FOIL метод - FOIL method

Эта статья о мнемонике. Для других типов фольги см. Фольга (значения).

Визуальное представление правила FOIL. Каждая цветная линия представляет два члена, которые необходимо умножить.

В элементарная алгебра, ФОЛЬГА это мнемонический для стандартного метода умножения двух биномы^[1]- отсюда метод можно назвать FOIL метод. Слово ФОЛЬГА является акроним для четырех условий продукта:

• First («первые» члены каждого бинома умножаются вместе)
• Оuter ("внешние" члены умножаются, то есть первый член первого бинома и второй член второго)
• яnner ("внутренние" члены умножаются - второй член первого бинома и первый член второго)
• Last ("последние" члены каждого бинома умножаются)

Общая форма

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

Обратите внимание, что а одновременно является «первым» и «внешним» термином; б одновременно и «последний», и «внутренний» термин, и так далее. Порядок четырех членов в сумме не важен и может не совпадать с порядком букв в слове FOIL.

История

Метод FOIL - это частный случай более общего метода умножения алгебраических выражений с использованием распределительный закон. Слово ФОЛЬГА изначально задумывался исключительно как мнемонический для старшеклассников, изучающих алгебру. Термин появляется в тексте Уильяма Беца 1929 года. Алгебра сегодня, где он заявляет:^[2]

... первые термины, внешние термины, внутренние термины, последние термины. (Вышеупомянутое правило также можно запомнить по слову FOIL, подсказанному первыми буквами слов first, external, inner, last.)

Уильям Бец был активным участником движения за реформу математики в Соединенные Штаты В то время он написал много текстов по элементарной математике и «посвятил свою жизнь совершенствованию математического образования».^[3]

Многие студенты и преподаватели в Соединенных Штатах сейчас используют слово «FOIL» как глагол означает «развернуть произведение двух биномов».^[4]

Примеры

Этот метод чаще всего используется для умножения линейный биномы. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

Если любой бином включает вычитание, соответствующие члены должны быть отменены. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

Распределительный закон

Метод FOIL эквивалентен двухэтапному процессу, включающему распределительный закон:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

На первом этапе (c + d) распределяется по сложению в первом биноме. На втором этапе используется закон распределения для упрощения каждого из двух терминов. Обратите внимание, что этот процесс включает в себя всего три применения свойства распределения. В отличие от метода FOIL, метод с использованием распределения может быть легко применен к продуктам с большим количеством терминов, таких как трехчлены и выше.

Обратная фольга

Правило FOIL преобразует товар двух биномов в сумма из четырех (или меньше, если как условия затем объединяются) мономы.^[6] Обратный процесс называется факторинг или же факторизация. В частности, если прочесть приведенное выше доказательство в обратном порядке, это иллюстрирует метод, называемый факторинг по группировке.

Стол как альтернатива FOIL

Инструмент визуальной памяти может заменить мнемонику FOIL для пары многочленов любым количеством членов. Составьте таблицу с членами первого многочлена на левом краю и членами второго на верхнем краю, затем заполните таблицу товары. Таблица, эквивалентная правилу FOIL, выглядит так:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

В случае, если это многочлены, (топор + б)(сх + d), члены данной степени находятся путем добавления вдоль антидиагонали

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

так ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

Умножить (а + б + c)(ш + Икс + у + z), таблица будет следующей:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

Сумма записей таблицы является произведением полиномов. Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

Аналогично умножить (топор² + bx + c)(dx³ + бывший² + FX + грамм), одна и та же таблица пишет

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}$

и суммы по антидиагоналям:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

Обобщения

Правило FOIL не может быть напрямую применено к расширению произведений с более чем двумя множимыми или к множимым с более чем двумя слагаемыми. Однако применяя ассоциативный закон а рекурсивное фольгирование позволяет расширять такие продукты. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

Альтернативные методы, основанные на распределении, не используют правило FOIL, но их легче запомнить и применить. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Биномиальная теорема
• Факторизация

Рекомендации

1. «Упрощение с использованием уроки метода FOIL». Получено 10 мая 2018.
2. Бец, Уильям (1929), Алгебра сегодня (т. 1), Джинн и компания, стр. 291.
3. W. D. R. (ноябрь 1937 г.), "Обзор алгебры сегодня: первый год", Учитель математики, Национальный совет по преподаванию математики, 30 (7): 348.
4. МакКри, Эмма (01.05.2019). Сделать каждый урок математики на счету: шесть принципов в поддержку отличного преподавания математики (серия «Сделать каждый урок на счету»). Crown House Publishing Ltd. ISBN  978-1-78583-421-9.
5. Кхаре, Апурва; Лачовская, Анна (2015). Красиво, просто, точно, безумно: математика в реальном мире. Издательство Йельского университета. п. 3. ISBN  978-0-300-19089-2. Иногда это называют методом «FOIL» - по сути, это просто закон распределения, применяемый дважды..
6. Киркланд, Карла С.; Кливленд, Чан (29 января 2020 г.). Praxis Core для чайников с онлайн-тестами. Джон Вили и сыновья. п. 78. ISBN  978-1-119-62047-1. ... reverse FOIL может направить вас в противоположном направлении от одного выражения к двухчленным выражениям, умноженным друг на друга. Это форма факторинга.

дальнейшее чтение

• Стидж, Рэй; Бейли, Керри (1997). Очерк теории и проблем промежуточной алгебры Шаума. Обзорная серия Шаума. Нью-Йорк: МакГроу – Хилл. ISBN  978-0-07-060839-9.