Последовательный модуль - Serial module

В абстрактная алгебра, а односерийный модуль M это модуль через звенеть р, чей подмодули находятся полностью заказанный к включение. Это просто означает, что для любых двух подмодулей N₁ и N₂ из M, либо ${ Displaystyle N_ {1} substeq N_ {2}}$ или же ${ Displaystyle N_ {2} substeq N_ {1}}$ . Модуль называется последовательный модуль если это прямая сумма однорядных модулей. Кольцо р называется правое однорядное кольцо если он одноряден как правый модуль над самим собой и также называется правое серийное кольцо если это правильный последовательный модуль над собой. Левое однорядное и левое последовательное кольца определяются аналогичным образом и в целом отличаются от своих правых аналогов.

Простой мотивирующий пример - кольцо частного ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ для любого целое число ${ displaystyle n> 1}$ . Это кольцо всегда серийное, а когда п это основная сила.

Период, термин однорядный использовалось иначе, чем определение выше: для пояснения Смотри ниже.

Неполный алфавитный список важных участников теории серийных колец включает математиков Кейзо Асано, И. С. Коэна, ВЕЧЕРА. Кон, Ю. Дрозд, Д. Эйзенбуд, А. Факкини, A.W. Голди, Филипп Гриффит, И. Капланский, В.В. Кириченко, Г. Кёте, Х. Куппиш, И. Мурас, Т. Накаяма, П. Пржида, Г. Пунински и Р. Варфилд. Ссылки на каждого автора можно найти в (Пунинский 2001 ) и (Хазевинкель 2004 ).

Следуя общепринятому теоретико-кольцевому соглашению, если левое / правое зависимое условие дано без упоминания стороны (например, однорядный, последовательный, Артиниан, Нётерян ), то предполагается, что условие выполняется как слева, так и справа. Если не указано иное, каждое кольцо в этой статье является кольцо с единством, и каждый модуль единый.

Свойства однорядных и последовательных колец и модулей

Сразу видно, что в однорядном р-модуль M, все подмодули, кроме M и 0 одновременно существенный и лишний. Если M имеет максимальный подмодуль, тогда M это локальный модуль. M также явно единый модуль и поэтому напрямую неразложима. Также легко видеть, что каждый конечно порожденный подмодуль модуля M могут быть созданы одним элементом, и поэтому M это Модуль Безу.

Известно, что кольцо эндоморфизмов Конец_р(M) это полулокальное кольцо что очень близко к местное кольцо в том смысле, что конец_р(M) имеет не более двух максимальные правые идеалы. Если M считается артинианским или нётерским, то End_р(M) - локальное кольцо.

Поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальный правый идеал, цепное справа кольцо обязательно локально. Как отмечалось ранее, конечно порожденный правый идеал может быть порожден одним элементом, поэтому правые цепные кольца являются право Безу кольца. Правое серийное кольцо р обязательно факторы в форме ${ displaystyle R = oplus _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} R}$ где каждый е_я является идемпотентный элемент и е_яр - это локальный односерийный модуль. Это указывает на то, что р также полусовершенное кольцо, что является более сильным условием, чем быть полулокальным кольцом.

Кёте показал, что модули Артиниана кольца главных идеалов (которые являются частным случаем последовательных колец) представляют собой прямые суммы циклические подмодули. Позже Коэн и Каплански определили, что коммутативное кольцо р имеет это свойство для своих модулей тогда и только тогда, когда р - артиново кольцо главных идеалов. Накаяма показал, что артиновы серийные кольца обладают этим свойством на своих модулях, и обратное неверно.

Самый общий результат, пожалуй, о модулях последовательного кольца принадлежит Дрозду и Варфилду: он утверждает, что каждый конечно представленный модуль над последовательным кольцом представляет собой прямую сумму циклических цепных подмодулей (и, следовательно, является последовательным). Если дополнительно предположить, что кольцо нетерово, конечно представленные и конечно порожденные модули совпадают, и поэтому все конечно порожденные модули серийны.

Правильный серийный номер сохраняется при прямом произведении колец и модулей и сохраняется при частные колец. Однорядность сохраняется для частных колец и модулей, но не для продуктов. Прямое слагаемое последовательного модуля не обязательно является последовательным, как было доказано Пунинским, но прямые слагаемые модуля конечный прямые суммы однорядных модулей - это последовательные модули (Příhoda 2004 ).

Было подтверждено, что Гипотеза Якобсона выполняется в нётеровых серийных кольцах. (Болтовня и Хаджарнавис 1980 )

Примеры

Любой простой модуль тривиально однорядный, и аналогично полупростые модули Последовательные модули.

Многие примеры серийных колец можно почерпнуть из структурных разделов выше. Каждый оценочное кольцо является цепным кольцом, и все артиновы кольца главных идеалов являются серийными кольцами, как показано полупростые кольца.

