Самопогибание - Self-buckling

А столбец может прогнуться под собственным весом без каких-либо других прямых силы воздействуя на него, в режиме отказа, называемом самопогибающийся. В обычном столбце коробление проблем собственным весом часто пренебрегают, поскольку он считается малым по сравнению с применяемым осевым грузы. Однако, когда это предположение неверно, важно принимать во внимание самоизгибание.

Упругое изгибание «тяжелой» колонны, т. Е. Изгиб колонны под действием собственного вес, был впервые исследован Гринхиллом в 1881.^[1] Он обнаружил, что отдельно стоящая вертикальная колонна с плотность ${\displaystyle \rho }$, Модуль для младших ${\displaystyle E}$, и площадь поперечного сечения ${\displaystyle A}$, прогнется под собственным весом, если рост превышает определенное критическое значение:

${\displaystyle l_{\text{max}}\approx \left(7.8373\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

где ${\displaystyle g}$ это ускорение из-за сила тяжести, ${\displaystyle I}$ это второй момент площади из луч поперечное сечение.

Один интересный пример использования уравнение было предложено Гринхиллом в его статье. Он оценил максимальную высоту сосна дерево, и обнаружил, что он не может расти более 90-футов высокий. Эта длина устанавливает максимальную высоту для деревьев на Земля если предположить, что деревья призматический и ветви пренебрегают.

Математический вывод

Колонна, демонстрирующая сжимающую нагрузку изгиба под действием собственного веса.

Предположим, что однородная колонна закреплена в вертикальном направлении в самой нижней точке и поднята на высоту ${\displaystyle l}$, при котором вертикальное положение становится неустойчивым и начинается прогиб. Существует сила тела ${\displaystyle q}$ на единицу длины ${\displaystyle q=\rho gA}$, где ${\displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения колонны, ${\displaystyle g}$ это ускорение свободного падения и ${\displaystyle \rho }$ его массовая плотность.

Колонна слегка изогнута под собственным весом, поэтому кривая ${\displaystyle w(x)}$ описывает отклонение балки в ${\displaystyle y}$ направление в некоторой позиции ${\displaystyle x}$. Глядя в любую точку столбца, мы можем написать момент равновесие:

${\displaystyle M=-\int _{0}^{x}q(y-w)\mathrm {d} x}$

где правая часть уравнения - момент веса БП относительно P.

Согласно с Теория пучка Эйлера – Бернулли:

${\displaystyle M=-EI{\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}}$

куда ${\displaystyle E}$ - модуль упругости вещества Юнга, ${\displaystyle I}$ момент инерции.

Следовательно дифференциальное уравнение центральной линии БП составляет:

${\displaystyle EI{\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}=q\int _{0}^{x}(y-w)\mathrm {d} x}$

Дифференцируя по x, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\mathrm {d} ^{3}w \over \mathrm {d} x^{3}}&=q\int _{0}^{x}\left(-{\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}\right)\mathrm {d} x\\&=-qx{\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}\end{aligned}}}$

Получаем, что определяющим уравнением является линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменным коэффициентом. Способ решения проблемы - использование новых переменных ${\displaystyle n,z,k}$ и ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle k^{2}={4 \over 9}{q \over EI},\quad r^{2}=x^{3},\quad {\sqrt {x}}z={\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x},\quad n^{2}={1 \over 3^{2}}}$

Затем уравнение переходит в Уравнение Бесселя

${\displaystyle r^{2}{\mathrm {d} ^{2}z \over \mathrm {d} r^{2}}+r{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} r}+\left(k^{2}r^{2}-n^{2}\right)z=0}$

Решение преобразованного уравнения есть ${\displaystyle z=AJ_{\frac {1}{3}}(kr)+BJ_{-{\frac {1}{3}}}(kr)}$

куда ${\displaystyle J_{n}}$ - функция Бесселя первого рода. Тогда решение исходного уравнения:

${\displaystyle {\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}={\sqrt {x}}\left(AJ_{\frac {1}{3}}\left(kx^{\frac {3}{2}}\right)+BJ_{-{\frac {1}{3}},1}\left(kx^{\frac {3}{2}}\right)\right)}$

Теперь мы будем использовать граничные условия:

• Нет момента в ${\displaystyle x=0\rightarrow {\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}(x=0)=0\rightarrow A=0}$
• Исправлено в ${\displaystyle x=l\rightarrow w(l)=0\rightarrow J_{-{\frac {1}{3}}}\left(kl^{\frac {3}{2}}\right)=0}$

