ${\displaystyle f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f}$ асимптотика ${\displaystyle f}$, также называемый зародыш из ${\displaystyle f}$ (или зародыш из ${\displaystyle f}$ на бесконечности).

Поле транссерий можно интуитивно рассматривать как формальное обобщение этих темпов роста: в дополнение к элементарным операциям, транссерии закрываются "пределами" для соответствующих последовательностей с ограниченной экспоненциальной и логарифмической глубиной. Однако сложность состоит в том, что темпы роста неАрхимедов и, следовательно, не имеют свойство наименьшей верхней границы. Мы можем решить эту проблему, связав последовательность с наименьшей верхней границей минимальной сложности, аналогично построению сюрреалистических чисел. Например, ${\displaystyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$ связан с ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$ скорее, чем ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$ потому что ${\displaystyle e^{-x}}$ распадается слишком быстро, и если мы отождествляем быстрое затухание со сложностью, оно будет иметь большую сложность, чем необходимо (также, поскольку мы заботимся только об асимптотическом поведении, точечная сходимость не диспозитивна).

Из-за сопоставимости транссерии не включают колебательные темпы роста (например, ${\displaystyle \sin x}$). С другой стороны, есть транссерии, такие как ${\displaystyle \sum \limits _{k\in \mathbb {N} }k!e^{x^{-{\frac {k}{k+1}}}}}$ которые не соответствуют прямо сходящимся рядам или действительным функциям. Еще одно ограничение транссерий состоит в том, что каждая из них ограничена башней экспонент, т.е. конечной итерацией. ${\displaystyle e^{e^{.^{.^{.^{e^{x}}}}}}}$ из ${\displaystyle e^{x}}$, тем самым исключая тетрация и другие трансэкспоненциальные функции, то есть функции, которые растут быстрее, чем любая башня экспонент. Существуют способы построения полей обобщенных транссерий, включая формальные транссекспоненциальные термины, например формальные решения. ${\displaystyle e_{\omega }}$ из Уравнение Абеля ${\displaystyle e^{e_{\omega }(x)}=e_{\omega }(x+1)}$.^[3]

Формальное строительство

Транссерии могут быть определены как формальные (потенциально бесконечные) выражения с правилами, определяющими, какие выражения допустимы, сравнение транссерий, арифметические операции и даже дифференцирование. Соответствующие транссерии можно затем назначить соответствующим функциям или росткам, но есть тонкости, связанные с конвергенцией. Даже различающимся транссериям часто можно осмысленно (и однозначно) присвоить фактические темпы роста (которые согласуются с формальными операциями над транссериями), используя ускоренное суммирование, который является обобщением Суммирование по Борелю.

Транссерии можно формализовать несколькими эквивалентными способами; здесь мы используем один из самых простых.

А transseries это хорошо обоснованная сумма,

${\displaystyle \sum a_{i}m_{i},}$

с конечной экспоненциальной глубиной, где каждый ${\displaystyle a_{i}}$ ненулевое действительное число и ${\displaystyle m_{i}}$ является моническим трансмономом (${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ является трансмономическим, но не моническим, если только коэффициент ${\displaystyle a_{i}=1}$; каждый ${\displaystyle m_{i}}$ отличается; порядок слагаемых не имеет значения).

Сумма может быть бесконечной или трансфинитной; обычно пишется в порядке убывания ${\displaystyle m_{i}}$.

Здесь, хорошо обоснованный означает, что нет бесконечной восходящей последовательности ${\displaystyle m_{i_{1}}<m_{i_{2}}<m_{i_{3}}<\cdots }$ (видеть хороший порядок ).

А монический трансмономический один из 1, Икс, бревно Икс, журнал журнал Икс, ..., е^{purely_large_transseries}.

