Резольвент кубический - Resolvent cubic

График полиномиальной функции Икс⁴ + Икс³ – Икс² – 7Икс/4 – 1/2 (зеленым) вместе с графиком его резольвентной кубики р₄(у) (в красном). Видны корни обоих многочленов.

В алгебра, а резольвентная кубическая является одним из нескольких различных, хотя и связанных, кубические многочлены определяется из моник многочлен четвертой степени:

${\displaystyle P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

В каждом случае:

• Коэффициенты резольвентной кубики могут быть получены из коэффициентов при п(Икс) используя только суммы, вычитания и умножения.
• Зная корни резольвентного кубика п(Икс) полезно для поиска корней п(Икс) сам. Отсюда и название «резольвентная кубическая».
• Полином п(Икс) имеет множественный корень тогда и только тогда, когда его резольвентная кубика имеет кратный корень.

Определения

Предположим, что коэффициенты при п(Икс) принадлежат к поле k чей характеристика отличается от2. Другими словами, мы работаем в сфере, в которой 1 + 1 ≠ 0. Когда бы корни п(Икс) упомянуты, они принадлежат некоторым расширение K из k такой, что п(Икс) факторов в линейные факторы в K[Икс]. Если k это поле Q рациональных чисел, то K может быть полем C комплексных чисел или поля Q из алгебраические числа.

В некоторых случаях понятие резольвентной кубики определяется только тогда, когда п(Икс) является квартикой в ​​депрессивной форме, то есть когда а₃ = 0.

Обратите внимание, что четвертый и пятый определения ниже также имеют смысл и что связь между этими резольвентными кубиками и п(Икс) по-прежнему действительны, если характеристика k равно2.

Первое определение

Предположим, что п(Икс) депрессивная квартика, то есть а₃ = 0. Возможное определение резольвентной кубики п(Икс) является:^[1]

${\displaystyle R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{1}}^{2}.}$

Происхождение этого определения лежит в применении Метод Феррари найти корни п(Икс). Если быть более точным:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}}$

Добавить новое неизвестное, у, к Икс² + а₂/2. Теперь у вас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}}$

Если это выражение квадрат, это может быть только квадрат

${\displaystyle {\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.}$

Но равенство

${\displaystyle \left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}}$

эквивалентно

${\displaystyle {\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}}$

и это то же самое, что и утверждение, что р₁(у) = 0.

Если у₀ это корень р₁(у), то вследствие проведенных выше вычислений корни п(Икс) являются корнями многочлена

${\displaystyle x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}}$

вместе с корнями многочлена

${\displaystyle x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.}$

Конечно, в этом нет смысла, если у₀ = 0, но поскольку постоянный член р₁(у) является –а₁², 0 это корень р₁(у) если и только если а₁ = 0, и в этом случае корни п(Икс) можно найти с помощью квадратичная формула.

Второе определение

Другое возможное определение^[1] (все еще предполагая, что п(Икс) является депрессивной квартикой)

${\displaystyle R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}}$

Происхождение этого определения аналогично предыдущему. На этот раз мы начнем с:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}}$

и вычисление, аналогичное предыдущему, показывает, что это последнее выражение является квадратом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle 8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}}$

Простое вычисление показывает, что

${\displaystyle R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).}$

Третье определение

Другое возможное определение^[2][3] (опять же, предполагая, что п(Икс) является депрессивной квартикой)

${\displaystyle R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}}$

Происхождение этого определения лежит в другом методе решения уравнений четвертой степени, а именно Метод Декарта. Если вы попытаетесь найти корни п(Икс) выразив его как произведение двух монических квадратичных многочленов Икс² + αx + β и Икс² – αx + γ, тогда

${\displaystyle P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}$

Если есть решение этой системы с α ≠ 0 (обратите внимание, что если а₁ ≠ 0, то это автоматически верно для любого решения), предыдущая система эквивалентна

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.}$

Это следствие первых двух уравнений, что тогда

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)}$

и

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).}$

После замены в третьем уравнении β и γ по этим значениям получается, что

${\displaystyle \left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}}$

и это эквивалентно утверждению, что α² это корень р₃(у). Итак, опять же, зная корни р₃(у) помогает определить корни п(Икс).

