Квазифробениус кольцо - Quasi-Frobenius ring

В математике, особенно теория колец, класс Кольца Фробениуса и их обобщения являются продолжением работы, проделанной над Алгебры Фробениуса. Возможно, наиболее важным обобщением является обобщение квазифробениусовские кольца (Кольца QF), которые, в свою очередь, обобщаются справа кольца псевдофробениуса (Кольца ПФ) и вправо конечно псевдофробениусовые кольца (Кольца FPF). Другие разнообразные обобщения квазифробениусовских колец включают QF-1, QF-2 и QF-3 кольца.

Эти типы колец можно рассматривать как потомки алгебр, исследованных Георг Фробениус. Неполный список пионеров квазифробениусовских колец включает Р. Брауэр, К. Морита, Т. Накаяма, К. Дж. Несбитт, и Р. М. Тралл.

Определения

Кольцо р является квазифробениус если и только если р удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

р является Нётерян с одной стороны и самоинъективный с одной стороны.
р является Артиниан сбоку и самоинъекция сбоку.
Хорошо (или все слева) р модули, которые проективный являются также инъективный.
Хорошо (или все слева) р модули, которые инъективны, также являются проективными.

А Кольцо Фробениуса р удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий. Позволять J= J (р) быть Радикал Якобсона из р.

р является квазифробениусом, а цоколь ${ Displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) cong R / J}$ как правильно р модули.
р является квазифробениусом и ${ Displaystyle mathrm {soc} (_ {R} R) cong R / J}$ как осталось р модули.
Как правильно р модули ${ Displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) cong R / J}$ , и как осталось р модули ${ Displaystyle mathrm {soc} (_ {R} R) cong R / J}$ .

Для коммутативного кольца р, следующие эквиваленты:

р Фробениус
р квазифробениус
р конечная прямая сумма местный художественные кольца с уникальными минимальные идеалы. (Такие кольца являются примерами нульмерных Местные кольца Горенштейна ".)

Кольцо р является правый псевдо-Фробениус при выполнении любого из следующих эквивалентных условий:

Каждый верный верно р модуль является генератор по категории права р модули.
р правильно самоинъективен и является когенератор мод-р.
р правильно самоинъективен и является конечно когенерация как право р модуль.
р является правильным самоинъективным и правильным Кольцо Kasch.
р правильно самоинъективно, полулокальный и цокольный соц (р_р) является существенный подмодуль из р.
р является когенератором Mod-р и является левым кольцом Каша.

Кольцо р является справа конечно псевдо-Фробениус если и только если каждый конечно порожденный верное право р модуль является генератором Mod-р.

Обобщения QF-1,2,3 Тралла

В оригинальной статье (Тралл 1948 )Р. М. Тралл сосредоточился на трех специфических свойствах (конечномерных) QF-алгебр и изучил их изолированно. С дополнительными предположениями эти определения также могут использоваться для обобщения колец QF. Некоторые другие математики, первооткрыватели этих обобщений, включали: К. Морита и Х. Тачикава.

Следующий (Андерсон и Фуллер 1992 ), позволять р быть левым или правым артиновым кольцом:

р является QF-1, если все точные левые модули и точные правые модули являются сбалансированные модули.
р является QF-2, если каждый неразложимый проективный правый модуль и каждый неразложимый проективный левый модуль имеет единственный минимальный подмодуль. (То есть у них простые цоколи.)
р является QF-3, если инъективные оболочки E (р_р) и E (_рр) оба являются проективными модулями.

Схема нумерации не обязательно описывает иерархию. В более слабых условиях эти три класса колец могут не содержать друг друга. В предположении, что р является артиновым слева или справа, однако кольца QF-2 являются QF-3. Существует даже пример кольца QF-1 и QF-3, которое не является QF-2.

Примеры

Каждый Фробениус k алгебра - это кольцо Фробениуса.
Каждый полупростое кольцо является квазифробениусовым, поскольку все модули проективны и инъективны. Однако верно даже большее: полупростые кольца - это все Фробениусы. В этом легко убедиться по определению, поскольку для полупростых колец ${ Displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) = mathrm {soc} (_ {R} R) = R}$ и J = рад (р) = 0.
В кольцо частного ${ Displaystyle { гидроразрыва { mathbb {Z}} {п mathbb {Z}}}}$ является QF для любого положительного целого числа п>1.
Коммутативный Артинианский серийные кольца все являются Фробениусом, и фактически обладают дополнительным свойством, что каждое факторкольцо р/я тоже Фробениус. Оказывается, что среди коммутативных артиновых колец серийные кольца - это в точности те кольца, все (ненулевые) факторы которых являются фробениусовыми.
Многие экзотические кольца PF и FPF можно найти в качестве примеров в (Вера 1984 )

Смотрите также

Квазифробениусовая алгебра Ли

Примечания

Определения для QF, PF и FPF легко увидеть как категориальные свойства, и поэтому они сохраняются Эквивалентность Морита, однако будучи кольцом Фробениуса не является сохранились.

Для односторонних нётеровых колец условия левой или правой PF совпадают с QF, но кольца FPF по-прежнему различны.

Конечномерная алгебра р над полем k Фробениус k-алгебра тогда и только тогда, когда р кольцо Фробениуса.

Кольца QF обладают тем свойством, что все их модули могут быть вложены в свободный р модуль. Это можно увидеть следующим образом. Модуль M встраивается в его инъективная оболочка E(M), который теперь тоже проективен. Как проективный модуль, E(M) является слагаемым свободного модуля F, и так E(M) встраивается в F с картой включения. Составив эти две карты, M встроен в F.

Учебники

Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97845-1
Вера, Карл; Пейдж, Стэнли (1984), Теория колец FPF: верные модули и генераторы Mod- $ R $, Серия лекций Лондонского математического общества № 88, Cambridge University Press, Дои:10.1017 / CBO9780511721250, ISBN 0-521-27738-8, МИСТЕР 0754181
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, МИСТЕР 1653294
Николсон, В. К .; Юсиф, М. Ф. (2003), Квазифробениусовские кольца, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-81593-2