Гипотеза Сегалса - Segals conjecture

Гипотеза Сигала о кольце Бернсайда, или, короче, Гипотеза Сигала, это теорема в теория гомотопии, филиал математика. Теорема связывает Кольцо Burnside конечного группа грамм к стабильная когомотопия из классификация пространства BG. Гипотеза была сделана в середине 1970-х гг. Грэм Сигал и доказано в 1984 г. Гуннар Карлссон. По состоянию на 2016 год^{[Обновить]}, это утверждение до сих пор обычно называют гипотезой Сигала, хотя теперь оно имеет статус теоремы.

Формулировка теоремы

Гипотеза Сигала имеет несколько различных формулировок, не все из которых эквивалентны. Вот слабая форма: для каждой конечной группы существует грамм, изоморфизм

${\displaystyle \varprojlim \pi _{S}^{0}\left(BG_{+}^{(k)}\right)\to {\widehat {A}}(G).}$

Здесь lim обозначает обратный предел, π_S* обозначает стабильное когомотопическое кольцо, B обозначает классифицирующее пространство, верхний индекс k обозначает k-скелет, а нижний индекс + означает добавление непересекающейся базовой точки. Справа шляпа обозначает завершение кольца Бернсайда относительно его идеальное увеличение.

Кольцо Бернсайда

Основная статья: Кольцо Burnside

Бернсайдовское кольцо конечной группы грамм построен из категории конечных грамм-наборы как Группа Гротендик. Точнее, пусть M(грамм) быть коммутативным моноид классов изоморфизма конечных грамм-множеств, с добавлением несвязного объединения грамм-sets и элемент идентичности пустой набор (который является грамм-установлен уникальным способом). потом А(грамм), группа Гротендика M(грамм), является абелевой группой. На самом деле это свободный абелева группа с базисными элементами, представленными грамм-наборы грамм/ЧАС, куда ЧАС варьируется по подгруппам грамм. (Обратите внимание, что ЧАС здесь не предполагается, что это нормальная подгруппа грамм, в течении некоторого времени грамм/ЧАС в данном случае не группа, это все же грамм-установить звенеть структура на А(грамм) индуцируется прямым произведением грамм-наборы; мультипликативное тождество - это одноточечное множество (класс изоморфизма любого), которое становится грамм-установлен уникальным образом.

Кольцо Бернсайда является аналогом представительское кольцо в категории конечных множеств, в отличие от категории конечномерных векторные пространства через поле (видеть мотивация ниже). Это оказалось важным инструментом в теория представлений конечных групп.

Классифицирующее пространство

Основная статья: Классификация пространства

Для любого топологическая группа грамм признавая структуру CW-комплекс можно рассматривать категорию главный грамм-бандлы. Можно определить функтор из категории CW-комплексов в категорию наборов путем присвоения каждому CW-комплексу Икс набор основных грамм-бандлы на Икс. Этот функтор спускается до функтора в гомотопической категории CW-комплексов, и естественно спросить, является ли полученный таким образом функтор представимый. Ответ утвердительный, и представляющий объект называется классифицирующим пространством группы. грамм и обычно обозначается BG. Если ограничиться гомотопической категорией CW-комплексов, то BG уникален. Любой CW-комплекс, гомотопически эквивалентный BG называется модель за BG.

Например, если грамм группа порядка 2, то модель для BG - бесконечномерное реальное проективное пространство. Можно показать, что если грамм конечно, то любое CW-сложное моделирование BG имеет ячейки сколь угодно большой размерности. С другой стороны, если грамм = Z, целые числа, затем классифицирующее пространство BG гомотопически эквивалентен окружности S¹.

Мотивация и интерпретация

Содержание теоремы становится несколько яснее, если поместить ее в исторический контекст. В теории представлений конечных групп можно образовать объект ${\displaystyle R[G]}$ называется представительным кольцом ${\displaystyle G}$ способом, полностью аналогичным конструкции кольца Бернсайда, описанной выше. Конюшня когомотопия в некотором смысле естественный аналог сложного K-теория, который обозначается ${\displaystyle KU^{*}}$. Сигал был вдохновлен сделать свою догадку после Майкл Атья доказал существование изоморфизма

${\displaystyle KU^{0}(BG)\to {\widehat {R}}[G]}$

что является частным случаем Теорема Атьи – Сигала о пополнении.

Рекомендации

• Адамс, Дж. Франк (1980). "Гипотеза Бернсайда о кольце Грэма Сигала". Симпозиум по топологии, Зиген, 1979 г.. Конспект лекций по математике. 788. Берлин: Springer. С. 378–395. МИСТЕР  0585670.
• Карлссон, Гуннар (1984). «Эквивариантная стабильная гомотопия и гипотеза Бернсайда о кольце Сигала». Анналы математики. 120 (2): 189–224. Дои:10.2307/2006940. JSTOR  2006940. МИСТЕР  0763905.