Обратите внимание, что

${\displaystyle R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}}$

Четвертое определение

Еще одно возможное определение:^[4]

${\displaystyle R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.}$

На самом деле, если корни п(Икс) находятся α₁, α₂, α₃, и α₄, тогда

${\displaystyle R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

факт следует из Формулы Виета. Другими словами, р₄(у) - унитарный многочлен, корни которого равны α₁α₂ + α₃α₄, α₁α₃ + α₂α₄, и α₁α₄ + α₂α₃.

Легко заметить, что

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

и

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Следовательно, п(Икс) имеет множественный корень если и только если р₄(у) имеет множественный корень. Точнее, п(Икс) и р₄(у) имеют то же самое дискриминант.

Следует отметить, что если п(Икс) - вдавленный многочлен, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Пятое определение

Еще одно определение^[5][6]

${\displaystyle R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}}$

Если, как указано выше, корни п(Икс) находятся α₁, α₂, α₃, и α₄, тогда

${\displaystyle R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

опять же как следствие Формулы Виета. Другими словами, р₅(у) - унитарный многочлен, корни которого равны (α₁ + α₂)(α₃ + α₄),(α₁ + α₃)(α₂ + α₄), и (α₁ + α₄)(α₂ + α₃).

Легко заметить, что

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

и

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Поэтому, как это бывает с р₄(у), п(Икс) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда р₅(у) имеет множественный корень. Точнее, п(Икс) и р₅(у) имеют такой же дискриминант. Это тоже следствие того, что р₅(у + а₂) = р₄(у).

Обратите внимание, что если п(Икс) - вдавленный многочлен, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Приложения

Решение уравнений четвертой степени

Выше было объяснено, как р₁(у), р₂(у), и р₃(у) можно использовать, чтобы найти корни п(Икс) если этот многочлен вдавлен. В общем случае достаточно найти корни вдавленного многочлена п(Икс − а₃/4). Для каждого корняИкс₀ этого многочлена, Икс₀ − а₃/4 это кореньп(Икс).

Факторизация полиномов четвертой степени

Если многочлен четвертой степени п(Икс) является сводимый в k[Икс], то это произведение двух квадратичных многочленов или произведение линейного многочлена на кубический многочлен. Эта вторая возможность возникает тогда и только тогда, когда п(Икс) имеет корень вk. Чтобы определить, действительно ли п(Икс) может быть выражено как произведение двух квадратичных многочленов, допустим, для простоты, что п(Икс) - вдавленный многочлен. Тогда это было видно над что если резольвентная кубическая р₃(у) имеет ненулевой корень формы α², для некоторых α ∈ k, то такое разложение существует.

Это может быть использовано для доказательства того, что в р[Икс], каждый многочлен четвертой степени без действительных корней может быть выражен как произведение двух квадратичных многочленов. Позволять п(Икс) быть таким многочленом. Мы можем предположить не теряя общий смысл который п(Икс) моник. Мы также можем предположить без ограничения общности, что это приведенный многочлен, поскольку п(Икс) может быть выражено как произведение двух квадратичных многочленов тогда и только тогда, когда п(Икс − а₃/4) может, и этот многочлен является приведенным. потом р₃(у) = у³ + 2а₂у² + (а₂² − 4а₀)у − а₁². Есть два случая:

• Если а₁ ≠ 0 тогда р₃(0) = −а₁² < 0. С р₃(у) > 0 если у достаточно большой, то по теорема о промежуточном значении, р₃(у) имеет корень у₀ с у₀ > 0. Итак, мы можем взять α = √у₀.
• Если а₁ = 0, тогда р₃(у) = у³ + 2а₂у² + (а₂² − 4а₀)у. Корни этого многочлена равны0 и корни квадратичного многочленау² + 2а₂у + а₂² − 4а₀. Если а₂² − 4а₀ < 0, то произведение двух корней этого многочлена меньше, чем0 и поэтому он имеет корень больше, чем0 (что оказывается −а₂ + 2√а₀) и мы можем взять α как квадратный корень из этого корня. Иначе, а₂² − 4а₀ ≥ 0 а потом,

${\displaystyle P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}}$

В более общем смысле, если k это настоящее закрытое поле, то всякий многочлен четвертой степени без корней из k может быть выражено как произведение двух квадратичных многочленов от k[Икс]. Действительно, это утверждение можно выразить в логика первого порядка и любое такое утверждение, справедливое для р также верно для любого реального замкнутого поля.

