Теорема Уилкиса - Wilkies theorem

В математика, Теорема Уилки является результатом Алекс Уилки о теории упорядоченные поля с экспоненциальная функция, или, что то же самое, о геометрической природе экспоненциальных многообразий.

Составы

С точки зрения теория моделей, Теорема Уилки касается языка L_exp = (+,−,·,<,0,1,е^Икс), язык заказанные кольца с экспоненциальной функцией е^Икс. Предполагать φ(Икс₁,...,Икс_м) является формулой на этом языке, то теорема Уилки утверждает, что существует целое число п ≥ м и многочлены ж₁,...,ж_р ∈ Z[Икс₁,...,Икс_п,е^Икс₁,...,е^Икс_п] такой, что φ(Икс₁,...,Икс_м) эквивалентно экзистенциальная формула

${\displaystyle \exists x_{m+1}\ldots \exists x_{n}\,f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})=\cdots =f_{r}(x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})=0.}$

Таким образом, пока эта теория не имеет полной исключение квантора, формулы могут быть представлены в особенно простой форме. Этот результат доказывает, что теория структуры р_exp, то есть реальное упорядоченное поле с экспоненциальная функция, является модель завершена.^[1]

С точки зрения аналитическая геометрия, теорема утверждает, что любой определяемый набор на вышеупомянутом языке - в частности, дополнение экспоненциального многообразия - на самом деле является проекцией экспоненциального многообразия. Экспоненциальное многообразие над полем K это множество точек в K^п где конечный набор экспоненциальные полиномы одновременно исчезают. Теорема Уилки утверждает, что если у нас есть определимое множество в L_exp структура K = (K,+,−,·,0,1,е^Икс), сказать Икс ⊂ K^м, тогда будет экспоненциальное разнообразие в некотором более высоком измерении K^п так что проекция этого разнообразия на K^м будет точно Икс.

Теорема Габриэлова

Результат можно рассматривать как разновидность теоремы Габриэлова. Эта ранняя теорема Андрея Габриэлова касалась субаналитические множества, или язык L_ан упорядоченных колец с символом функции для каждого собственного аналитическая функция на р^м ограничен замкнутым единичным кубом [0,1]^м. Теорема Габриэлова утверждает, что любая формула на этом языке эквивалентна экзистенциальной, как указано выше.^[2] Таким образом, теория реального упорядоченного поля с ограниченными аналитическими функциями является модельной.

Промежуточные результаты

Теорема Габриэлова применима к реальному полю со всеми присоединенными ограниченными аналитическими функциями, тогда как теорема Уилки устраняет необходимость ограничения функции, но позволяет только добавить экспоненциальную функцию. В качестве промежуточного результата Уилки спросил, можно ли определить дополнение субаналитического набора с использованием тех же аналитических функций, которые описывали исходный набор. Оказывается, требуемые функции - это пфаффовские функции.^[1] В частности, теория реального упорядоченного поля с ограниченными, полностью определенными пфаффовыми функциями является модельно полной.^[3] Подход Уилки к этому последнему результату несколько отличается от его доказательства теоремы Уилки, и результат, позволивший ему показать, что структура Пфаффа является модельной полной, иногда называют теоремой Уилки о дополнении. Смотрите также ^[4]

Рекомендации

1. А.Дж. Уилки, Результаты модельной полноты разложений упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных пфаффовых функций и экспоненциальных функций, J. Amer. Математика. Soc. 9 (1996), стр. 1051–1094.
2. А. Габриэлов, Проекции полуаналитических множеств, Функциональный Анал. Appl. 2 (1968), стр.282–291.
3. А.Дж. Уилки, Теорема о дополнении и некоторые новые о-минимальные структуры, Сел. Математика. 5 (1999), стр.397–421.
4. М. Карпински и А. Макинтайр, Обобщение теоремы Уилки о дополнении и приложение к пфаффовскому замыканию, Сел. математика, Новая сер. 5 (1999), стр 507-516