Резольвент (теория Галуа) - Resolvent (Galois theory)

В Теория Галуа, дисциплина в области абстрактная алгебра, а противовоспалительное средство для группа перестановок грамм это многочлен коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов данного многочлена п и имеет, грубо говоря, рациональный корень тогда и только тогда, когда Группа Галуа из п входит в грамм. Точнее, если группа Галуа входит в грамм, то резольвента имеет рациональный корень, и обратное верно, если рациональный корень простой корень.Растворители были представлены Жозеф Луи Лагранж и систематически используется Эварист Галуа. В настоящее время они по-прежнему являются основным инструментом для вычисления Группы Галуа. Простейшие примеры резольвент:

• ${\displaystyle X^{2}-\Delta }$ куда ${\displaystyle \Delta }$ это дискриминант, которая является резольвентой для переменная группа. В случае кубическое уравнение, эту резольвенту иногда называют квадратичная резольвента; его корни явно входят в формулы для корней кубического уравнения.
• В кубическая резольвента из уравнение четвертой степени, которая является резольвентой для группа диэдра из 8 элементов.
• В Резольвент Кэли является резольвентой максимальной разрешимой группы Галуа пятой степени. Это полином шестой степени.

Эти три резольвенты обладают свойством быть всегда отделимый, что означает, что если они имеют кратный корень, то многочлен п не является неприводимым. Неизвестно, существует ли всегда разделимая резольвента для каждой группы перестановок.

Для любого уравнения корни могут быть выражены через радикалы и корень резольвенты для разрешимой группы, потому что группа Галуа уравнения над полем, порожденным этим корнем, разрешима.

Определение

Позволять п - положительное целое число, которое будет степенью уравнения, которое мы будем рассматривать, и (Икс₁, ..., Икс_п) упорядоченный список неопределенный. Это определяет общий многочлен степенип

${\displaystyle F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),}$

куда E_я это я^th элементарный симметричный многочлен.

В симметричная группа S_п действует на Икс_я переставляя их, и это индуцирует действие на многочлены из Икс_я. В стабилизатор данного многочлена при этом действии обычно тривиально, но некоторые многочлены имеют больший стабилизатор. Например, стабилизатором элементарного симметрического многочлена является вся группа S_п. Если стабилизатор нетривиален, многочлен фиксируется некоторой нетривиальной подгруппой грамм; говорят инвариантный из грамм. И наоборот, учитывая подгруппу грамм из S_п, инвариант грамм это резольвентный инвариант за грамм если это не инвариант какой-либо большей подгруппы S_п.^[1]

Нахождение инвариантов для данной подгруппы грамм из S_п относительно легко; можно суммировать орбита монома под действием S_п. Однако может случиться так, что полученный многочлен будет инвариантом для большей группы. Например, рассмотрим случай подгруппы грамм из S₄ порядка 4, состоящий из (12)(34), (13)(24), (14)(23) и тождество (обозначения см. Группа перестановок ). Моном Икс₁Икс₂ дает инвариант 2(Икс₁Икс₂ + Икс₃Икс₄). Это не резольвентный инвариант для грамм, как инвариантный (12), по сути, это резольвентный инвариант для диэдральной подгруппы ⟨(12), (1324)⟩, и используется для определения резольвентная кубическая из уравнение четвертой степени.

Если п является резольвентным инвариантом для группы грамм из индекс м, то его орбита под S_п есть заказ м. Позволять п₁, ..., п_м быть элементами этой орбиты. Тогда многочлен

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

инвариантен относительно S_п. Таким образом, в разложенном виде его коэффициенты являются полиномами от Икс_я которые инвариантны относительно действия группы симметрии и, таким образом, могут быть выражены в виде многочленов от элементарных симметричных многочленов. Другими словами, р_грамм является неприводимый многочлен в Y коэффициенты которого полиномиальны от коэффициентов F. Имея инвариант резольвенты в качестве корня, он называется противовоспалительное средство (иногда резольвентное уравнение).

Рассмотрим теперь неприводимый многочлен

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

с коэффициентами в заданном поле K (обычно поле рациональных чисел ) и корни Икс_я в алгебраически замкнутое поле расширение. Подставляя Икс_я посредством Икс_я и коэффициенты при F теми из ж в том, что предшествует, мы получаем многочлен ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$, также называемый противовоспалительное средство или же специализированное противовоспалительное средство в случае неясности). Если Группа Галуа из ж содержится в грамм, специализация резольвентного инварианта инвариантна грамм и, таким образом, является корнем ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ это принадлежит K (рационально на K). Наоборот, если ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ имеет рациональный корень, который не является кратным корнем, группа Галуа ж содержится в грамм.

Терминология

Есть несколько вариантов терминологии.

• В зависимости от авторов или контекста, противовоспалительное средство может относиться к резольвентный инвариант вместо того, чтобы резольвентное уравнение.
• А Резольвента Галуа - резольвента такая, что резольвентный инвариант линейен по корням.
• В Резольвента Лагранжа может относиться к линейному многочлену

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$

куда ${\displaystyle \omega }$ это примитивный пй корень единства. Это резольвентный инвариант резольвенты Галуа для тождественной группы.

• А относительная резольвента определяется аналогично как резольвента, но учитывает только действие элементов данной подгруппы ЧАС из S_п, обладающий тем свойством, что если относительная резольвента для подгруппы грамм из ЧАС имеет простой рациональный корень и группа Галуа ж содержится в ЧАС, то группа Галуа ж содержится в грамм. В этом контексте обычная резольвента называется абсолютная резольвента.

Резольвентный метод

Группа Галуа многочлена степени ${\displaystyle n}$ является ${\displaystyle S_{n}}$ или его собственная подгруппа. Если многочлен отделим и неприводим, то соответствующая группа Галуа является транзитивной подгруппой.

Транзитивные подгруппы ${\displaystyle S_{n}}$ образуют ориентированный граф: одна группа может быть подгруппой нескольких групп. Одна резольвента может сказать, является ли группа Галуа многочлена (не обязательно собственной) подгруппой данной группы. Метод резольвенты - это просто систематический способ проверки групп одну за другой, пока не станет возможной только одна группа. Это не означает, что каждая группа должна быть проверена: каждая резольвента может аннулировать множество возможных групп. Например, для многочленов пятой степени не требуется резольвента ${\displaystyle D_{5}}$: противовоспалительные средства для ${\displaystyle A_{5}}$ и ${\displaystyle M_{20}}$ дать желаемую информацию.

Один из способов - начать с максимальных (транзитивных) подгрупп до тех пор, пока не будет найдена правая, а затем продолжить с максимальных подгрупп из них.

Рекомендации

1. http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf

• Диксон, Леонард Э. (1959). Алгебраические теории. Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. ix + 276. ISBN  0-486-49573-6.
• Гирстмэр, К. (1983). «О вычислении резольвент и групп Галуа». Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. Дои:10.1007 / BF01165834.