Примечание: Потому что ${\displaystyle x^{n}=e^{n\log x}}$, мы не включаем его как примитив, но многие авторы делают; без журнала transseries не включают ${\displaystyle \log }$ но ${\displaystyle x^{n}e^{\cdots }}$ разрешено. Кроме того, исключается округлость в определении, потому что purely_large_transseries (см. Выше) будет иметь более низкую экспоненциальную глубину; определение работает путем рекурсии на экспоненциальной глубине. См. «Транссерии Log-exp как итерированный ряд Хана» (ниже), где описана конструкция, использующая ${\displaystyle x^{a}e^{\cdots }}$ и явно разделяет разные этапы.

А чисто большие транссерии непустой транссериал ${\displaystyle \sum a_{i}m_{i}}$ с каждым ${\displaystyle m_{i}>1}$.

Transseries имеют конечная экспоненциальная глубина, где каждый уровень вложенности е или log увеличивает глубину на 1 (поэтому мы не можем Икс + журнал Икс + журнал журнал Икс + ...).

Добавление транссерий осуществляется посрочно: ${\displaystyle \sum a_{i}m_{i}+\sum b_{i}m_{i}=\sum (a_{i}+b_{i})m_{i}}$ (отсутствие члена приравнивается к нулевому коэффициенту).

Сравнение:

Самый значительный срок ${\displaystyle \sum a_{i}m_{i}}$ является ${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ для крупнейших ${\displaystyle m_{i}}$ (поскольку сумма хорошо обоснована, она существует для ненулевых транссерий). ${\displaystyle \sum a_{i}m_{i}}$ положительна, если коэффициент при наиболее значимом члене положителен (поэтому выше мы использовали «чисто большой»). Икс > Y если только Икс − Y положительный.

Сравнение монических трансмономов:

${\displaystyle x=e^{\log x},\log x=e^{\log \log x},\ldots }$ - это единственные равенства в нашей конструкции.

${\displaystyle x>\log x>\log \log x>\cdots >1>0.}$

${\displaystyle e^{a}<e^{b}}$ если только ${\displaystyle a<b}$ (также ${\displaystyle e^{0}=1}$).

Умножение:

${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}$

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)\left(\sum b_{j}y_{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j\,:\,z_{k}=x_{i}y_{j}}a_{i}b_{j}\right)z_{k}.}$

Это, по сути, применяет к продукту закон о распределении товаров; поскольку ряд хорошо обоснован, внутренняя сумма всегда конечна.

Дифференциация:

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)'=\sum a_{i}x_{i}'}$

${\displaystyle 1'=0,x'=1}$

${\displaystyle (e^{y})'=y'e^{y}}$

${\displaystyle (\log y)'=y'/y}$ (деление определяется с помощью умножения).

С этими определениями transseries - это упорядоченное дифференциальное поле. Transseries также является ценное поле, с оценкой ${\displaystyle \nu }$ задаваемый главным моническим трансмономом, и соответствующее асимптотическое соотношение, определенное для ${\displaystyle 0\neq f,g\in \mathbb {T} ^{LE}}$ к ${\displaystyle f\prec g}$ если ${\displaystyle \forall 0<r\in \mathbb {R} ,|f|<r|g|}$ (куда ${\displaystyle |f|=\max(f,-f)}$ - абсолютное значение).

Прочие конструкции

Log-exp transseries как итерированный ряд Хана

Безлоговые транссерии

Сначала определим подполе ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ из ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ так называемых безлоговые транссерии. Это транссерии, исключающие логарифмический член.

Индуктивное определение:

За ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ определим линейно упорядоченную мультипликативную группу мономы ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$. Затем мы позволяем ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ обозначим поле хорошо обоснованный ряд ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{n}]]}$. Это набор карт ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}}$ с хорошо обоснованной (т.е. обратно упорядоченной) опорой, снабженной поточечной суммой и произведением Коши (см. Серия Hahn ). В ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$, выделим (неединичное) подкольцо ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ из чисто большие транссерии, которые представляют собой ряды, носитель которых содержит только одночлены, лежащие строго над ${\displaystyle 1}$.

Мы начинаем с ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }}$ оснащен продуктом ${\displaystyle x^{a}x^{b}:=x^{a+b}}$ и порядок ${\displaystyle x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a<b}$.

