П-адический порядок - P-adic order

В теория чисел, для данного простое число п, то п-адический порядок или же п-адическая оценка ненулевого целое число п самый высокий показатель степени ${displaystyle u }$ такой, что ${displaystyle p^{u }}$ разделяет п. п-адический оценка 0 определяется как бесконечность. п-адический оценка обычно обозначается ${displaystyle u _{p}(n)}$.

Если п/d это Рациональное число в самые низкие сроки, так что п и d взаимно просты, то ${displaystyle u _{p}({ frac {n}{d}})}$ равно ${displaystyle u _{p}(n)}$ если п разделяет п, или же ${displaystyle -u _{p}(d)}$ если п разделяет dили до 0, если ни то, ни другое не делятся.

Самое важное применение п-адический порядок в построении поле из п-адические числа. Это также применяется к различным более элементарным темам, таким как различие между отдельно и вдвойне даже числа.^[1]

Распределение натуральных чисел по их 2-адическому порядку, помеченному соответствующими силы двух в десятичной системе счисления. У нуля всегда бесконечный порядок

Определение и свойства

Позволять п быть простое число.

Целые числа

В п-адический порядок или же п-адическая оценка за ℤ это функция

${displaystyle u _{p}:mathbb {Z} o mathbb {N} }$^[2]

определяется

${displaystyle u _{p}(n)={egin{cases}mathrm {max} {vin mathbb {N} :p^{v}mid n}&{ ext{if }}neq 0infty &{ ext{if }}n=0,end{cases}}}$

куда ${displaystyle mathbb {N} }$ обозначает натуральные числа.

Например, ${displaystyle u _{3}(45)=2}$ поскольку ${displaystyle 45=3^{2}cdot 5^{1}}$.

Рациональное число

В п-адический порядок может быть расширен до рациональное число как функция

${displaystyle u _{p}:mathbb {Q} o mathbb {Z} }$^[3]

определяется

${displaystyle u _{p}left({frac {a}{b}}ight)=u _{p}(a)-u _{p}(b).}$

Например, ${displaystyle u _{5}({ frac {9}{10}})=-1}$.

Некоторые свойства:

${displaystyle {egin{aligned}u _{p}(mcdot n)&=u _{p}(m)+u _{p}(n)[5px]u _{p}(m+n)&geq min {igl {}u _{p}(m),u _{p}(n){igr }}.end{aligned}}}$

Более того, если ${displaystyle u _{p}(m)eq u _{p}(n)}$, тогда

${displaystyle u _{p}(m+n)=min {igl {}u _{p}(m),u _{p}(n){igr }}}$

куда мин является минимумом (т.е. меньшим из двух).

п-адическое абсолютное значение

В п-адический абсолютная величина на ℚ определяется как

|·|_п : ℚ → ℝ

${displaystyle |x|_{p}={egin{cases}p^{-u _{p}(x)}&{ ext{if }}xeq 0�&{ ext{if }}x=0.end{cases}}}$

Например, ${displaystyle |45|_{3}={ frac {1}{9}}}$ и ${displaystyle |{ frac {9}{10}}|_{5}=5}$.

В п-адическое абсолютное значение удовлетворяет следующим свойствам.

Неотрицательность	${displaystyle |a|_{p}geq 0}$
Положительная определенность	${displaystyle |a|_{p}=0iff a=0}$
Мультипликативность	${displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$
Неархимедов	${displaystyle |a+b|_{p}leq max left(|a|_{p},|b|_{p}ight)}$

В симметрия ${displaystyle |{-a}|_{p}=|a|_{p}}$ следует из мультипликативность ${displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$ и

субаддитивность ${displaystyle |a+b|_{p}leq |a|_{p}+|b|_{p}}$ от неархимедов неравенство треугольника ${displaystyle |a+b|_{p}leq max left(|a|_{p},|b|_{p}ight)}$.

А метрическое пространство может быть сформирован на множестве ℚ с (неархимедов, переводно-инвариантный ) метрика, определяемая d : ℚ × ℚ → ℝ

${displaystyle d(x,y)=|x-y|_{p}.}$

В п-адическое абсолютное значение иногда называют "п-адическая норма ", хотя на самом деле это не норма потому что он не удовлетворяет требованиям однородность.

Выбор базы п в формуле не имеет значения для большинства свойств, но приводит к формуле продукта:

${displaystyle prod _{0,p}|x|_{p}=1}$

где произведение берется по всем простым числам п а обычная абсолютная величина (архимедова норма), обозначаемая ${displaystyle |x|_{0}}$. Это следует из простого взятия простые множители: каждый основной коэффициент мощности ${displaystyle p^{k}}$ вносит свой вклад в п-адическое абсолютное значение, а затем обычное Архимедов абсолютное значение отменяет их все.

Смотрите также

• п-адическое число
• Архимедова собственность
• Кратность (математика)
• Теорема Островского

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-43334-9.
2. Ирландия, K .; Розен, М. (2000). Классическое введение в современную теорию чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3.^{[ISBN отсутствует ]}
3. Хренников, А .; Нильссон, М. (2004). п-адическая детерминированная и случайная динамика. Kluwer Academic Publishers. п. 9.^{[ISBN отсутствует ]}