Кольцо Горенштейна - Gorenstein ring

В коммутативная алгебра, а Горенштейновское местное кольцо коммутативный Нётерян местное кольцо р с конечным инъективное измерение как р-модуль. Существует много эквивалентных условий, некоторые из которых перечислены ниже, часто утверждая, что кольцо Горенштейна в некотором смысле самодуально.

Кольца Горенштейна были представлены Гротендик в своем семинаре 1961 г. (опубликовано в (Хартсхорн 1967 )). Название происходит от свойства двойственности особых плоских кривых, изученного Горенштейн  (1952 ) (который любил утверждать, что не понимает определения кольца Горенштейна^{[нужна цитата ]}). Нульмерный случай изучался Маколей (1934). Серр (1961) и Бас (1963) обнародовала концепцию колец Горенштейна.

Кольца Фробениуса являются некоммутативными аналогами нульмерных колец Горенштейна. Схемы Горенштейна являются геометрической версией колец Горенштейна.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсальные контактные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ полные кольца пересечения ⊃ регулярные местные кольца

Определения

А Кольцо Горенштейна коммутативное нётерово кольцо такое, что каждое локализация в главный идеал является локальным кольцом Горенштейна, как определено выше. Кольцо Горенштейна, в частности Коэн – Маколей.

Одна элементарная характеристика: нётерово локальное кольцо р из измерение ноль (эквивалентно, с р из конечная длина как р-модуль) горенштейново тогда и только тогда, когда Hom_р(k, р) имеет размерность 1 как k-векторное пространство, где k это поле вычетов из р. Эквивалентно, р имеет простой цоколь как р-модуль.^[1] В более общем смысле, местное кольцо Нётериана р горенштейновским тогда и только тогда, когда существует регулярная последовательность а₁,...,а_п в максимальном идеале р такое, что факторкольцо р/( а₁,...,а_п) горенштейново размерности нуль.

Например, если р коммутативный градуированная алгебра над полем k такой, что р имеет конечную размерность как k-векторное пространство, р = k ⊕ р₁ ⊕ ... ⊕ р_м, тогда р горенштейново тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет Двойственность Пуанкаре, что означает, что лучшая работа р_м имеет размерность 1 и продукт р_а × р_м−а → р_м это идеальное сочетание для каждого а.^[2]

Другая интерпретация свойства Горенштейна как типа двойственности для необязательно градуированных колец: для поля F, коммутативный F-алгебра р конечной размерности как F-векторное пространство (следовательно, размерность нуль как кольцо) горенштейново тогда и только тогда, когда существует F-линейная карта е: р → F такая, что симметричная билинейная форма (Икс, у) := е(ху) на р (как F-векторное пространство) невырожденный.^[3]

Для коммутативного нётерова локального кольца (р, м, k) размерности Крулля п, следующие эквиваленты:^[4]

• р имеет конечный инъективное измерение как р-модуль;
• р имеет инъективное измерение п как р-модуль;
• В Внешняя группа ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ за я ≠ п пока ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ для некоторых я > п;
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}$ для всех я < п и ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;}$
• р является п-мерное кольцо Горенштейна.

Кольцо (не обязательно коммутативное) р называется Горенштейном, если р имеет конечную инъективную размерность как левый р-модуль и как право р-модуль. Если р это местное кольцо, р называется локальным кольцом Горенштейна.

Примеры

• Каждый местный полное кольцо пересечения, в частности каждый обычное местное кольцо, это Горенштейн.
• Кольцо р = k[Икс,у,z]/(Икс², у², xz, yz, z²−ху) - 0-мерное кольцо Горенштейна, не являющееся полным кольцом пересечений. Подробнее: основа для р как k-векторное пространство задается: ${\displaystyle \{1,x,y,z,z^{2}\}.}$ р является Горенштейном, потому что цоколь имеет размерность 1 как k-векторное пространство, охватываемое z². В качестве альтернативы можно заметить, что р удовлетворяет двойственности Пуанкаре, если рассматривать его как градуированное кольцо с Икс, у, z все одной степени. Ну наконец то. р не является полным пересечением, поскольку имеет 3 образующих и минимальный набор из 5 (а не 3) отношений.

• Кольцо р = k[Икс,у]/(Икс², у², ху) является 0-мерным кольцом Коэна – Маколея, не являющимся кольцом Горенштейна. Подробнее: основа для р как k-векторное пространство задается: ${\displaystyle \{1,x,y\}.}$ р не горенштейнов, потому что цоколь имеет размерность 2 (а не 1) как k-векторное пространство, охватываемое Икс и у.