Если ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ таково, что ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$, и поэтому ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ и ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ определены, пусть ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ обозначают множество формальных выражений ${\displaystyle x^{a}e^{\theta }}$ куда ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$. Это образует линейно упорядоченную коммутативную группу относительно произведения ${\displaystyle (x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}}$ и лексикографический порядок ${\displaystyle x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}}$ если и только если ${\displaystyle \theta <\theta '}$ или же (${\displaystyle \theta =\theta '}$ и ${\displaystyle a<a'}$).

Естественное включение ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$ дан путем определения ${\displaystyle x^{a}}$ и ${\displaystyle x^{a}e^{0}}$ индуктивно обеспечивает естественное вложение ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$, и, следовательно, естественное вложение ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ в ${\displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$. Затем мы можем определить линейно упорядоченную коммутативную группу ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$ и упорядоченное поле ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$ что является областью безлоговых транссерий.

Поле ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ собственное подполе поля ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$ хорошо обоснованных рядов с действительными коэффициентами и одночленами в ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$. Действительно, каждая серия ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ имеет ограниченную экспоненциальную глубину, то есть наименьшее положительное целое число ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$, а серия

${\displaystyle e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^{e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$

не имеет такой границы.

Возведение в степень ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$:

Поле транссерий без логарифмических данных оснащено экспоненциальной функцией, которая является специфическим морфизмом ${\displaystyle \exp :(\mathbb {T} ^{E},+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )}$. Позволять ${\displaystyle f}$ быть безлоговым транссерией и позволить ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ быть экспоненциальной глубиной ${\displaystyle f}$, так ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$. Написать ${\displaystyle f}$ как сумма ${\displaystyle f=\theta +r+\varepsilon }$ в ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E},}$ куда ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$, ${\displaystyle r}$ это реальное число и ${\displaystyle \varepsilon }$ бесконечно малая (любая из них может быть равна нулю). Тогда формальная сумма Хана

${\displaystyle E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}}$

сходится в ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$, и мы определяем ${\displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$ куда ${\displaystyle \exp(r)}$ - значение действительной экспоненциальной функции при ${\displaystyle r}$.

Правильная композиция с ${\displaystyle e^{x}}$:

Правильная композиция ${\displaystyle \circ _{e^{x}}}$ с серией ${\displaystyle e^{x}}$ индукцией по экспоненциальной глубине можно определить как

${\displaystyle \left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e^{x}:=\sum f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),}$

с ${\displaystyle x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}}$. Индуктивно следует, что одночлены сохраняются ${\displaystyle \circ _{e^{x}},}$ поэтому на каждом шаге индукции суммы хорошо обоснованы и, следовательно, хорошо определены.

Log-exp transseries

Определение:

Функция ${\displaystyle \exp }$ определено выше не на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E,>}}$ поэтому логарифм определен только частично на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$: например сериал ${\displaystyle x}$ не имеет логарифма. Более того, каждая положительная бесконечная безлогарифмическая транс-серия больше некоторой положительной степени ${\displaystyle x}$. Чтобы переехать из ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ к ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$, можно просто "вставить" в переменную ${\displaystyle x}$ формальных повторных логарифмов серий ${\displaystyle \ell _{n},n\in \mathbb {N} }$ который будет вести себя как формальный аналог ${\displaystyle n}$-кратный повторный экспоненциальный член, обозначаемый ${\displaystyle e_{n}}$.

За ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$ позволять ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ обозначают множество формальных выражений ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ куда ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$. Мы превращаем это в упорядоченную группу, определяя ${\displaystyle ({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}}$, и определение ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}}$ когда ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}}$. Мы определяем ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{m,n}]]}$. Если ${\displaystyle n'>n}$ и ${\displaystyle m'\geq m+(n'-n),}$ мы встраиваем ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m',n'}}$ путем идентификации элемента ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ со сроком

${\displaystyle \left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _{n'}.}$

Тогда получаем ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ как направленный союз

${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.}$

На ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ правильная композиция ${\displaystyle \circ _{\ell }}$ с ${\displaystyle \ell }$ естественно определяется

