Особый подмодуль - Singular submodule

В филиалах абстрактная алгебра известный как теория колец и теория модулей, каждый правый (соответственно левый) р модуль M имеет особый подмодуль состоящий из элементов, аннигиляторы находятся существенный справа (соответственно слева) идеалы в р. В обозначениях множества обычно обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$. Для обычных колец ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$ является хорошим обобщением торсионный подмодуль торс (M), который чаще всего определяется для домены. В случае, если р коммутативная область, ${\displaystyle tors(M)={\mathcal {Z}}(M)}$.

Если р любое кольцо, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ определяется с учетом р как правый модуль, и в этом случае ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ двусторонний идеал р называется правый особый идеал из р. Аналогично леворукий аналог ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$ определено. Это возможно для ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$.

Определения

Вот несколько определений, используемых при изучении сингулярных подмодулей и сингулярных идеалов. В следующих, M является р модуль:

• M называется особый модуль если ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$.
• M называется неособый модуль если ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$.
• р называется правый неособый если ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$. А левый неособый кольцо определяется аналогично с использованием левого сингулярного идеала, и вполне возможно, что кольцо будет неособым справа, но не слева.

В кольцах с единицей всегда так, что ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$, и поэтому «правое сингулярное кольцо» обычно не определяется так же, как особые модули. Некоторые авторы использовали «сингулярное кольцо» для обозначения «имеет ненулевой особый идеал», однако такое использование не согласуется с использованием прилагательных для модулей.

Характеристики

Некоторые общие свойства сингулярного подмодуля включают:

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)\cdot \mathrm {soc} (M)=\{0\}\,}$ куда ${\displaystyle \mathrm {soc} (M)\,}$ обозначает цоколь из M.
• Если ж является гомоморфизмом р модули из M к N, тогда ${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$.
• Если N является подмодулем M, тогда ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$.
• Свойства «особого» и «неособого» являются Инвариантные свойства Мориты.
• Особые идеалы кольца содержат центральные нильпотентный элементы кольца. Следовательно, особый идеал коммутативного кольца содержит нильрадикал кольца.
• Общее свойство подмодуля кручения состоит в том, что ${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$, но это не обязательно верно для сингулярного подмодуля. Однако если р - неособое справа кольцо, то ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$.
• Если N является существенным подмодулем M (оба правых модуля), тогда M/N единственное число. Если M это бесплатный модуль, или если р неособо справа, то верно обратное.
• А полупростой модуль невырожден тогда и только тогда, когда это проективный модуль.
• Если р это право самоинъективное кольцо, тогда ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$, где J (р) это Радикал Якобсона из р.

Примеры

Правые неособые кольца - очень широкий класс, в том числе уменьшенные кольца, верно (полу) наследственные кольца, регулярные кольца фон Неймана, домены, полупростые кольца, Кольца Baer и правильно Кольца рикарт.

Для коммутативных колец невырожденность эквивалентна редуцированному кольцу.

Важные теоремы

Теорема Джонсона (принадлежит Р. Э. Джонсону (Лам 1999, п. 376)) содержит несколько важных эквивалентностей. Для любого кольца р, следующие эквиваленты:

1. р право неособое.
2. В инъективная оболочка E (р_р) - неособое право р модуль.
3. Кольцо эндоморфизмов ${\displaystyle S=\mathrm {End} (E(R_{R}))\,}$ это полупримитивное кольцо (то есть, ${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$).
4. В максимальное правое кольцо частных ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$ является регулярным по фон Нейману.

Правая невырожденность также сильно взаимодействует с правыми самоинъективными кольцами.

Теорема: Если р - самоинъективное справа кольцо, то следующие условия на р эквивалентны: неособые справа, регулярные по фон Нейману, полунаследственные справа, права Рикарта, Бэра, полупримитивные. (Лам 1999, п. 262)

Бумага (Зельманович 1983 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFZelmanowitz1983 (помощь) использовали неособые модули для характеристики класса колец, максимальное правое кольцо частных которых имеет определенную структуру.

Теорема: Если р кольцо, то ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$ это право полное линейное кольцо если и только если р имеет неособое, верный, единый модуль. Более того, ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$ является конечным прямым произведением полных линейных колец тогда и только тогда, когда р имеет неособый точный модуль с конечным единый размер.

Учебники

• Гудеарл, К. Р. (1976), Теория колец: неособые кольца и модули, Чистая и прикладная математика, № 33, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., стр. Viii + 206, МИСТЕР  0429962
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294

Основные источники

• Зельмановиц, Дж. М. (1983), "Структура колец с точными неособыми модулями", Пер. Амер. Математика. Soc., 278 (1): 347–359, Дои:10.2307/1999320, ISSN  0002-9947, МИСТЕР  0697079