Овоид (проективная геометрия) - Ovoid (projective geometry)

Эта статья про геометрическую фигуру или форму. О видах грибов см. Psilocybe ovoideocystidiata.

К определению овоида: t касательная, секущая линия

В проективной геометрии яйцевидный является сферой как точечное множество (поверхность) в проективном пространстве размерности d ≥ 3. Простыми примерами в реальном проективном пространстве являются гиперсферы (квадрики ). Основные геометрические свойства овоида ${displaystyle {mathcal {O}}}$ находятся:

1. Любая линия пересекает ${displaystyle {mathcal {O}}}$ не более 2 баллов,
2. Касательные в точке покрывают гиперплоскость (и не более того), и
3. ${displaystyle {mathcal {O}}}$ не содержит строк.

Свойство 2) исключает вырожденные случаи (конусы, ...). Свойство 3) исключает линейчатые поверхности (гиперболоиды одного листа, ...).

Яйцевид - это пространственный аналог овал в проективной плоскости.

Яйцевид - это особый вид квадратичное множество.

Овоиды играют важную роль в построении примеров Самолеты Мебиуса и многомерные геометрии Мебиуса.

Определение овоида

• В проективном пространстве размерности d ≥ 3 множество ${displaystyle {mathcal {O}}}$ точек называется яйцевидный, если

(1) Любая линия грамм встречает ${displaystyle {mathcal {O}}}$ в максимум 2 балла.

В случае ${displaystyle |gcap {mathcal {O}}|=0}$, линия называется прохождение (или же внешний вид) линия, если ${displaystyle |gcap {mathcal {O}}|=1}$ линия касательная линия, и если ${displaystyle |gcap {mathcal {O}}|=2}$ линия секущая линия.

(2) В любой момент ${displaystyle Pin {mathcal {O}}}$ касательные линии через п покрыть гиперплоскость, касательная гиперплоскость, (т.е. проективное подпространство размерности d − 1).

(3) ${displaystyle {mathcal {O}}}$ не содержит строк.

С точки зрения гиперплоскостных сечений яйцевид - довольно однородный объект, поскольку

• Для яйцевидной ${displaystyle {mathcal {O}}}$ и гиперплоскость ${displaystyle varepsilon }$, который содержит не менее двух точек ${displaystyle {mathcal {O}}}$, подмножество ${displaystyle varepsilon cap {mathcal {O}}}$ является яйцевидным (или овальным, если d = 3) внутри гиперплоскости ${displaystyle varepsilon }$.

За конечный проективные пространства размерности d ≥ 3 (т.е. множество точек конечно, пространство паппово^[1]) верен следующий результат:

• Если ${displaystyle {mathcal {O}}}$ это яйцеклетка в конечный проективное пространство измерения d ≥ 3, тогда d = 3.

(В конечном случае овоиды существуют только в трехмерных пространствах.)^[2]

• В конечном проективном пространстве порядка п >2 (т.е. любая строка содержит ровно п + 1 точек) и размер d = 3 любой набор точек ${displaystyle {mathcal {O}}}$ является яйцевидным тогда и только тогда, когда ${displaystyle |{mathcal {O}}|=n^{2}+1}$ и нет трех точек коллинеарен (по общей линии).^[3]

Замена слова проективный в определении овоида аффинный, дает определение аффинно-яйцевидный.

Если для (проективного) овоида существует подходящая гиперплоскость ${displaystyle varepsilon }$ не пересекая ее, эту гиперплоскость можно назвать гиперплоскость ${displaystyle varepsilon _{infty }}$ в бесконечности и овоид становится аффинным овоидом в аффинном пространстве, соответствующем ${displaystyle varepsilon _{infty }}$. Кроме того, любой аффинный овоид можно рассматривать как проективный овоид в проективном замыкании (добавлении гиперплоскости на бесконечности) аффинного пространства.

Примеры

В реальном проективном пространстве (неоднородное представление)

1. ${displaystyle {mathcal {O}}={(x_{1},...,x_{d})in {mathbb {R} }^{d};|;x_{1}^{2}+cdots +x_{d}^{2}=1} ,}$ (гиперсфера)
2. ${displaystyle {mathcal {O}}={(x_{1},...,x_{d})in {mathbb {R} }^{d};|x_{d}=x_{1}^{2}+cdots +x_{d-1}^{2};};cup ;{{ ext{point at infinity of }}x_{d}{ ext{-axis}}}}$

Эти два примера квадрики и проективно эквивалентны.

Простые примеры, не являющиеся квадриками, можно получить с помощью следующих построений:

(а) Приклейте половину гиперсферы к подходящему гиперэллипсоиду в гладкий путь.

(б) В первых двух примерах заменить выражение Икс₁² к Икс₁⁴.

Замечание: Реальные примеры не могут быть преобразованы в комплексный случай (проективное пространство над ${displaystyle {mathbb {C} }}$). В сложном проективном пространстве размерности d ≥ 3 овоидальных квадрик нет, потому что в этом случае любая невырожденная квадрика содержит прямые.