${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

Экспонента и логарифм:

Возведение в степень можно определить на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ аналогично безлоговым транссериям, но и здесь ${\displaystyle \exp }$ имеет ответный ${\displaystyle \log }$ на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>}}$. Действительно, для строго положительного ряда ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}}$, записывать ${\displaystyle f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )}$ куда ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ является доминирующим мономом ${\displaystyle f}$ (самый большой элемент его опоры), ${\displaystyle r}$ - соответствующий положительный действительный коэффициент, а ${\displaystyle \varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}}-1}$ бесконечно мала. Формальная сумма Хана

${\displaystyle L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(-\varepsilon )^{k}}{k+1}}}$

сходится в ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}}$. Написать ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ куда ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$ сам имеет форму ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }}$ куда ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}}$ и ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Мы определяем ${\displaystyle \ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}}$. Мы наконец установили

${\displaystyle \log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

Использование сюрреалистических чисел

Прямое строительство log-exp transseries

Также можно определить поле транссерий log-exp как подполе упорядоченного поля ${\displaystyle \mathbf {No} }$ сюрреалистических чисел.^[4] Поле ${\displaystyle \mathbf {No} }$ оснащен экспоненциальной и логарифмической функциями Гоншора-Крускала^[5] и с его естественной структурой поля рядов с хорошей базой при нормальной форме Конвея.^[6]

Определять ${\displaystyle F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )}$, подполе ${\displaystyle \mathbf {No} }$ создано ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и простейшее положительное бесконечное сюрреалистическое число ${\displaystyle \omega }$ (что естественно соответствует порядковому ${\displaystyle \omega }$, и как транссексуалы к сериалу ${\displaystyle x}$). Тогда для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, определять ${\displaystyle F_{n+1}^{LE}}$ как поле, созданное ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$, экспоненты элементов ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ и логарифмы строго положительных элементов ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$, а также суммы (Хана) суммируемых семейств в ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$. Союз ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$ естественно изоморфен ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$. На самом деле существует единственный такой изоморфизм, который отправляет ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle x}$ и коммутирует с возведением в степень и суммами суммируемых семейств в ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$ лежа в ${\displaystyle F_{\omega }}$.

Другие области транссерий

• Продолжая этот процесс трансфинитной индукцией по ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$ вне ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$, беря объединения в предельных порядковых числах, мы получаем поле подходящего размера класса ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ канонически снабжены производным и сочинение расширение ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ (видеть Операции на транссериях ниже).

• Если вместо ${\displaystyle F_{0}^{LE}}$ начинается с подполя ${\displaystyle F_{0}^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )}$ создано ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и все конечные итерации ${\displaystyle \log }$ в ${\displaystyle \omega }$, и для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}}$ подполе, порожденное ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$, экспоненты элементов ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ и суммы суммируемых семейств в ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$, то получается изоморфная копия поля ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ из экспоненциально-логарифмические транссерии, который является собственным продолжением ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ оснащен полной экспоненциальной функцией.^[7]

Происхождение Берардуччи-Мантуи^[8] на ${\displaystyle \mathbf {No} }$ совпадает на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ с его естественным происхождением, и является уникальным, чтобы удовлетворять соотношениям совместимости с экспоненциальной упорядоченной структурой поля и структурой поля обобщенной серии ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .}$

Вопреки ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ вывод в ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ не сюръективен: например, серия

${\displaystyle {\frac {1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ))\in \mathbb {T} ^{EL}}$

не имеет первообразной в ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ или же ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ (это связано с тем, что эти поля не содержат транссекспоненциальной функции).

