Кольцо Kasch - Kasch ring

В теория колец, подполе абстрактная алгебра, а правое кольцо Каша кольцо р для чего каждый просто верно р модуль изоморфен правильный идеал из р.^[1] Аналогично понятие покинул кольцо Каша определено, и эти два свойства не зависят друг от друга.

Кольца Каша названы в честь математика Фридрих Каш. Каш первоначально называл Артинианские кольца чей собственно идеалы иметь ненулевой аннигиляторы S-кольца. (Каш 1954 )(Морита 1966 ) Приведенные ниже характеризации показывают, что кольца Каша обобщают S-кольца.

Определение

Эквивалентные определения будут представлены только для правой версии, при том понимании, что левые аналоги также верны. Условия Каша имеют несколько эквивалентных утверждений, использующих концепцию аннигиляторы, и в этой статье используются те же обозначения, что и в статье об аннигиляторе.

В дополнение к определению, данному во введении, следующие свойства являются эквивалентными определениями для кольца р чтобы быть правым Каш. Они появляются в (Лам 1999, п. 281):

За каждое простое право р модуль S, существует ненулевой модуль гомоморфизм из M в р.
В максимальные правые идеалы из р являются правыми аннуляторами кольцевых элементов, т. е. каждый из них имеет вид ${ Displaystyle mathrm {r.ann} (х) ,}$ куда Икс в р.
Для любого максимального правого идеала Т из р, ${ Displaystyle mathrm { ell .ann} (Т) neq {0 }}$ .
Для любого правильного идеала Т из р, ${ Displaystyle mathrm { ell .ann} (Т) neq {0 }}$ .
Для любого максимального правого идеала Т из р, ${ Displaystyle mathrm {r.ann} ( mathrm { ell .ann} (T)) = T}$ .
р не имеет плотный правильные идеалы кроме р сам.

Примеры

Содержимое ниже можно найти в таких ссылках, как (Вера 1999, п. 109), (Лам 1999, §§8C, 19B), (Николсон и Юсиф 2003, стр.51).

Позволять р быть полупервичное кольцо с Радикал Якобсона J. Если р коммутативен, или если р/J это простое кольцо, тогда р правый (и левый) Каш. В частности, коммутативные Артинианские кольца идут правый и левый каш.
Для делительного кольца k, рассмотрим определенное подкольцо р кольца матриц размером четыре на четыре с элементами из k. Подкольцо р состоит из матриц следующего вида:

{ displaystyle { begin {bmatrix} a & 0 & b & c 0 & a & 0 & d 0 & 0 & a & 0 0 & 0 & 0 & e end {bmatrix}}}

Это правое и левое артиново кольцо, которое является правым Кашем, но нет покинул Каш.

Позволять S быть кольцом степенной ряд на двух некоммутирующих переменных Икс и Y с коэффициентами из поля F. Пусть идеал А быть идеалом, порожденным двумя элементами YX и Y². В кольцо частного S/А это местное кольцо что прав Каш, но нет покинул Каш.
Предполагать р кольцо прямой продукт бесконечного числа ненулевых колец, помеченных А_k. В прямая сумма из А_k формирует настоящий идеал р. Легко проверить, что левый и правый аннигиляторы этого идеала равны нулю, и поэтому р не правый или левый каш.
Два на два верхних (или нижних) кольцо с треугольной матрицей не правый или левый каш.
Кольцо с правой цоколь ноль (т.е. ${ Displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) = {0 }}$ ) не может быть правым Кашем, так как кольцо не содержит минимальные правые идеалы. Так, например, домены которые не делительные кольца не правый или левый каш.

Рекомендации

^ Этот идеал обязательно минимальный правый идеал.

Вера, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века, Математические обзоры и монографии, 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xxxiv + 422, ISBN 978-0-8218-0993-8, МИСТЕР 1657671
Каш, Фридрих (1954), "Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen", Математика. Анна. (на немецком), 127: 453–474, Дои:10.1007 / bf01361137, ISSN 0025-5831, МИСТЕР 0062724

Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, МИСТЕР 1653294
Морита, Киити (1966), "О S-кольца в смысле Ф. Каша », Nagoya Math. Дж., 27 (2): 687–695, Дои:10.1017 / S0027763000026477, ISSN 0027-7630, МИСТЕР 0199230
Николсон, В. К .; Юсиф, М. Ф. (2003), Квазифробениусовские кольца, Кембриджские трактаты по математике, 158, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Xviii + 307, Дои:10.1017 / CBO9780511546525, ISBN 978-0-521-81593-2, МИСТЕР 2003785

[1] Этот идеал обязательно минимальный правый идеал.

[1]