Более экзотические примеры включают верхнетреугольные матрицы через делительное кольцо Т_п(D), а групповое кольцо ${ Displaystyle mathbb {F} [G]}$ для некоторых конечное поле из основной характеристика п и группа грамм имеющий циклический нормальный п-Силовская подгруппа.

Структура

Этот раздел будет иметь дело в основном с нётеровыми серийными кольцами и их подклассом, артиновыми серийными кольцами. Обычно кольца сначала разбиваются на неразложимые. Как только структура этих колец известна, разложимые кольца являются прямым произведением неразложимых. Кроме того, для полусовершенных колец, таких как серийные кольца, основным кольцом является Эквивалент Мориты к оригинальному кольцу. Таким образом, если р серийное кольцо с основным кольцом B, а структура B Как известно, теория эквивалентности Морита дает ${ Displaystyle R cong mathrm {End} _ {B} (P)}$ куда п есть некоторая конечно порожденная прогенератор B. Вот почему результаты сформулированы в терминах неразложимых основных колец.

В 1975 году Кириченко и Варфилд независимо и одновременно опубликовали анализ структуры нётеровых, неартиновых серийных колец. Результаты были такими же, однако используемые ими методы сильно отличались друг от друга. Изучение наследственный, Нётериан, простые кольца, а также колчаны Определенные на серийных кольцах были важными инструментами. Основной результат утверждает, что нетерово справа, неартиново, базовое неразложимое последовательное кольцо может быть описано как тип матричное кольцо над нётерским, однорядным домен V, чей Радикал Якобсона J (V) отличен от нуля. Это матричное кольцо является подкольцо из M_п(V) для некоторых п, и состоит из матрицы с записями из V на диагонали и выше, а записи из J (V) ниже.

Артиновская серийная кольцевая структура классифицируется в зависимости от строения колчана. Оказывается, что структура колчана для основного неразложимого артиновского серийного кольца всегда представляет собой круг или линию. В случае линейного колчана кольцо изоморфный к верхнетреугольным матрицам над телом (обратите внимание на сходство со структурой нётеровых серийных колец в предыдущем абзаце). Полное описание структуры кругового колчана выходит за рамки данной статьи, но его можно найти в (Пунинский 2001 ). Перефразируя результат в том виде, в каком он там появляется: основное артиновское серийное кольцо, колчан которого представляет собой круг, является гомоморфным изображение «взорвать» базовую неразложимую серийную квазифробениусово кольцо.

Свойство единственности разложения

Два модуля U и V говорят, что у них то же самое класс моногении, обозначенный ${ displaystyle [U] _ {m} = [V] _ {m}}$ , если существует мономорфизм ${ Displaystyle U rightarrow V}$ и мономорфизм ${ Displaystyle V rightarrow U}$ . В двойной понятие можно определить: говорят, что модули имеют одинаковые класс эпигений, обозначенный ${ displaystyle [U] _ {e} = [V] _ {e}}$ , если существует эпиморфизм ${ Displaystyle U rightarrow V}$ и эпиморфизм ${ Displaystyle V rightarrow U}$ .

Следующая слабая форма Теорема Крулля-Шмидта держит. Позволять U₁, ..., U_п, V₁, ..., V_т быть п + т ненулевые цепные правые модули над кольцом р. Тогда прямые суммы ${ Displaystyle U_ {1} oplus dots oplus U_ {п}}$ и ${ Displaystyle V_ {1} oplus dots oplus V_ {т}}$ находятся изоморфный р-модули тогда и только тогда, когда п = т и есть два перестановки ${ displaystyle sigma}$ и ${ Displaystyle тау}$ из 1, 2, ..., п такой, что ${ displaystyle [U_ {i}] _ {m} = [V _ { sigma (i)}] _ {m}}$ и ${ Displaystyle [U_ {я}] _ {е} = [В _ { тау (я)}] _ {е}}$ для каждого я = 1, 2, ..., п.

Этот результат, благодаря Факкини, был расширен Příhoda в 2006 году на бесконечные прямые суммы цепных модулей. Это расширение включает в себя так называемые квазисходные одинарные модули. Эти модули были определены Нгуен Вьет Зунг и Факкини, и их существование было доказано Пунински. Слабая форма теоремы Крулля-Шмидта верна не только для однорядных модулей, но и для некоторых других классов модулей (биоднородных модулей, циклически представленных модулей над последовательными кольцами, ядер морфизмов между неразложимыми инъективные модули, равномерно представленные модули.)

Примечания к альтернативным, аналогичным и связанным условиям

Правые однорядные кольца также могут называться правые кольца цепи (Вера 1999 ) или же правые оценочные кольца. Этот последний термин относится к оценочные кольца, которые по определению коммутативны, однорядны домены. По тому же принципу односерийные модули называются цепные модули, и последовательные модули полукцепные модули. Понятие о контактное кольцо имеет название «цепочка», но в целом не имеет отношения к цепным кольцам.