Аналогичный подход можно использовать для получения алгоритма^[2] чтобы определить, является ли многочлен четвертой степени п(Икс) ∈ Q[Икс] приводимо, и, если да, то как выразить его как произведение многочленов меньшей степени. Снова предположим, чтоп(Икс) моничен и подавлен. потомп(Икс) приводимо тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• Полином п(Икс) имеет рациональный корень (это можно определить с помощью теорема о рациональном корне ).
• Резольвентная кубическаяр₃(у) имеет корень вида α², для некоторого ненулевого рационального числаα (опять же, это можно определить с помощью теорема о рациональном корне ).
• Номер а₂² − 4а₀ квадрат рационального числа и а₁ = 0.

В самом деле:

• Если п(Икс) имеет рациональный корень р, тогда п(Икс) это продукт Икс − р кубическим полиномом от Q[Икс], который можно определить как полиномиальное деление в столбик или по Правило Руффини.
• Если есть рациональное числоα ≠ 0 такой, что α² это кореньр₃(у), было показано над как выразитьп(Икс) как произведение двух квадратичных многочленов от Q[Икс].
• Наконец, если выполняется третье условие и если δ ∈ Q таково, что δ² = а₂² − 4а₀, тогда п(Икс) = (Икс² + (а₂ + δ)/2)(Икс² + (а₂ − δ)/2).

Группы Галуа неприводимых многочленов четвертой степени

Резольвентная кубика неприводимый многочлен четвертой степени п(Икс) может использоваться для определения его Группа Галуа грамм; то есть группа Галуа поле расщепления из п(Икс). Позволятьм быть степень над k поля расщепления резольвентной кубики (может быть р₄(у) или же р₅(у); у них одинаковое поле расщепления). Тогда группаграмм является подгруппой симметричная группа S₄. Точнее:^[4]

• Если м = 1 (то есть, если резольвентные кубические разложить на линейные множители вk), тогдаграмм это группа {е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
• Если м = 2 (то есть, если резольвентная кубика имеет единицу и, до кратности, только один корень вk), то для определенияграмм, можно определить, действительно ли п(Икс) остается неприводимым после присоединения к полю k корни резольвентной кубики. Если нет, то грамм это циклическая группа из порядок 4; точнее, это одна из трех циклических подгрупп группыS₄ генерируется любым из шести 4-циклы. Если он все еще несократим, то грамм является одной из трех подгруппS₄ порядка8, каждый из которых изоморфен группа диэдра порядка8.
• Если м = 3, тогда грамм это переменная группа А₄.
• Если м = 6, тогда грамм вся группа S₄.

Смотрите также

• Резольвент (теория Галуа)

Рекомендации

1. Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Уравнения четвертой степени», Теория Галуа алгебраических уравнений (2-е изд.), Всемирный научный, ISBN  978-981-4704-69-4, Zbl  1333.12001
2. Брукфилд, Г. (2007), "Факторизация многочленов четвертой степени: потерянное искусство" (PDF), Математический журнал, 80 (1): 67–70, JSTOR  27642994, Zbl  1227.97040, заархивировано из оригинал (PDF) на 2015-02-21
3. Хартсхорн, Робин (1997), "Проблемы построения и расширения полей: кубические и четвертые уравнения", Геометрия: Евклид и не только, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98650-2, Zbl  0954.51001
4. Каплански, Ирвинг (1972), "Поля: кубические и уравнения четвертой степени", Поля и кольца, Чикагские лекции по математике (2-е изд.), Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-42451-0, Zbl  1001.16500
5. Ротман, Джозеф (1998), "Группы Галуа квадратичных, кубических и квартик", Теория Галуа (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98541-7, Zbl  0924.12001
6. ван дер Варден, Бартель Леендерт (1991), «Теория Галуа: уравнения второй, третьей и четвертой степеней», Алгебра, 1 (7-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-97424-5, Zbl  0724.12001