Теоремы Ратнера - Ratners theorems

В математика, Теоремы Ратнера являются группой основных теорем в эргодическая теория относительно унипотентных потоков на однородные пространства доказано Марина Ратнер примерно в 1990 году. Эти теоремы выросли из более ранних работ Ратнера по потоки орициклов. Исследование динамики унипотентных потоков сыграло решающую роль в доказательстве Гипотеза Оппенгейма к Григорий Маргулис. Теоремы Ратнера привели к ключевым достижениям в понимании динамики унипотентных потоков. Их более поздние обобщения предоставляют способы как уточнить результаты, так и распространить теорию на случай произвольных полупростые алгебраические группы через местное поле.

Краткое описание

В Теорема Ратнера о замыкании орбиты утверждает, что замыкания орбит унипотентных потоков на факторгруппе Ли по решетке являются хорошими геометрическими подмножествами. В Теорема Ратнера о равнораспределении далее утверждает, что каждая такая орбита равнораспределена в своем замыкании. В Теорема классификации меры Ратнера является более слабым утверждением, что каждая эргодическая инвариантная вероятностная мера однородна, или алгебраический: это оказывается важным шагом на пути к доказательству более общего свойства равнораспределения. Не существует универсального согласия по названиям этих теорем: они известны по разному как «теорема жесткости меры», «теорема об инвариантных мерах» и ее «топологическая версия» и так далее.

Формально такой результат формулируется следующим образом. Позволять ${\displaystyle G}$ быть Группа Ли, ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$ а решетка в ${\displaystyle G}$, и ${\displaystyle u^{t}}$ а однопараметрическая подгруппа из ${\displaystyle G}$ состоящий из всесильный элементы, с соответствующими поток ${\displaystyle \phi _{t}}$ на ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$. Затем закрытие каждой орбиты ${\displaystyle \left\{xu^{t}\right\}}$ из ${\displaystyle \phi _{t}}$ однородна. Это означает, что существует связаны, замкнутая подгруппа ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle G}$ такое, что изображение орбиты ${\displaystyle \,xS\,}$ за действие ${\displaystyle S}$ по правильным переводам на ${\displaystyle G}$ в канонической проекции на ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ замкнуто, имеет конечную ${\displaystyle S}$-инвариантная мера и содержит замыкание ${\displaystyle \phi _{t}}$-орбита ${\displaystyle x}$ как плотное подмножество.

Пример: ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$

Простейший случай, к которому применимо приведенное выше утверждение, - это ${\displaystyle G=SL_{2}(\mathbb {R} )}$. В этом случае он принимает следующий более явный вид; позволять ${\displaystyle \Gamma }$ быть решеткой в ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle F\subset \Gamma \backslash G}$ замкнутое подмножество, инвариантное относительно всех отображений ${\displaystyle \Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})}$ куда ${\displaystyle u_{t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}}$. Тогда либо существует ${\displaystyle x\in \Gamma \backslash G}$ такой, что ${\displaystyle F=xU}$ (куда ${\displaystyle U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}}$) или же ${\displaystyle F=\Gamma \backslash G}$.

В геометрическом плане ${\displaystyle \Gamma }$ кофинитный Фуксова группа, поэтому частное ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ из гиперболическая плоскость к ${\displaystyle \Gamma }$ гиперболический орбифолд конечного объема. Из приведенной выше теоремы следует, что каждое орицикл из ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ есть изображение в ${\displaystyle M}$ которая является либо замкнутой кривой (орициклом вокруг куспид из ${\displaystyle M}$) или плотно в ${\displaystyle M}$.

Смотрите также

• Теорема о равнораспределении

Рекомендации

Экспозиции

• Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках (PDF). Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-53984-3. МИСТЕР  2158954.
• Айнзидлер, Манфред (2009). "Что такое ... мера жесткости?" (PDF). Уведомления AMS. 56 (5): 600–601.

Избранные оригинальные статьи

• Ратнер, Марина (1990). «Жесткость строгой меры для унипотентных подгрупп разрешимых групп». Изобретать. Математика. 101 (2): 449–482. Дои:10.1007 / BF01231511. МИСТЕР  1062971.
• Ратнер, Марина (1990). «О мерной жесткости унипотентных подгрупп полупростых групп». Acta Math. 165 (1): 229–309. Дои:10.1007 / BF02391906. МИСТЕР  1075042.
• Ратнер, Марина (1991). "О гипотезе меры Рагхунатана". Анна. математики. 134 (3): 545–607. Дои:10.2307/2944357. МИСТЕР  1135878.
• Ратнер, Марина (1991). «Топологическая гипотеза Рагхунатана и распределения унипотентных потоков». Duke Math. Дж. 63 (1): 235–280. Дои:10.1215 / S0012-7094-91-06311-8. МИСТЕР  1106945.
• Ратнер, Марина (1993). "Гипотезы Рагхунатана для p-адических групп Ли". Уведомления о международных математических исследованиях (5): 141–146. Дои:10.1155 / S1073792893000145. МИСТЕР  1219864.
• Ратнер, Марина (1995). «Гипотезы Рагхунатана для декартовых произведений вещественных и p-адических групп Ли». Duke Math. Дж. 77 (2): 275–382. Дои:10.1215 / S0012-7094-95-07710-2. МИСТЕР  1321062.
• Маргулис, Григорий А.; Томанов, Жорж М. (1994). «Инвариантные меры для действий унипотентных групп над локальными полями на однородных пространствах». Изобретать. Математика. 116 (1): 347–392. Дои:10.1007 / BF01231565. МИСТЕР  1253197.