Теорема выбора - Selection theorem

В функциональный анализ, раздел математики, теорема выбора - теорема, гарантирующая существование однозначных функция выбора из заданной многозначной карты. Существуют различные селекционные теоремы, и они важны в теориях дифференциальные включения, оптимальный контроль, и математическая экономика.^[1]

Предварительные мероприятия

Учитывая два набора Икс и Y, позволять F быть многозначная карта из Икс и Y. Эквивалентно, ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$это функция от Икс к набор мощности из Y.

Функция ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ считается отбор из F, если

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

Другими словами, учитывая ввод Икс для которого исходная функция F возвращает несколько значений, новая функция ж возвращает единственное значение. Это частный случай функция выбора.

В аксиома выбора подразумевает, что функция выбора всегда существует; однако часто бывает важно, чтобы выборка имела некоторые «приятные» свойства, например, была непрерывной или измеримой. Именно здесь вступают в силу селекционные теоремы: они гарантируют, что если F удовлетворяет определенным свойствам, тогда у него есть выбор ж который является непрерывным или имеет другие желательные свойства.

Теоремы выбора для многозначных функций

1. В Теорема Майкла о выборе^[2] говорит, что следующих условий достаточно для существования непрерывный выбор:

• Икс это паракомпакт Космос;
• Y это Банахово пространство;
• F является нижняя полунепрерывная;
• Для всех Икс в Икс, набор F(Икс) непусто, выпуклый и закрыто.

2. Теорема Дойча – Кендерова.^[3] обобщает теорему Майкла следующим образом:

• Икс это паракомпакт Космос;
• Y это нормированное векторное пространство;
• F является почти нижняя полунепрерывная, то есть на каждом ${\displaystyle x\in X}$, для каждого района ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle 0}$ существует район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle x}$ такой, что ${\displaystyle \cap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset .}$
• Для всех Икс в Икс, набор F(Икс) непусто и выпуклый.

Эти условия гарантируют, что ${\displaystyle F}$ имеет непрерывный приблизительный выбор, то есть для каждого района ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle Y}$ есть непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\mapsto Y}$ так что для каждого ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f(x)\in F(X)+V}$.^[3]

В более поздней заметке Сюй доказал, что теорема Дойча – Кендерова также верна, если ${\displaystyle Y}$ является локально выпуклым топологическое векторное пространство.^[4]

3. Теорема Яннелиса-Прабхакара о выборе^[5] говорит, что следующих условий достаточно для существования непрерывный выбор:

• Икс это паракомпакт Пространство Хаусдорфа;
• Y это линейное топологическое пространство;
• Для всех Икс в Икс, набор F(Икс) непусто и выпуклый.
• Для всех у в Y, обратное множество F⁻¹(у) является открытый набор в X.

4. В Теорема Куратовского и измеримого выбора Рыль-Нардзевского говорит, что следующих условий достаточно для существования измеримый выбор:

• ${\displaystyle X}$ это Польское пространство и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ это Борель σ-алгебра;
• ${\displaystyle Cl(X)}$ - множество непустых замкнутых подмножеств ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ а измеримое пространство, и ${\displaystyle F:\Omega \to Cl(X)}$ а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-слабо измеримая карта (то есть для каждого открытого подмножества ${\displaystyle U\subseteq X}$ у нас есть ${\displaystyle \{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$).

потом ${\displaystyle F}$ имеет отбор то есть ${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$-измеримый.^[6]

Смотрите также

Список селекционных теорем

Рекомендации

1. Граница, Ким С. (1989). Теоремы о неподвижной точке в приложениях к экономике и теории игр. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-26564-9.
2. Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывный выбор. I». Анналы математики. Вторая серия. 63 (2): 361–382. Дои:10.2307/1969615. HDL:10338.dmlcz / 119700. JSTOR  1969615. МИСТЕР  0077107.
3. Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный отбор и приблизительный отбор для многозначных отображений и приложений к метрическим проекциям». Журнал СИАМ по математическому анализу. 14 (1): 185–194. Дои:10.1137/0514015.
4. Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметка о непрерывной теореме приближенного выбора». Журнал теории приближений. 113 (2): 324–325. Дои:10.1006 / jath.2001.3622.
5. Яннелис, Николас С .; Прабхакар, Н. Д. (1983-12-01). «Существование максимальных элементов и положений равновесия в линейных топологических пространствах». Журнал математической экономики. 12 (3): 233–245. Дои:10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN  0304-4068.
6. Богачев В. И., "Теория меры" Том II, стр. 36.