Из второй до н.э. мы получаем, что критическая длина, при которой вертикальная колонна будет прогибаться под собственным весом, равна:

${\displaystyle l_{\text{max}}=\left({\frac {j_{{\frac {1}{3}},1}}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=\left({\frac {9{j_{{\frac {1}{3}},1}}^{2}}{4}}{\frac {EI}{q}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

С помощью ${\displaystyle j_{{\frac {1}{3}},1}\approx 1.86635}$ , первый нуль функции Бесселя первого рода порядка ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle l_{\text{max}}}$ может быть приближено к:

${\displaystyle l_{\text{max}}\approx \left(7.8373\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Ошибка Эйлера

Колонна под собственным весом рассматривалась Эйлером в трех известных работах (1778a, 1778b, 1778c).^[2][3][4]. В своей первой статье Эйлер (1778a) пришел к выводу, что колонна, просто поддерживаемая собственным весом, никогда не потеряет своей устойчивости. Во второй статье по этой теме Эйлер (1778b) описал свой предыдущий результат как парадоксальный и подозрительный (см. Пановко и Губанова (1965); Николай, (1955)^[5] ; Тодхантер и Пирсон (1866)^[6] по этой теме). В следующей, третьей по счету статье, Эйлер (1778c) обнаружил, что он допустил концептуальную ошибку, и вывод о «бесконечной изгибающей нагрузке» оказался неверным. Однако, к сожалению, он допустил численную ошибку и вместо первого собственного значения вычислил второе. Правильные решения были получены Динником (1912).^[7] , 132 года спустя, а также Виллерс (1941)^[8], Энгельгардт (1954)^[9] и Фрич-Фэй (1966)^[10]. Численное решение с произвольной точностью было дано Эйзенбергером (1991).^[11].

Смотрите также

• Коробление
• Изгибающий момент
• Критическая нагрузка Эйлера
• Гибка
• Теория пучка Эйлера – Бернулли

внешние ссылки

• Продвинутая тема по деформации колонн, MIT Open-Course-Ware
• Самостоятельная деформация продольного изгиба в онлайн-справочнике Opera Magistris v3.7 Глава 15, раздел 2.2.4.1, ISBN  978-2-8399-0932-7.

использованная литература

1. "Greenhill, AG (1881)." Определение наибольшей высоты, соответствующей устойчивости, которую может быть изготовлен вертикальный столб или мачта, и наибольшей высоты, до которой может вырасти дерево заданных размеров ". Proc. Cambridge Philos. Soc., 4, 65–73 " (PDF).
2. Эйлер, Л. (1778a) Determinatio onerum, quae columnae gestare valent, Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae, Vol. 1, 121-145 (на латыни).
3. Эйлер, Л. (1778b) Examen insignis puradoxi in theoria columnarum occurentis, Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae, Vol. 1, 146-162 (на латыни).
4. Эйлер, Л. (1778c) De Altitudine columnarum sub proprio pondere correentium, Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae, Vol. 1, 163-193 (на латыни).
5. Николай Е.В., Работает по механикеМ .: Гостехиздат, 1955. С. 436-454.
6. Тодхантер И. и Пирсон К., История теории упругости, Vol. 1. С. 39-50. Издательство Кембриджского университета, 1886 г.
7. Динник А.Н. Потеря устойчивости под действием собственного веса // Известия Донского политехнического института 1 (часть 2), с. 19, 1912 с.
8. Виллерс Ф.А., Das Knicken Schwerer Gestänge, ZAMM ‐ Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 21 (1), (1941) 43–51 (на немецком языке).
9. Энгельгардт, Х., Die einheitliche Behandlung der Stabknickung mit Beruecksichtung des Stabeigengewichte in den Eulerfaellen 1 bis 4 als Eigenwertproblem, Der Stahlbau, Vol. 23 (4), 80–84, 1954 (на немецком языке).
10. Фрич-Фэй Р. Об устойчивости стойки при равномерно распределенных осевых силах // Прикл. J. Solids Struct., Vol. 2, 361–369, 1966.
11. Айзенбергер М. Нагрузки на изгиб для элемента переменного поперечного сечения с переменными осевыми силами // Прикл. J. Solids Struct., Vol. 27, 135–143, 1991.