Мечта первокурсников - Freshmans dream

Иллюстрация мечты первокурсника в двух измерениях. Каждая сторона квадрата имеет длину X + Y. Площадь квадрата - это сумма площадей желтой области (= X²), площадь зеленой области (= Y²), а также площадь двух белых областей (= 2 × X × Y).

В мечта первокурсника - это имя, которое иногда называют ошибочным уравнением (Икс + у)^п = Икс^п + у^п, куда п является действительным числом (обычно положительным целым числом больше 1). Начинающие студенты обычно допускают эту ошибку при вычислении мощность суммы действительных чисел, ложно принимая полномочия раздавать сверх сумм.^[1][2] Когда п = 2, легко понять, почему это неверно: (Икс + у)² можно правильно вычислить как Икс² + 2ху + у² с помощью распределенность (широко известный как FOIL метод ). Для больших положительных целых значений п, правильный результат дает биномиальная теорема.

Название «мечта первокурсника» также иногда относится к теореме, которая гласит, что для простое число п, если Икс и у являются членами коммутативное кольцо из характеристика п, тогда (Икс + у)^п = Икс^п + у^п. В этом более экзотическом виде арифметики "ошибка" фактически дает правильный результат, поскольку п разделяет все биномиальные коэффициенты кроме первого и последнего, делая все промежуточные условия равными нулю.

Идентичность действительно верна в контексте тропическая геометрия, где умножение заменяется сложением, а сложение - минимум.^[3]

Примеры

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$, но ${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ обычно не равно ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$. Например, ${\displaystyle {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$, что не равно 3 + 4 = 7. В этом примере ошибка фиксируется с показателем степени п = 1/2.

Основная характеристика

Когда п простое число и Икс и у являются членами коммутативное кольцо из характеристика п, тогда (Икс + у)^п = Икс^п + у^п. Это можно увидеть, исследуя простые множители биномиальных коэффициентов: п-й биномиальный коэффициент равен

${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}.}$

В числитель является п факториал, который делится на п. Однако когда 0 < п < п, обе п! и (п − п)! взаимно просты с п так как все факторы меньше чем п и п простое. Поскольку биномиальный коэффициент всегда целое число, п-й биномиальный коэффициент делится на п а значит, в кольце равняется 0. Остается ноль и пth коэффициентов, которые оба равны 1, что дает искомое уравнение.

Таким образом, в характеристике п мечта первокурсника - действительная личность. Этот результат демонстрирует, что возведение в степень на п производит эндоморфизм, известный как Эндоморфизм Фробениуса кольца.

Требование, чтобы характеристика п Быть простым числом - центральная часть истины мечты первокурсника. Связанная теорема утверждает, что если п тогда простое (Икс + 1)^п ≡ Икс^п + 1 в кольцо многочленов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$. Эта теорема является ключевым фактом в современной проверке на простоту.^[4]

История и альтернативные имена

История термина «мечта первокурсника» несколько неясна. В статье 1940 г. модульные поля, Saunders Mac Lane цитаты Стивен Клини замечание, что знание (а + б)² = а² + б² в поле характеристики 2 развратило бы первокурсников алгебра. Это может быть первая связь между «первокурсником» и биномиальным расширением в полях положительной характеристики.^[5] С тех пор авторы текстов по алгебре для студентов заметили распространенную ошибку. Первое фактическое подтверждение фразы «мечта первокурсника», кажется, находится в Hungerford's учебник по алгебре (1974), где он цитирует МакБрайена.^[6] Альтернативные условия включают "возведение в степень первокурсника", использованный в Fraleigh (1998).^[7] Сам термин «мечта первокурсника» в нематематическом контексте используется с 19 века.^[8]

Поскольку расширение (Икс + у)^п правильно дается биномиальная теорема мечта первокурсника также известна как "биномиальная теорема ребенка"^[4] или же "школьник биномиальная теорема".

Смотрите также

• Тест на первичность
• Мечта второкурсницы
• Эндоморфизм Фробениуса

Рекомендации

1. Хулио Р. Бастида, Расширения поля и теория Галуа, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, стр.8.
2. Фрали, Джон Б., Первый курс абстрактной алгебры, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, стр.453, ISBN  0-201-53467-3.
3. Difusión DM (23.02.2018), Введение в тропическую алгебраическую геометрию (1 из 5), получено 2019-06-11
4. А. Гранвиль, Легко определить, является ли данное целое число простым, Бык. AMS, том 42, номер 1 (сентябрь 2004 г.), страницы 3–38.
5. Колин Р. Флетчер, Обзор Избранные статьи по алгебре под ред. Сьюзан Монтгомери, Элизабет У. Ральстон и другие. Стр. XV, 537. 1977. ISBN  0-88385-203-9 (Математическая ассоциация Америки), Математический вестник, Vol. 62, No. 421 (октябрь 1978 г.), The Mathematical Association. п. 221.
6. Томас В. Хангерфорд, Алгебра, Спрингер, 1974, стр. 121; Также в Абстрактная алгебра: введение, 2-е изд. Брукс Коул, 12 июля 1996 г., стр. 366.
7. Джон Б. Фрейли, Первый курс абстрактной алгебры, 6-е издание, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 и 438.
8. Книги Google за 1800–1900 гг. По запросу "мечта первокурсника": Сборник Бентли, Том 26, стр. 176, 1849