Но следующий метод гарантирует много неквадратичных овоидов:

• Для любого не конечный проективном пространстве существование овоидов может быть доказано с помощью трансфинитная индукция.^[4][5]

Конечные примеры

• Любой яйцевидный ${displaystyle {mathcal {O}}}$ в конечный проективное пространство измерения d = 3 над полем K из характеристика ≠ 2 это квадрика.^[6]

Последний результат нельзя распространить на четную характеристику из-за следующих неквадрических примеров:

• За ${displaystyle K=GF(2^{m}),;m}$ странно и ${displaystyle sigma }$ автоморфизм ${displaystyle xmapsto x^{(2^{frac {m+1}{2}})};,}$

набор точек

${displaystyle {mathcal {O}}={(x,y,z)in K^{3};|;z=xy+x^{2}x^{sigma }+y^{sigma }};cup ;{{ ext{point of infinity of the }}z{ ext{-axis}}}}$ является овоидом в трехмерном проективном пространстве над K (представлены в неоднородных координатах).

Только тогда, когда м = 1 это яйцевидный ${displaystyle {mathcal {O}}}$ квадрика.^[7]

${displaystyle {mathcal {O}}}$ называется Сиськи-Сузуки-яйцевидные.

Критерии того, чтобы яйцо было квадриком

Овоидальная квадрика обладает множеством симметрий. Особенно:

• Пусть ${displaystyle {mathcal {O}}}$ овоид в проективном пространстве ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ измерения d ≥ 3 и ${displaystyle varepsilon }$ гиперплоскость. Если яйцевид симметричен какой-либо точке ${displaystyle Pin varepsilon setminus {mathcal {O}}}$ (т.е. имеется инволютивная перспективность с центром ${displaystyle P}$ который оставляет ${displaystyle {mathcal {O}}}$ инвариант), то ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ паппийский и ${displaystyle {mathcal {O}}}$ квадрика.^[8]
• Яйцевидный ${displaystyle {mathcal {O}}}$ в проективном пространстве ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ является квадрикой, если группа проекций, покидающих ${displaystyle {mathcal {O}}}$ инвариант действует 3-транзитивно на ${displaystyle {mathcal {O}}}$, т.е. для двух троек ${displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},;B_{1},B_{2},B_{3}}$ существует проективность ${displaystyle pi }$ с ${displaystyle pi (A_{i})=B_{i},;i=1,2,3}$.^[9]

В конечном случае получаем из Теорема Сегре:

• Пусть ${displaystyle {mathcal {O}}}$ яйцо в конечный 3-мерное дезаргово проективное пространство ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ из странный порядок, тогда ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ паппийский и ${displaystyle {mathcal {O}}}$ - квадрика.

Обобщение: полуяйцевидный

Удаление условия (1) из определения овоида приводит к определению полуяйцевидный:

Набор точек ${displaystyle {mathcal {O}}}$ проективного пространства называется полуяйцевидный если

выполняются следующие условия:

(SO1) Для любой точки ${displaystyle Pin {mathcal {O}}}$ касательные через точку ${displaystyle P}$ точно покрывают гиперплоскость.

(SO2) ${displaystyle {mathcal {O}}}$ не содержит строк.

Полуяйцевид - это особый полуквадратичное множество^[10] который является обобщением квадратичное множество. Существенное различие между полуквадратичным множеством и квадратичным множеством состоит в том, что могут быть прямые, которые имеют 3 общих точки с множеством, а прямые не содержатся в множестве.

Примерами полуовоидов являются множества изотропных точек эрмитская форма. Они называются эрмитовые квадрики.

Что касается овоидов, то в литературе есть критерии, которые делают полуояйцевидную квадрику эрмитовой. См., Например,^[11].

Полуовоиды используются при построении примеров геометрии Мёбиуса.

Смотрите также

• Яйцевидный (полярное пространство)
• Самолет Мебиуса

Примечания

1. Дембовский 1968, п. 28
2. Дембовский 1968, п. 48
3. Дембовский 1968, п. 48
4. В. Хайзе: Bericht über ${displaystyle kappa }$-affine Geometrien, Journ. Геометрии 1 (1971), S. 197–224, Satz 3.4.
5. Ф. Бюкенхаут: Характеристика полуквадрик., Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421, глава 3.5.
6. Дембовский 1968, п. 49
7. Дембовский 1968, п. 52
8. Х. Маурер: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene, Abh. Математика. Сем. Гамбург 45 (1976), S.237-244
9. Дж. Титс: Ovoides à Translations, Rend. Мат. 21 (1962), S. 37–59.
10. Ф. Бюкенхаут: Характеристика полуквадрик., Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421.
11. К.Дж. Dienst: Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegelungen, Beiträge zur geometrischen Algebra (1977), Birkhäuser-Verlag, S. 83-85.

Рекомендации

• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, МИСТЕР  0233275

дальнейшее чтение

• Барлотти, А. (1955), "Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo", Болл. ООН. Мат. Ital., 10: 96–98
• Хиршфельд, J.W.P. (1985), Конечные проективные пространства трех измерений, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-853536-8
• Панелла, Г. (1955), "Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito", Болл. ООН. Мат. Ital., 10: 507–513

внешняя ссылка

• Э. Хартманн: Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), S. 121-123.