Теорема Сегреса - Segres theorem

к определению конечного овала: ${\displaystyle t}$ касательная ${\displaystyle s_{1},...s_{n}}$ секущие, ${\displaystyle n}$ - порядок проективной плоскости (количество точек на прямой -1)

В проективная геометрия, Теорема Сегре, названный в честь итальянского математика Бениамино Сегре, это утверждение:

• Любой овал в конечный паппиан проективная плоскость из странный порядок - невырожденный проективный коническая секция.

Это утверждение было сделано в 1949 году двумя финскими математиками. Г. Ярнефельт и П. Кустаанхеймо и его доказательство было опубликовано в 1955 г. Б. Сегре.

Конечная папповидная проективная плоскость можно представить как проективное замыкание реальной плоскости (бесконечно удаленной линией), где действительные числа заменены на конечное поле K. Нечетный порядок Значит это |K| = п странно. Овал - это кривая, похожая на круг (см. определение ниже): любая прямая пересекает ее не более чем в 2 точках, и через любую ее точку проходит ровно одна касательная. Стандартные примеры - невырожденные проективные конические сечения.

В папповых проективных плоскостях четное На порядок больше четырех есть овалы, не являющиеся конусами. В бесконечной плоскости существуют овалы, не являющиеся кониками. В реальной плоскости просто склеиваем половину круга и подходящую эллипс плавно.

Доказательство теоремы Сегре, показанное ниже, использует трехточечную версию Теорема Паскаля и свойство конечного поля нечетного порядка, а именно, что произведение всех ненулевых элементов равно -1.

Определение овала

Основная статья: Овал (проективная плоскость)

• В проективной плоскости множество ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ точек называется овал, если:

(1) Любая линия ${\displaystyle g}$ встречает ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ не более чем в двух точках.

Если ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$ линия ${\displaystyle g}$ является внешний вид (или же прохождение) линия; в случае ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$ а касательная линия и если ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$ линия секущая линия.

(2) Для любой точки ${\displaystyle P\in {\mathfrak {o}}}$ существует ровно одна касательная ${\displaystyle t}$ в п, т.е. ${\displaystyle t\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$.

За конечный плоскостей (т.е. множество точек конечно) мы имеем более удобную характеристику:

• Для конечной проективной плоскости порядок п (т.е. любая строка содержит п + 1 баллов) набор ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ точек является овалом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1}$ и нет трех точек коллинеарен (по общей линии).

3-точечная версия Паскаля

для доказательства ${\displaystyle g_{\infty }}$ касательная в ${\displaystyle P_{3}}$

Теорема

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ овал в папповой проективной плоскости характеристика ${\displaystyle \neq 2}$.
${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ является невырожденной коникой тогда и только тогда, когда утверждение (P3)держит:

(P3): Пусть ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ любой треугольник на ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ и ${\displaystyle {\overline {P_{i}P_{i}}}}$ касательная в точке ${\displaystyle P_{i}}$ к ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$, то точки

${\displaystyle P_{4}:={\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}},\ P_{5}:={\overline {P_{2}P_{2}}}\cap {\overline {P_{1}P_{3}}},\ P_{6}:={\overline {P_{3}P_{3}}}\cap {\overline {P_{1}P_{2}}}}$

коллинеарны.^[1]

к доказательству 3-точечной теоремы Паскаля

Доказательство

Пусть проективная плоскость скоординирована неоднородно над полем ${\displaystyle K}$ такой, что ${\displaystyle P_{3}=(0),\;g_{\infty }}$ касательная в ${\displaystyle P_{3},\ (0,0)\in {\mathfrak {o}}}$, ось абсцисс - касательная в точке ${\displaystyle (0,0)}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ содержит точку ${\displaystyle (1,1)}$. Кроме того, мы полагаем ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\;P_{2}=(x_{2},y_{2})\ .}$ (s. изображение)
Овал ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ можно описать функцией ${\displaystyle f:K\mapsto K}$ такой, что:

${\displaystyle {\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x)\}\ \cup \{(\infty )\}\;.}$

Касательная в точке ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ будет описан с помощью функции ${\displaystyle f'}$ такое, что его уравнение

${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}$

Следовательно (см. Изображение)

${\displaystyle P_{5}=(x_{1},f'(x_{2})(x_{1}-x_{2})+f(x_{2}))}$ и ${\displaystyle P_{4}=(x_{2},f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})+f(x_{1}))\;.}$

Я: если ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ является невырожденной коникой, имеем ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ и ${\displaystyle f'(x)=2x}$ и легко вычислить, что ${\displaystyle P_{4},P_{5},P_{6}}$ коллинеарны.

II: Если ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ овал со свойством (P3), наклон линии ${\displaystyle {\overline {P_{4}P_{5}}}}$ равен наклону прямой ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$, это означает:

${\displaystyle f'(x_{2})+f'(x_{1})-{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$ и поэтому

(я): ${\displaystyle (f'(x_{2})+f'(x_{1}))(x_{2}-x_{1})=2(f(x_{2})-f(x_{1}))}$ для всех ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K}$.