Дополнительные свойства

Операции на транссериях

Операции над дифференциальным экспоненциальным упорядоченным полем

Транссерии обладают очень сильными закрывающими свойствами, и многие операции могут быть определены в транссериях:

• Log-exp transseries образуют экспоненциально замкнутое упорядоченное поле: экспоненциальная и логарифмическая функции суммируются. Например:

${\displaystyle \exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{and}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n+1}}.}$

• Логарифм определяется для положительных аргументов.
• Log-exp transseries являются реально закрытый.
• Интеграция: каждая транзакция log-exp ${\displaystyle f}$ имеет единственную первообразную с нулевым постоянным членом ${\displaystyle F\in \mathbb {T} ^{LE}}$, ${\displaystyle F'=f}$ и ${\displaystyle F_{1}=0}$.
• Логарифмическая первообразная: для ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$, есть ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE}}$ с ${\displaystyle f'=fh'}$.

Примечание 1. Последние два свойства означают, что ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ является Лиувиль закрыт.

Заметка 2. Как и элементарная нетригонометрическая функция, каждая положительная бесконечная транссерия ${\displaystyle f}$ имеет целочисленную экспоненциальность даже в этом сильном смысле:

${\displaystyle \exists k,n\in \mathbb {N} :\quad \ell _{n-k}-1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{n-k}+1.}$

Номер ${\displaystyle k}$ уникален, он называется экспоненциальность из ${\displaystyle f}$.

Состав транссерий

Оригинальное свойство ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ в том, что он допускает композицию ${\displaystyle \circ :\mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}}$ (куда ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ является набором положительных бесконечных транссерий log-exp), который позволяет нам видеть каждую транссерию log-exp ${\displaystyle f}$ как функция на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$. Неформально говоря, для ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ и ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$, сериал ${\displaystyle f\circ g}$ получается заменой каждого вхождения переменной ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle f}$ к ${\displaystyle g}$.

Характеристики

• Ассоциативность: для ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ и ${\displaystyle g,h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$, у нас есть ${\displaystyle g\circ h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ и ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$.
• Совместимость правых композиций: Для ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$, функция ${\displaystyle \circ _{g}:f\mapsto f\circ g}$ является полевым автоморфизмом ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ который коммутирует с формальными суммами, отправляет ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle e^{x}}$ на ${\displaystyle \exp(g)}$ и ${\displaystyle \ell }$ на ${\displaystyle \log(g)}$. У нас также есть ${\displaystyle \circ _{x}=\operatorname {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}}$.
• Уникальность: уникальная композиция удовлетворяет двум предыдущим свойствам.
• Монотонность: для ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$, функция ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$ постоянна или строго монотонна на ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$. Однообразие зависит от знака ${\displaystyle f'}$.
• Цепное правило: для ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}\times }$ и ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$, у нас есть ${\displaystyle (f\circ g)'=g'f'\circ g}$.
• Функциональная инверсия: для ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$, есть уникальная серия ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ с ${\displaystyle g\circ h=h\circ g=x}$.
• Расширения Тейлора: каждая транссерия log-exp ${\displaystyle f}$ имеет расширение Тейлора вокруг каждой точки в том смысле, что для каждой ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ и для достаточно малых ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}}$, у нас есть

${\displaystyle f\circ (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(k)}\circ g}{k!}}\varepsilon ^{k}}$

где сумма является формальной суммой Хана суммируемого семейства.

• Дробная итерация: для ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ с экспоненциальностью ${\displaystyle 0}$ и любое реальное число ${\displaystyle a}$, дробная итерация ${\displaystyle f^{a}}$ из ${\displaystyle f}$ определено.^[9]

Разрешимость и теория моделей

Теория дифференциального упорядоченного дифференциального поля

В ${\displaystyle \left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle }$ теория ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ является разрешимый и может быть аксиоматизирована следующим образом (это теорема 2.2 Ашенбреннера и др.):

• ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ является упорядоченнозначным дифференциальным полем.
• ${\displaystyle f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0}$
• ${\displaystyle f'\prec 1\Longrightarrow f\prec 1}$
• ${\displaystyle \forall f\exists g:\quad g'=f}$
• ${\displaystyle \forall f\exists h:\quad h'=fh}$
• Недвижимость средней стоимости (IVP):

${\displaystyle P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,}$

куда п является дифференциальным многочленом, т. е. многочленом от ${\displaystyle f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.}$

В этой теории возведение в степень по существу определяется для функций (с использованием дифференцирования), но не констант; фактически, каждое определимое подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является полуалгебраический.

