Регулируемая функция - Regulated function

В математика, а регулируемая функция, или же линейчатая функция, это своего рода хорошо воспитанный функция одного настоящий Переменная. Регулируемые функции возникают как класс интегрируемые функции, и имеют несколько эквивалентных характеристик. Регулируемые функции были введены Николя Бурбаки в 1949 году в своей книге «Livre IV: Fonctions d'une variable réelle».

Определение

Позволять Икс быть Банахово пространство с нормой || - ||_Икс. Функция ж : [0, Т] → Икс считается регулируемая функция если выполняется одно (а значит, оба) из следующих двух эквивалентных условий:^[1]

• для каждого т в интервал [0, Т], как левый и правый пределы ж(т-) и ж(т+) существуют в Икс (кроме, очевидно, ж(0−) и ж(Т+));
• существует последовательность из пошаговые функции φ_п : [0, Т] → Икс сходятся равномерно к ж (т.е. по отношению к верхняя норма || - ||_∞).

Требуется небольшая работа, чтобы показать, что эти два условия эквивалентны. Однако относительно легко увидеть, что второе условие может быть переформулировано следующими эквивалентными способами:

• для каждого δ > 0, есть ступенчатая функция φ_δ : [0, Т] → Икс такой, что

${\displaystyle \|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}<\delta ;}$

• ж лежит в закрытие пространства Step ([0, Т]; Икс) всех ступенчатых функций из [0, Т] в Икс (замыкание относительно нормы супремума в пространстве B ([0, Т]; Икс) всех ограниченных функций из [0, Т] в Икс).

Свойства регулируемых функций

Пусть Reg ([0,Т]; Икс) обозначают набор всех регулируемых функций ж : [0, Т] → Икс.

• Суммы и скалярные кратные регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями. Другими словами, Reg ([0,Т]; Икс) это векторное пространство над тем же поле K как пространство Икс; обычно K будет настоящий или же сложные числа. Если Икс оснащена операцией умножения, тогда произведения регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями. Другими словами, если Икс это K-алгебра, то и Reg ([0,Т]; Икс).
• Норма супремума - это норма на Reg ([0,Т]; Икс) и Reg ([0,Т]; Икс) это топологическое векторное пространство относительно топологии, индуцированной супремум-нормой.
• Как отмечалось выше, Reg ([0,Т]; Икс) - замыкание в B ([0,Т]; Икс) шага ([0,Т]; Икс) по супремум-норме.
• Если Икс это Банахово пространство, то Reg ([0,Т]; Икс) также является банаховым пространством относительно нормы супремума.
• Рег ([0, Т]; р) образует бесконечномерную действительную Банахова алгебра: конечные линейные комбинации и продукты регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями.
• Поскольку непрерывная функция определено на компактное пространство (например, [0, Т]) автоматически равномерно непрерывный, каждая непрерывная функция ж : [0, Т] → Икс также регулируется. На самом деле, относительно нормы супремума пространство C⁰([0, Т]; Икс) непрерывных функций является закрыто линейное подпространство из Reg ([0,Т]; Икс).
• Если Икс это Банахово пространство, то пространство BV ([0,Т]; Икс) функций ограниченная вариация образует плотный линейное подпространство в Reg ([0,Т]; Икс):

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)={\overline {\mathrm {BV} ([0,T];X)}}{\mbox{ w.r.t. }}\|\cdot \|_{\infty }.}$

• Если Икс является банаховым пространством, то функция ж : [0, Т] → Икс регулируется если и только если это из ограниченный φ-вариация для некоторых φ:

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)=\bigcup _{\varphi }\mathrm {BV} _{\varphi }([0,T];X).}$

• Если Икс это отделяемый Гильбертово пространство, то Reg ([0,Т]; Икс) удовлетворяет теореме компактности, известной как Селекционная теорема Фрайковой – Хелли.
• Набор разрывы регулируемой функции ограниченная вариация BV это счетный для таких функций есть только скачкообразные разрывы. Чтобы убедиться в этом, достаточно отметить, что данный ${\displaystyle \epsilon >0}$, множество точек, в которых правый и левый пределы отличаются более чем на ${\displaystyle \epsilon }$ конечно. В частности, множество разрывов имеет измерять ноль, из которого следует, что регулируемая функция имеет корректно определенную Интеграл Римана.
• Замечание: По теореме Бэра о категории множество точек разрыва такой функции ${\displaystyle F_{\sigma }}$ либо скудный, либо непустой интерьер. Это не всегда эквивалентно счетности.^[2]

• Интеграл, как он определен на ступенчатых функциях очевидным образом, естественным образом продолжается на Reg ([0,Т]; Икс), определяя интеграл регулируемой функции как предел интегралов любой последовательности ступенчатых функций, равномерно сходящейся к ней. Это расширение четко определенный и удовлетворяет всем обычным свойствам интеграла. В частности, регулируемый интеграл
  • это ограниченная линейная функция из Reg ([0,Т]; Икс) к Икс; следовательно, в случае Икс = р, интеграл является элементом двойное пространство в Reg ([0, Т]; р);
  • согласен с Интеграл Римана.

Рекомендации

1. Дьедонне 1969, §7.6
2. Обсуждение Stackexchange

• Ауманн, Георг (1954), Reelle Funktionen, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. Viii + 416 МИСТЕР0061652
• Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа, Academic Press, стр. Xviii + 387 МИСТЕР0349288
• Fraňková, Дана (1991), "Регулируемые функции", Математика. Богем., 116 (1): 20–59, ISSN  0862-7959 МИСТЕР1100424
• Гордон, Рассел А. (1994), Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока, Аспирантура по математике, 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр.xii + 395, ISBN  0-8218-3805-9 МИСТЕР1288751
• Ланг, Серж (1985), Дифференциальные многообразия (Второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Ix + 230, ISBN  0-387-96113-5 МИСТЕР772023

внешняя ссылка

• «Как показать, что множество точек разрыва возрастающей функции не более чем счетно». Обмен стеком. 23 ноября 2011 г.
• «Функции ограниченной вариации имеют скачкообразные разрывы». Обмен стеком. 28 ноября 2013 г.
• "Насколько прерывным может быть производная?". Обмен стеком. 22 февраля 2012 г.