С ${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$ один получает

(ii): ${\displaystyle f'(x_{2})x_{2}=2f(x_{2})}$ и из ${\displaystyle f(1)=1}$ мы получили

(iii): ${\displaystyle f'(1)=2\;.}$

(i) и (ii) дают

(iv): ${\displaystyle f'(x_{2})x_{1}=f'(x_{1})x_{2}}$ и с (iii) по крайней мере, мы получаем

(v): ${\displaystyle f'(x_{2})=2x_{2}}$ для всех ${\displaystyle x_{2}\in K}$.

Следствием (ii) и (v) является

${\displaystyle f(x_{2})=x_{2}^{2},\;x_{2}\in K}$.

Следовательно ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ является невырожденной коникой.

Замечание:Свойство (P3) выполняется для любого овала в папповой проективной плоскости характеристики 2 с ядром (все касательные пересекаются в ядре). Следовательно, в этом случае (P3) также верно для неконических овалов.^[2]

Теорема Сегре и ее доказательство

Теорема

Любой овал ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ в конечный паппиан проективная плоскость странный порядок - невырожденное коническое сечение.

Трехточечная версия теоремы Паскаля, для доказательства мы предполагаем ${\displaystyle g_{\infty }={\overline {P_{2}P_{3}}}}$

Теорема Сегре: к ее доказательству

Доказательство

^[3]

Для доказательства покажем, что овал обладает свойством (P3) 3-точечной версии теоремы Паскаля.

Пусть ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ любой треугольник на ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ и ${\displaystyle P_{4},P_{5},P_{6}}$ определяется как описано в (P3). Папповская плоскость будет неоднородно координирована над конечным полем ${\displaystyle K}$, так что${\displaystyle P_{3}=(\infty ),\;P_{2}=(0),\;P_{1}=(1,1)}$ и ${\displaystyle (0,0)}$ точка пересечения касательных в ${\displaystyle P_{2}}$ и ${\displaystyle P_{3}}$. Овал ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ можно описать с помощью биективный функция ${\displaystyle f:K^{*}:=K\cup \setminus \{0\}\mapsto K^{*}}$:

${\displaystyle {\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x),\;x\neq 0\}\;\cup \;\{(0),(\infty )\}\;.}$

Для точки ${\displaystyle P=(x,y),\;x\in K\setminus \{0,1\}}$, выражение ${\displaystyle m(x)={\tfrac {f(x)-1}{x-1}}}$ наклон секущей ${\displaystyle {\overline {PP_{1}}}\;.}$ Поскольку обе функции ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1}$ и ${\displaystyle x\mapsto x-1}$ биекции от${\displaystyle K\setminus \{0,1\}}$ к ${\displaystyle K\setminus \{0,-1\}}$, и ${\displaystyle x\mapsto m(x)}$ биекция от ${\displaystyle K\setminus \{0,1\}}$ на ${\displaystyle K\setminus \{0,m_{1}\}}$, куда ${\displaystyle m_{1}}$ наклон касательной в точке ${\displaystyle P_{1}}$, за ${\displaystyle K^{**}:=K\setminus \{0,1\}\;:}$ мы получили

${\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)=\prod _{x\in K^{**}}(x-1)=1\quad {\text{und}}\quad m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=-1\;.}$

(Примечание: для ${\displaystyle K^{*}:=K\setminus \{0\}}$ у нас есть: ${\displaystyle \displaystyle \prod _{k\in K^{*}}k=-1\;.}$)
Следовательно

${\displaystyle -1=m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=m_{1}\cdot {\frac {\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)}{\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(x-1)}}=m_{1}\;.}$

Потому что наклоны линии ${\displaystyle {\overline {P_{5}P_{6}}}}$ и касательная${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{1}}}}$ оба ${\displaystyle -1}$, следует, что${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}}=P_{4}\in {\overline {P_{5}P_{6}}}}$Это верно для любого треугольника. ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathfrak {o}}}$.

Так: (P3) 3-точечной теоремы Паскаля и овал является невырожденной коникой.

Рекомендации

1. Э. Хартманн: Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), стр. 34.
2. Э. Хартманн: Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), стр. 35.
3. Э. Хартманн: Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), стр. 41.

Источники

• Б. Сегре: Овалы в конечной проективной плоскости, Canadian Journal of Mathematics 7 (1955), стр. 414–416.
• Г. Ярнефельт & П. Кустаанхеймо: Наблюдение за конечной геометрией, Den 11 te Skandinaviske Matematikerkongress, Тронхейм (1949), стр. 166–182.
• Альбрехт Бойтельшпахер, Уте Розенбаум: Проективная геометрия. 2. Auflage. Vieweg, Висбаден 2004, ISBN  3-528-17241-X, п. 162.
• П. Дембовски: Конечная геометрия. Springer-Verlag, 1968 г., ISBN  3-540-61786-8, п. 149

внешняя ссылка

• Симеон Болл и Жужа Вайнер: Введение в конечную геометрию [1] п. 17.