Теория упорядоченного экспоненциального поля

В ${\displaystyle \langle +,\times ,\exp ,<\rangle }$ теория ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ это экспоненциальное действительное упорядоченное экспоненциальное поле ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)}$, который модель завершена к Теорема Уилки.

Харди поля

${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$ - поле ускоренно-суммируемых транссерий, и, используя ускоренное суммирование, мы имеем соответствующие Харди поле, которое, как предполагается, является максимальным полем Харди, соответствующим подполю поля ${\displaystyle \mathbb {T} }$. (Эта гипотеза неформальна, поскольку мы не определили, какие изоморфизмы полей Харди в дифференциальные подполя ${\displaystyle \mathbb {T} }$ разрешены.) ${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$ предполагается, что удовлетворяет указанным выше аксиомам ${\displaystyle \mathbb {T} }$. Не определяя ускоренное суммирование, отметим, что, когда операции над сходящимися транс-рядами производят расходящийся, в то время как те же операции над соответствующими ростками производят действительный росток, мы можем затем связать расходящиеся транс-серии с этим ростком.

Сказано поле Харди максимальный если он правильно не содержится ни в одном из полей Харди. По применению леммы Цорна каждое поле Харди содержится в максимальном поле Харди. Предполагается, что все максимальные поля Харди элементарно эквивалентны как дифференциальные поля и действительно имеют ту же теорию первого порядка, что и ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$.^[10] Логарифмические транссерии сами по себе не соответствуют максимальному полю Харди, поскольку не каждая транссерия соответствует действительной функции, а максимальные поля Харди всегда содержат транссекспоненциальные функции.^[11]

Смотрите также

• Формальный степенной ряд
• Серия Hahn
• Экспоненциально закрытое поле
• Харди поле

Рекомендации

1. Дан, Бернд и Геринг, Питер, Примечания к экспоненциально-логарифмическим терминам, Fundamenta Mathematicae, 1987 г.
2. Экаль, Жан, Введение в анализируемые элементы и конструктивную гипотезу Дюлака, Actualités mathématiques (Париж), Герман, 1992 г.
3. Шмелинг, Михаэль, Corps de transséries, Кандидатская диссертация, 2001 г.
4. Берардуччи, Алессандро и Мантуя, Винченцо, Transseries как ростки сюрреалистических функций, Труды Американского математического общества, 2017 г.
5. Гоншор, Гарри, Введение в теорию сюрреалистических чисел, "Cambridge University Press", 1986.
6. Конвей, Джон, Хортон, О числах и играх, Academic Press, Лондон, 1976 г.
7. Кульман, Сальма и Трессл, Маркус, Сравнение экспоненциально-логарифмических и логарифмино-экспоненциальных рядов, Mathematical Logic Quarterly, 2012 г.
8. Берардуччи, Алессандро и Мантуя, Винченцо, Сюрреалистические числа, производные и транссерии, Европейское математическое общество, 2015 г.
9. Эдгар, Г. А. (2010), Дробная итерация серий и транссерий, arXiv:1002.2378, Bibcode:2010arXiv1002.2378E
10. Ашенбреннер, Матиас и ван ден Дрис, Лу и ван дер Ховен, Йорис, О числах, микробах и транссериях, В Proc. Int. Конг. математики., т. 1. С. 1-24, 2018.
11. Бошерницан, Майкл, Поля Харди и существование трансэкспоненциальных функций, В математические уравнения, т. 30, вып. 1, стр. 258–280, 1986.

• Эдгар, Г. А. (2010), «Трансляции для начинающих», Обмен реального анализа, 35 (2): 253–310, arXiv:0801.4877, Дои:10.14321 / realanalexch.35.2.0253.
• Ашенбреннер, Матиас; Дрис, Лу ван ден; Хувен, Йорис ван дер (2017), О числах, микробах и транссериях, arXiv:1711.06936, Bibcode:2017arXiv171106936A.