Характеристики

• Нётерово локальное кольцо является горенштейновым тогда и только тогда, когда его завершение - Горенштейн.^[5]

• В канонический модуль местного кольца Горенштейна р изоморфен р. С геометрической точки зрения отсюда следует, что стандартный дуализирующий комплекс схемы Горенштейна Икс над полем - это просто линейный пакет (рассматривается как комплекс степени −dim (Икс)); этот линейный пучок называется канонический пакет из Икс. Используя канонический пакет, Двойственность Серра принимает тот же вид для схем Горенштейна, что и в гладкий дело.

В контексте градуированных колец р, канонический модуль кольца Горенштейна р изоморфен р с некоторым смещением степени.^[6]

• Для локального кольца Горенштейна (р, м, k) размерности п, Локальная двойственность Гротендика принимает следующий вид.^[7] Позволять E(k) быть инъективная оболочка поля вычетов k как р-модуль. Тогда для любого конечно порожденного р-модуль M и целое число я, то локальные когомологии группа ${\displaystyle H_{m}^{i}(M)}$ двойственен ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R)}$ в том смысле, что:

${\displaystyle H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R),E(k)).}$

• Стэнли показал, что для конечно порожденной коммутативной градуированной алгебры р над полем k такой, что р является область целостности, свойство Горенштейна зависит только от свойства Коэна – Маколея вместе с Ряд Гильберта

${\displaystyle f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.}$

А именно оцениваемый домен р горенштейново тогда и только тогда, когда оно горенштейново, а ряд Гильберта симметричен в том смысле, что

${\displaystyle f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)}$

для некоторого целого числа s, куда п это размер р.^[8]

• Позволять (р, м, k) - нётерово локальное кольцо коразмерности вложения c, означающий, что c = тусклый_k(м/м²) - тусклый (р). С геометрической точки зрения это верно для локального кольца подсхемы коразмерности c по штатной схеме. За c максимум 2, Серр показало, что р является Горенштейном тогда и только тогда, когда это полное пересечение.^[9] Существует также структурная теорема для колец Горенштейна коразмерности 3 в терминах Пфаффианцы кососимметричной матрицы: Buchsbaum и Эйзенбуд.^[10]

Примечания

1. Эйзенбуд (1995), Предложение 21.5.
2. Хунеке (1999), теорема 9.1.
3. Лам (1999), теоремы 3.15 и 16.23.
4. Мацумура (1989), теорема 18.1.
5. Мацумура (1989), теорема 18.3.
6. Эйзенбуд (1995), раздел 21.11.
7. Брунс и Херцог (1993), теорема 3.5.8.
8. Стэнли (1978), теорема 4.4.
9. Эйзенбуд (1995), следствие 21.20.
10. Брунс и Херцог (1993), теорема 3.4.1.

Рекомендации

• Бас, Хайман (1963), «О повсеместности колец Горенштейна», Mathematische Zeitschrift, 82: 8–28, CiteSeerX  10.1.1.152.1137, Дои:10.1007 / BF01112819, ISSN  0025-5874, МИСТЕР  0153708
• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна – Маколея, Кембриджские исследования по высшей математике, 39, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-41068-7, МИСТЕР  1251956
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, МИСТЕР  1322960
• Горенштейн, Даниэль (1952 г.), «Арифметическая теория сопряженных плоских кривых», Труды Американского математического общества, 72: 414–436, Дои:10.2307/1990710, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990710, МИСТЕР  0049591
• Хартсхорн, Робин (1967), Локальные когомологии. Семинар А. Гротендика, Гарвардский университет, осень 1961 г., Конспект лекций по математике, 41, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0224620
• "Кольцо Горенштейна", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хунеке, Крейг (1999), «Хайман Басс и повсеместность: кольца Горенштейна», Алгебра, K-теория, группы и образование, Американское математическое общество, стр. 55–78, arXiv:математика / 0209199, Дои:10.1090 / conm / 243/03686, МИСТЕР  1732040
• Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике, 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294
• Маколей, Фрэнсис Соуэрби (1934), «Современная алгебра и полиномиальные идеалы», Математические труды Кембриджского философского общества, 30 (1): 27–46, Bibcode:1934PCPS ... 30 ... 27M, Дои:10.1017 / S0305004100012354, ISSN  0305-0041, JFM  60.0096.02
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36764-6, МИСТЕР  0879273
• Серр, Жан-Пьер (1961), Sur les modules projectifs, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, 14, стр. 1–16
• Стэнли, Ричард П. (1978), "Функции Гильберта градуированных алгебр", Успехи в математике, 28: 57–83, Дои:10.1016/0001-8708(78)90045-2, МИСТЕР  0485835