Размах матрицы - Spread of a matrix

В математике, а точнее матричная теория, то распространение матрицы это самое большое расстояние в комплексная плоскость между любыми двумя собственные значения матрицы.

Определение

Позволять ${\displaystyle A}$ быть квадратная матрица с собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$. То есть эти значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ являются сложные числа такой, что существует вектор ${\displaystyle v_{i}}$ на котором ${\displaystyle A}$ действует скалярное умножение:

${\displaystyle Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}.}$

Тогда распространять из ${\displaystyle A}$ это неотрицательное число

${\displaystyle s(A)=\max\{|\lambda _{i}-\lambda _{j}|:i,j=1,\ldots n\}.}$

Примеры

• Для нулевая матрица и единичная матрица, спред равен нулю. Нулевая матрица имеет только ноль в качестве собственных значений, а единичная матрица имеет только одно в качестве собственных значений. В обоих случаях все собственные значения равны, поэтому никакие два собственных значения не могут находиться на ненулевом расстоянии друг от друга.
• Для проекция, единственные собственные значения равны нулю и единице. А матрица проекции поэтому имеет спред, который либо ${\displaystyle 0}$ (если все собственные значения равны) или ${\displaystyle 1}$ (если есть два разных собственных значения).
• Все собственные значения a унитарная матрица ${\displaystyle A}$ лежать на единичный круг. Следовательно, в этом случае спред не более чем равен диаметр круга цифра 2.
• Разброс матрицы зависит только от спектр матрицы (ее мультимножества собственных значений). Если вторая матрица ${\displaystyle B}$ того же размера обратимый, тогда ${\displaystyle BAB^{-1}}$ имеет тот же спектр, что и ${\displaystyle A}$. Следовательно, он также имеет такой же разброс, что и ${\displaystyle A}$.

Смотрите также

• Поле значений

Рекомендации

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств, Dover Publications, 1992, ISBN  0-486-67102-X. Глава III.4.