Сон второкурсников - Sophomores dream

В математике мечта второкурсника пара идентичности (особенно первый)

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}}$

открыт в 1697 г. Иоганн Бернулли.

Числовые значения этих констант приблизительно равны 1,291285997 ... и 0,7834305107 ... соответственно.

Название «мечта второкурсника», которое встречается в (Борвейн, Бейли и Гирдженсон, 2004 г. ), в отличие от названия "мечта первокурсника "который дается неверному^{[примечание 1]} личность (Икс + у)^п = Икс^п + у^п. В второкурсник Мечта "слишком хорошо, чтобы быть правдой", но это правда.

Доказательство

График функций у = Икс^Икс (красный, нижний) и у = Икс^−Икс (серый, верхний) на интервале Икс ∈ (0, 1].

Доказательства двух тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только доказательство второго тождества. Ключевыми составляющими доказательства являются:

• написать Икс^Икс = ехр (Икс бревноИкс) (используя обозначение exp (т) для экспоненциальная функция е^т основать е );
• расширить exp (Икс бревноИкс) с использованием степенной ряд для опыта; и
• почленно интегрировать, используя интеграция путем замены.

Подробно расширяется Икс^Икс в качестве

${\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}.}$

Следовательно, ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}$

К равномерное схождение степенного ряда, можно поменять местами суммирование и интегрирование, чтобы получить

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}$

Чтобы вычислить указанные выше интегралы, можно изменить переменную в интеграле с помощью замена ${\displaystyle x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right).}$ При такой замене границы интегрирования преобразуются к ${\displaystyle 0<u<\infty ,}$ давая личность

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.}$

К Интегральное тождество Эйлера для Гамма-функция, надо

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!,}$

так что

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$

Суммируя их (и меняя индексацию, чтобы она начиналась с п = 1 вместо п = 0) дает формулу.

Историческое доказательство

Оригинальное доказательство, приведенное в Бернулли (1697) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBernoulli1697 (помощь), и представлены в модернизированном виде в Данэм (2005), отличается от приведенного выше тем, как почленный интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx}$ вычисляется, но в остальном остается тем же самым, без технических деталей для обоснования шагов (таких как почленное интегрирование). Вместо того, чтобы интегрировать путем подстановки и получить гамма-функцию (которая еще не была известна), Бернулли использовал интеграция по частям для итеративного вычисления этих условий.

Интегрирование по частям происходит следующим образом, при этом два показателя степени меняются независимо для получения рекурсии. Первоначально вычисляется неопределенный интеграл без учета постоянная интеграции ${\displaystyle +C}$ как потому, что это было сделано исторически, так и потому, что оно выпадает при вычислении определенного интеграла. Можно интегрировать ${\displaystyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx}$ принимая ты = (журнал Икс)^п и dv = Икс^м dx, что дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\log x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\log x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\log x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\log x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\end{aligned}}}$

(также в список интегралов логарифмических функций ). Это уменьшает степень логарифма подынтегрального выражения на 1 (с ${\displaystyle n}$ к ${\displaystyle n-1}$) и, таким образом, можно вычислить интеграл индуктивно, так как

${\displaystyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\log x)^{n-i}}$

куда (п) _я обозначает падающий факториал; существует конечная сумма, потому что индукция останавливается на 0, поскольку п целое число.

В этом случае м = п, и они целые, поэтому

${\displaystyle \int x^{n}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\log x)^{n-i}.}$

Интегрируя от 0 до 1, все члены обращаются в нуль, кроме последнего члена в 1,^{[заметка 2]} что дает:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$

С современной точки зрения это (вплоть до масштабный коэффициент), эквивалентный вычислению интегрального тождества Эйлера ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ для гамма-функции в другой области (соответствующей изменению переменных путем подстановки), поскольку само тождество Эйлера также может быть вычислено посредством аналогичного интегрирования по частям.

Смотрите также

• Серии (математика)

Примечания

1. Неправильно в целом, но верно, когда человек работает в коммутативное кольцо премьер характеристика п с п будучи силой п. Правильный результат в общем коммутативном контексте дает биномиальная теорема.
2. Все члены исчезают в 0, потому что ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{m}(\log x)^{n}=0}$ к Правило л'Опиталя (Бернулли опускал эту техническую деталь), и все члены, кроме последнего, исчезают в 1, поскольку журнал 1 = 0.

Рекомендации

Формула

• Иоганн Бернулли, 1697 г., собрано у Иоганниса Бернулли, Опера омния, т. 3. С. 376–381.
• Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид Х.; Гиргенсон, Роланд (2004), Эксперименты в математике: вычислительные пути к открытиям, стр.4, 44, ISBN  978-1-56881-136-9
• Данэм, Уильям (2005), «3: Бернулли» (Иоганн и ${\displaystyle x^{x}}$)", Галерея исчислений, шедевры от Ньютона до Лебега, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 46–51, ISBN  978-0-691-09565-3
• OEIS, (последовательность A083648 в OEIS ) и (последовательность A073009 в OEIS )
• Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1998), «часть I, проблема 160», Проблемы и теоремы анализа, п.36, ISBN  978-3-54063640-3
• Вайсштейн, Эрик В. "Мечта второкурсницы". MathWorld.
• Макс Р. П. Гроссманн (2017): Мечта второкурсницы. 1000000 цифр первой константы

Функция

• Литература для x ^ x и сна второкурсника, Форум Tetration, 02.03.2010
• Связанная экспонента, Джей А. Фантини, Гилберт К. Клёпфер, 1998 г.
• Функция сна второкурсницы, Жан Жаклен, 2010, 13 с.
• Лемер, Д. Х. (1985). "Числа, связанные с числами Стирлинга и Икс^Икс". Журнал математики Роки-Маунтин. 15: 461. Дои:10.1216 / RMJ-1985-15-2-461.
• Гулд, Х. В. (1996). "Набор полиномов, связанных со старшими производными у = х^Икс". Журнал математики Роки-Маунтин. 26: 615. Дои:10.1216 / rmjm / 1181072076.