В 1930-е гг. Готфрид Кете и Кейзо Асано ввел термин Einreihig (буквально «одна серия») при исследовании колец, над которыми все модули являются прямыми суммами циклических подмодулей (Кёте 1935 ). По этой причине, однорядный использовалось для обозначения «артиновского кольца главных идеалов» еще в 1970-х годах. В статье Кете также требовалось, чтобы однорядное кольцо имело уникальное серия композиций, что не только заставляет правый и левый идеалы быть линейно упорядоченными, но также требует, чтобы в цепочках левых и правых идеалов было только конечное число идеалов. Из-за этого исторического прецедента некоторые авторы включают условие Артинова или условие конечной композиционной длины в свои определения однорядных модулей и колец.

Расширяя работы Кете, Тадаши Накаяма использовал термин обобщенное однорядное кольцо (Накаяма 1941 ) для обозначения артинового серийного кольца. Накаяма показал, что все модули над такими кольцами серийны. Артиновские серийные кольца иногда называют Алгебры накаямы, и у них хорошо развита теория модулей.

Варфилд использовал термин однородно последовательный модуль для последовательного модуля с дополнительным свойством, что для любых двух конечно порожденных подмодулей А и B, ${ Displaystyle A / J (A) cong B / J (B)}$ куда J(-) обозначает Радикал Якобсона модуля (Варфилд 1975 ). В модуле с конечной длиной композиции это приводит к тому, что композиционные факторы должны быть изоморфными, отсюда и прилагательное «однородный». Оказывается, серийное кольцо р является конечной прямой суммой однородно последовательных правых идеалов тогда и только тогда, когда р изоморфен полному п × п матричное кольцо над локальным последовательным кольцом. Такие кольца также известны как первично разложимые серийные кольца (Вера 1976 )(Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004 ).

Учебники

Фрэнк В. Андерсон; Кент Р. Фуллер (1992), Кольца и категории модулей, Springer, стр. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
Chatters, A. W .; Хаджарнавис, C.R. (1980), Кольца с цепными состояниями, Исследования по математике, 44, Питман, ISBN 978-0-273-08446-4
Факкини, Альберто (1998), Кольца эндоморфизмов и разложения в прямую сумму в некоторых классах модулей, Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
Вера, Карл (1976), Алгебра. II. Теория колец., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, № 191. Springer-Verlag
Вера, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века, Математические обзоры и монографии, 65. Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0993-8
Хазевинкель, Михиэль; Губарени, Надия; Кириченко, В. В. (2004), Алгебры, кольца и модули. Vol. 1., Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0
Пунинский, Геннадий (2001), Серийные кольца, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

Основные источники

Эйзенбуд, Дэвид; Гриффит, Филипп (1971), «Структура серийных колец», Pacific J. Math., 36: 109–121, Дои:10.2140 / pjm.1971.36.109
Факкини, Альберто (1996), «Крулл-Шмидт не справляется с последовательными модулями», Пер. Амер. Математика. Soc., 348 (11): 4561–4575, Дои:10.1090 / s0002-9947-96-01740-0
Кете, Готфрид (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (Немецкий)", Математика. Z., 39: 31–44, Дои:10.1007 / bf01201343
Накаяма, Тадаси (1941), "Об алгебрах Фробениузе. II.", Анналы математики, Вторая серия, 42 (1): 1–21, Дои:10.2307/1968984, HDL:10338.dmlcz / 140501, JSTOR 1968984
Příhoda, Pavel (2004), "Слабая теорема Крулля-Шмидта и разложения прямой суммы последовательных модулей конечной размерности Голди", J. Алгебра, 281: 332–341, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2004.06.027
Příhoda, Pavel (2006), "Версия слабой теоремы Крулля-Шмидта для бесконечных прямых сумм цепных модулей", Comm. Алгебра, 34 (4): 1479–1487, Дои:10.1080/00927870500455049
Пунински, Г. Т. (2002), "Артиновы и нётеровы серийные кольца.", J. Math. Sci. (Нью-Йорк), 110: 2330–2347, Дои:10.1023 / А: 1014906008243
Пунински, Геннадий (2001), "Некоторые теории моделей над почти простой односерийной областью и декомпозиции последовательных модулей", J. Pure Appl. Алгебра, 163 (3): 319–337, Дои:10.1016 / s0022-4049 (00) 00140-7
Пунински, Геннадий (2001), "Некоторые теории моделей над исключительным цепным кольцом и разложения последовательных модулей", Журнал Лондонского математического общества, 64 (2): 311–326, Дои:10.1112 / с0024610701002344
Варфилд, Роберт Б. мл. (1975), "Серийные кольца и конечно представленные модули", J. Алгебра, 37 (2): 187–222, Дои:10.1016/0021-8693(75)90074-5